工程分析/線性無關與基底

線性無關

如果一組向量 $V={v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}}$ 中的任何向量 v 都可以透過該組中其他向量的線性組合來構造，則稱這些向量彼此線性相關。給定以下線性方程

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=0$

向量集 V 線性無關，當且僅當所有 a 係數都為零。如果我們將 v 向量組合成一個單行向量

${\hat {V}}=[v_{1}v_{2}\cdots v_{n}]$

並將所有 a 係數組合成一個單列向量

${\hat {a}}=[a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]^{T}$

我們有以下線性方程

${\hat {V}}{\hat {a}}=0$

我們可以證明，這個方程只有在 ${\hat {a}}=0$ 時才成立，矩陣 ${\hat {V}}$ 必須可逆

${\hat {V}}^{-1}{\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {V}}^{-1}0$

${\hat {a}}=0$

請記住，要使矩陣可逆，行列式必須非零。

非方陣 V

如果矩陣 ${\hat {V}}$ 不是方陣，則無法求行列式，因此矩陣不可逆。為了解決這個問題，我們可以用轉置矩陣預乘

${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}=0$

然後，方陣 ${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}$ 必須是可逆的。

$({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}=0$

${\hat {a}}=0$

秩

矩陣的秩是矩陣中線性無關的行或列的最大數量。

為了確定秩，通常將矩陣簡化為行階梯形。從簡化的形式中，非零行的數量或非零列的數量（以較小的為準）是矩陣的秩。

如果我們將兩個矩陣 A 和 B 相乘，結果為 C

$AB=C$

那麼 C 的秩是 A 和 B 的秩的最小值。

$\operatorname {Rank} (C)=\operatorname {min} [\operatorname {Rank} (A),\operatorname {Rank} (B)]$

張成

一組向量 V 的張成 是透過向量線性組合可以建立的所有向量的集合。

基

基是一組線性無關的向量，它們張成整個向量空間。

基展開

如果我們有一個向量 $y\in V$，而 V 有基向量 ${v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$，根據定義，我們可以將 y 寫成基向量線性組合的形式。

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=y$

或

${\hat {V}}{\hat {a}}=y$

如果 ${\hat {V}}$ 是可逆的，答案很明顯，但如果 ${\hat {V}}$ 不可逆，那麼我們可以執行以下技巧。

${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {V}}^{T}y$

${\hat {a}}=({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}y$

我們把 $({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}$ 稱為 ${\hat {V}}$ 的 **左偽逆**。

基變換

通常，將基向量變換為另一組跨越相同集合但具有不同屬性的向量是有用的。如果我們有一個空間 V，其基向量為 ${\hat {V}}$，V 中的一個向量稱為 x，我們可以使用新的基向量 ${\hat {W}}$ 來表示 x

$x=\sum _{i=0}^{n}a_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}w_{j}$

或者,

$x={\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {W}}{\hat {b}}$

如果 V 可逆，則此問題的解決方案很簡單。

格拉姆-施密特正交化

如果我們有一組非正交的基向量，我們可以使用一個稱為 **正交化** 的過程來為相同空間生成一組新的正交基向量。

給出： ${\hat {V}}={x_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$

找到新的基 ${\hat {W}}={w_{1}w_{2}\cdots w_{n}}$

使得 $\langle w_{i},w_{j}\rangle =0\quad \forall i,j$

我們可以定義這些向量如下

1. $w_{1}=v_{1}$
2. $w_{m}=v_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {\langle v_{m},u_{i}\rangle }{\langle u_{i},u_{i}\rangle }}u_{i}$

注意，這種技術生成的向量彼此正交，但它們不一定是標準正交的。為了使 w 向量成為標準正交的，您必須將每個向量除以它的範數。

${\bar {w}}={\frac {w}{\|w\|}}$

互逆基底

互逆基底是一種特殊的基底，它與原始基底相關。互逆基底 ${\hat {W}}$ 可以定義為

${\hat {W}}=[{\hat {V}}^{T}]^{-1}$