工程分析/誤差估計

考慮一個系統 A 的矩陣表示與系統的實際實現相差 ΔA 的情況。換句話說，我們的系統使用矩陣

$A+\Delta A$

從控制系統的研究中，我們知道特徵向量的值會影響系統的穩定性。因此，我們想知道 A 中的小誤差將如何影響特徵值。

首先，我們假設 ΔA 是一個小的變化。這種意義上的“小”是任意的，並將保持開放。請記住，這裡討論的技術越小 ΔA 越準確。

如果 ΔA 是矩陣 A 中的誤差，那麼 Δλ 是特徵值中的誤差，而 Δv 是特徵向量中的誤差。特徵方程變為

$(A+\Delta A)(v+\Delta v)=(\lambda +\Delta \lambda )(v+\Delta v)$

我們現在有一個有兩個未知數的方程：Δλ 和 Δv。換句話說，我們不知道 A 的微小變化將如何影響特徵值和特徵向量。如果我們將兩邊展開，我們得到

$Av+\Delta Av+A\Delta v+O(\Delta ^{2})=\lambda v+\Delta \lambda v+v\Delta \lambda +O(\Delta ^{2})$

這種情況似乎毫無希望，直到我們從左邊乘以相應的左特徵向量 w

$w^{T}Av+w^{T}\Delta Av+w^{T}v\Delta A=w^{T}\lambda v+w^{T}\Delta \lambda v+w^{T}v\Delta \lambda +O(\Delta ^{2})$

對於兩個 Δ（根據定義，已知很小）相乘的項，我們可以說它們可以忽略不計，並忽略它們。此外，我們從右特徵值方程知道

$w^{T}A=\lambda w^{T}$

另一個事實是，右特徵向量和左特徵向量彼此正交，因此以下結果成立

$w^{T}v=0$

將這些結果（必要時）代入我們上面的長方程，我們得到以下簡化

$w^{T}\Delta Av=\Delta \lambda w^{T}\Delta v$

求解特徵值的變化，我們得到

$\Delta \lambda ={\frac {w^{T}\Delta Av}{w^{T}\Delta v}}$

此近似結果僅適用於 ΔA 的小值，並且隨著誤差增加，結果的精度會降低。