數學中的例子和反例/無限序列

• 序列 在維基百科。

296280 個或多或少著名的序列被收集在 線上整數序列百科全書 上。另見 mathigon，mathsisfun 等。

相等成員的序列

(0,0,0,0,...)

與集合不同，序列可以只包含零，並且仍然是無限的。也就是說，序列的所有成員（換句話說，元素或項）可能都等於 0；或者，如果您願意，等於 71：(71,71,71,71,...)。

自然數序列

(1,2,3,...)

第 n 個成員等於 n。

此序列嚴格遞增（也就是說，每個成員都小於下一個成員）。

奇數子序列 (1,3,5,...) 包含所有奇數自然數；偶數子序列 (2,4,6,...) 包含所有偶數自然數。更一般地說，對於每個序列 $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$，可以考慮其奇數子序列 $(a_{1},a_{3},a_{5},\dots )$ 和偶數子序列 $(a_{2},a_{4},a_{6},\dots ).$

序列中的所有整數

(0,1,-1,2,-2,...)

此序列的存在表明所有整數（包括負數）的集合是可數的。

此序列是非單調的（也就是說，既不遞增也不遞減）。所有整數不可能包含在單調序列中，因為遞增序列是下界，而遞減序列是上界（想想為什麼）。

第 n 個成員等於

${\begin{cases}-(n-1)/2&{\text{for odd }}n,\\n/2&{\text{for even }}n.\end{cases}}$

只是為了好玩，這兩個公式可以合併，

${\frac {1+(-1)^{n}(2n-1)}{4}},$

但這並非必需。兩個（或更多）公式是定義序列的合法方式。更一般地，任何兩個序列$(a_{1},a_{2},\dots )$ 和 $(b_{1},b_{2},\dots )$ 可以交織成一個單一序列$(c_{1},c_{2},\dots )=(a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots );$ 這裡

$c_{n}={\begin{cases}a_{(n+1)/2}&{\text{for odd }}n,\\b_{n/2}&{\text{for even }}n.\end{cases}}$

新序列$(c_{1},c_{2},\dots )$ 的奇數子序列$(c_{1},c_{3},c_{5},\dots )$ 等於第一個序列$(a_{1},a_{2},\dots );$ 同樣，偶數子序列$(c_{2},c_{4},c_{6},\dots )$ 等於$(b_{1},b_{2},\dots ).$

包含每個自然數無限次的序列

(1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5,1,2,...)

奇數子序列 (1,1,1,...) 僅包含 1。偶數子序列 (2,3,2,4,2,3,2,5,2,...) 與整個序列僅相差每個成員加 1。因此，偶數子序列的奇數子序列僅包含 2。依此類推... 也就是說，用$a_{n},$ 表示第 n 個成員，我們有$a_{2n}=a_{n}+1.$

第 n 個成員等於數字 q，使得${\frac {n}{2^{q-1}}}$ 是一個奇數。因此，${\frac {n}{2^{q-1}}}=2p-1$ 對於某個整數 p。使用此 p 而不是 q，我們得到另一個包含每個自然數無限次的序列
(1,1,2,1,3,2,4,1,5,3,6,2,7,4,...)
奇數子序列只是 (1,2,3,...)。偶數子序列 (1,1,2,1,3,2,4,...) 等於整個序列。也就是說，用$b_{n},$ 表示第 n 個成員，我們有$b_{2n}=b_{n}.$

相反，單調序列不可能同時包含 1 和 2 無限次（想想為什麼）。

序列中的所有正有理數

$\textstyle {\Big (}1,{\frac {1}{2}},2,{\frac {1}{3}},3,1,4,{\frac {1}{4}},5,{\frac {3}{2}},6,{\frac {2}{3}},\dots {\Big )}$

第 n 項等於 ${\frac {p}{q}}$，其中 p 和 q 是正整數，且滿足 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1}.$ 也就是說，$a_{(2p-1)\cdot 2^{q-1}}={\frac {p}{q}}.$ 因此，$\textstyle a_{1}=a_{1\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {1}{1}}=1;$ $\textstyle a_{2}=a_{1\cdot 2^{1}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{2-1}}={\frac {1}{2}};$ $\textstyle a_{3}=a_{3\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 2-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {2}{1}}=2;$ $\textstyle a_{4}=a_{1\cdot 2^{2}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{3-1}}={\frac {1}{3}};$ $\textstyle a_{5}=a_{5\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 3-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {3}{1}}=3;$ $\textstyle a_{6}=a_{3\cdot 2^{1}}=a_{(2\cdot 2-1)\cdot 2^{2-1}}={\frac {2}{2}}=1;$ 等等。每一個正有理數 ${\frac {p}{q}}$ 在這個序列中都作為第 n 項 $a_{n}$ 出現，其中 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1}.$

