工程分析/向量空間

向量和標量

標量是一個單一的數值，例如 3、5 或 10。向量是一組有序的標量。

向量通常被描述為一個矩陣，其行或列的大小為 1。列大小為 1 的向量稱為行向量，而行大小為 1 的向量稱為列向量。

[列向量]

${\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\vdots \end{bmatrix}}$

[行向量]

${\begin{bmatrix}a&b&c&\cdots \end{bmatrix}}$

“普通向量”是列向量的另一個名稱，本書將簡單地使用“向量”一詞來指代普通向量。

向量空間

向量空間是一組向量和兩個運算（加法和乘法，通常），它們遵循一些特定的規則。我們通常用一個大寫斜體字母來表示向量空間：例如V。如果滿足以下所有要求，則空間V就是一個向量空間。我們將使用 x 和 y 來表示V中的任意向量。我們還將使用 c 和 d 來表示任意標量值。總共有 10 個要求。

已知：$x,y\in V$

1. 存在一個稱為“加法”的運算（用“+”符號表示），在兩個向量 x + y 之間，如果兩個運算元都在V中，則結果也在V中。
2. 加法運算對於V中的所有元素都是可交換的。
3. 加法運算對於V中的所有元素都是可結合的。
4. 在V中存在一個唯一的中性元素 φ，使得 x + φ = x。這也稱為零元素。
5. 對於V中的每個 x，則在V中存在一個負元素 -x，使得 -x + x = φ。
6. $cx\in V$
7. $c(x+y)=cx+cy$
8. $(c+d)x=cx+dx$
9. $c(dx)=cdx$
10. 1 × x = x

其中一些規則可能看起來很明顯，但這僅僅是因為它們已經被普遍接受，並且從人們還是孩子的時候起就一直在教給他們。