工程分析/L2 空間

L₂ 空間對於工程師來說非常重要，因為在這個空間中的函式不需要是連續的。許多不連續的工程函式，例如狄拉克 (脈衝) 函式、單位階躍函式以及其他不連續函式，都屬於這個空間。

L2 函式

許多函式都屬於 L₂ 函式，包括不常見的、不連續的、分段的以及其他函式。在有限範圍內具有有限數量的不連續點的函式就是 L₂ 函式。例如，單位階躍函式和脈衝函式都是 L₂ 函式。此外，在訊號分析中其他有用的函式，如方波、三角波、小波以及其他函式，也都是 L₂ 函式。

在實際應用中，大多數物理系統都會存在有限數量的噪聲。噪聲訊號和隨機訊號，如果它們是有限的，也是 L₂ 函式：這使得使用下面列出的技術分析這些函式變得容易。

零函式

L₂ 的零函式是 L₂ 中所有滿足以下方程的函式 φ 的集合

$\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx=0$

對於所有 a 和 b。

範數

L₂ 範數定義如下

[L2 範數]

$\|f(x)\|_{L_{2}}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}dx}}$

如果函式的範數為 1，則該函式是標準化的。

我們可以證明範數平方的導數為

${\frac {\partial \|x\|^{2}}{\partial x}}=2x$

標量積

L₂ 空間中的標量積定義如下

[L2 標量積]

$\langle f(x),g(x)\rangle _{L_{2}}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx$

如果兩個函式的標量積為零，則這兩個函式是正交的。

我們可以證明，給定係數矩陣 A 和 B 以及變數 x，標量積的導數可以表示為

${\frac {\partial }{\partial x}}\langle Ax,Bx\rangle =A^{T}Bx+B^{T}Ax$

我們可以將其識別為微分的乘積法則。推廣而言，我們可以說

${\frac {\partial }{\partial x}}\langle f(x),g(x)\rangle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

我們還可以說矩陣 A 乘以向量 x 的導數為

${\frac {d}{dx}}Ax=A^{T}$

度量

兩個函式的度量（我們在這裡不會將其稱為“距離”，因為這個詞在函式空間中沒有意義）將用 ρ(x,y) 表示。我們可以將 L₂ 函式的度量定義如下

[L2 度量]

$\rho (x,y)_{L_{2}}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}dx}}$

柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式對L₂ 函式仍然成立，這裡重新陳述一下：

$|\langle f(x),g(x)\rangle |\leq \|f\|\|g\|$

線性無關

如果L₂ 中的一組函式滿足

$a_{1}f_{1}(x)+a_{2}f_{2}(x)+\cdots +a_{n}f_{n}(x)=0$

當且僅當所有a 係數為0 時，它們才是線性無關的。

格拉姆-施密特正交化

我們之前討論過的格拉姆-施密特方法仍然適用於函式，我們可以用它在L₂ 中構造一組線性無關的正交函式。

對於一組函式 φ，我們可以構造一組正交函式 ψ，它們張成相同的空間，但彼此正交。

[格拉姆-施密特正交化]

$\psi _{1}=\phi _{1}$

$\psi _{i}=\phi _{i}-\sum _{n=1}^{i-1}{\frac {\langle \psi _{n},\phi _{i}\rangle }{\langle \psi _{n},\psi _{n}\rangle }}\psi _{n}$

基底

L₂ 是一個無限基集，這意味著L₂ 的任何基底都需要無限多個基函式。為了證明一組無限多個正交函式是L₂ 空間的基底，我們需要證明零函式是L₂ 中唯一與所有基函式正交的函式。如果零函式是唯一滿足這種關係的函式，那麼該集合就是L₂ 的基底。

根據定義，我們可以將L₂ 中的任何函式表示為基元素的線性組合。如果我們有基元素 φ，我們可以將任何其他函式 ψ 定義為線性組合：

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$

我們將在關於傅立葉級數的部分探索這個重要的結果。