工程分析/向量基礎

標量積

標量積是一種特殊的運算，作用於兩個向量，並返回一個標量結果。標量積用尖括號之間的有序對錶示：<x,y>。向量之間的標量積必須滿足以下四條規則

1. $\langle x,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in V$
2. $\langle x,x\rangle =0$，當且僅當 x = 0
3. $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$
4. $\langle x,cy_{1}+dy_{2}\rangle =c\langle x,y_{1}\rangle +d\langle x,y_{2}\rangle$

如果一個運算滿足所有這些要求，那麼它就是一個標量積。

示例

最常見的標量積之一是點積，它在線性代數中經常被討論。

範數

範數是一個重要的標量，表示向量的幅度。向量的範數通常用$\|x\|$表示。為了成為範數，一個運算必須滿足以下四個條件

1. $\|x\|\geq 0$
2. $\|x\|=0$，當且僅當 x = 0。
3. $\|cx\|=|c|\|x\|$
4. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

如果一個向量的範數為1，則稱該向量為單位向量。單位向量有時也被稱為單位向量。本書中將使用兩種表示法。要使一個向量歸一化，但保持它指向相同的方向，我們可以將向量除以它的範數

${\bar {x}}={\frac {x}{\|x\|}}$

示例

最常見的範數之一是笛卡爾範數，它被定義為平方和的平方根

$\|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

單位向量

如果向量的模為1，則稱該向量為單位向量。

正交性

如果兩個向量的內積為零，則稱這兩個向量正交

$\langle x,y\rangle =0$

如果兩個向量的內積為零，並且這兩個向量都是單位向量，則稱這兩個向量標準正交。

柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是一個重要結果，它將向量模與內積聯絡起來

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|$

度量（距離）

向量空間 *V* 中兩個向量之間的距離稱為這兩個向量的度量，用 d(x, y) 表示。度量運算必須滿足以下四個條件

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0$ 當且僅當 x = y 時
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

示例

度量的一種常見形式是笛卡爾平面中點 a 和 b 之間的距離

$d(a,b)_{cartesian}={\sqrt {(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}}$