這種序列的存在表明所有正有理數的集合是可數的。

此外，${\frac {p}{q}}$ 無限次出現，不僅對於 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1},$ 而且對於 $n=(4p-1)\cdot 2^{2q-1},$ $n=(6p-1)\cdot 2^{3q-1}$ 等等。

每個數字都是這個序列的聚點（也就是說，給定數字的每個鄰域都包含序列的無限多個成員；等效地，給定數字是某個子序列的極限）。相反，單調序列可能只有一個聚點，即整個序列的極限（想想為什麼）。

由 $f(q-1,p-1)+1=(2p-1)\cdot 2^{q-1}$ 定義的函式 f，其中整數 $p,q>0,$，即對於整數 $x,y\geq 0,$，$f(x,y)=(2y+1)\cdot 2^{x}-1$，是所謂的配對函式的一個例子。

• 配對函式 在維基百科上。

階乘

• 階乘 在維基百科上。

(1,2,6,24,120,720,...)

第 n 個成員等於第 (n-1) 個成員的 n 倍：$a_{n}=na_{n-1}$，對於所有 $n>1.$ 這是一個所謂的遞推關係：每個後續成員都定義為其編號和前一個成員的函式。

• 遞推關係 在維基百科上。

第一個元素等於 1：$a_{1}=1.$ 因此，第 n 個元素是所有從 1 到 n 的自然數的乘積；它被稱為 n 的階乘，記作 $n!\,.$ 例如，$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120.$

階乘被廣泛使用。它們出現在二項式定理、泰勒定理、大多數著名的離散機率分佈（二項式、負二項式、多項式、泊松、超幾何）等中。

斯特林公式 $\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}.$ 為大階乘提供了很好的近似。它的相對誤差 $\textstyle {\big |}1-{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}}{n!}}{\big |}$ 趨向於零（當 n 趨向於無窮大時），但絕對誤差 $|n!-{\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}|$ 趨向於無窮大。

• 斯特林公式 在維基百科上。

斐波那契數列

• 斐波那契數列 在維基百科上。

(1,1,2,3,5,8,13,21,...)

第 n 個元素等於第 (n-1) 個元素加上第 (n-2) 個元素：$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ 對於所有 $n>2$（再次，是一個遞推關係）。前兩個元素等於 1：$a_{1}=a_{2}=1.$ 因此，$a_{3}=a_{2}+a_{1}=1+1=2;$ $a_{4}=a_{3}+a_{2}=2+1=3;$ $a_{5}=a_{4}+a_{3}=3+2=5;$ 等等。

在 17 世紀，約翰內斯·開普勒觀察到連續斐波那契數的比率 $\textstyle {\big (}{\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},\dots {\big )}$ 收斂到一個極限：${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\to \varphi$（當 $n\to \infty$ 時）對於某個數字 $\varphi .$ 如果是這樣，那麼必然 ${\tfrac {a_{n+2}}{a_{n+1}}}\to \varphi ,$ 因此 ${\tfrac {a_{n+1}+a_{n}}{a_{n+1}}}\to \varphi ,$ 也就是說，$1+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}\to \varphi ;$ 考慮到 ${\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}\to {\tfrac {1}{\varphi }}$ 我們得到 $1+{\tfrac {1}{\varphi }}=\varphi ,$ 也就是說，$\varphi +1=\varphi ^{2};$ 關於 $\varphi .$ 的二次方程。它有兩個根，$(1\pm {\sqrt {5}})/2,$ 一個大於 1，另一個小於 1。顯然，極限 $\varphi$ 不能小於 1（因為 ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ 不能）；因此，這個極限（如果存在）必須是 $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2.$ 這個數字就是著名的“黃金分割”，早在 2300 年前就被歐幾里得研究過。

• 黃金分割 在維基百科。

我們想知道近似等式 ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\approx \varphi$ (當 *n* 很大時) 的誤差，也就是 $a_{n+1}\approx \varphi a_{n}.$ 絕對誤差為 $|a_{n+1}-\varphi a_{n}|,$ 我們研究差值 $a_{n+1}-\varphi a_{n};$ 它如何隨著 *n* 變化？$a_{n+2}-\varphi a_{n+1}$ 比 $a_{n+1}-\varphi a_{n}?$ 大還是小（取絕對值）？

利用遞推關係和$\varphi$ 的性質，我們得到$a_{n+2}-\varphi a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}-\varphi a_{n+1}=(1-\varphi )a_{n+1}+a_{n}=-{\frac {1}{\varphi }}a_{n+1}+a_{n}=-{\frac {1}{\varphi }}(a_{n+1}-\varphi a_{n}),$ 這表明所研究的差值改變了符號，並且在絕對值上減小。透過歸納法，$a_{n+1}-\varphi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\varphi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\varphi a_{1})$ 對於所有n 成立。引入$\psi =-{\tfrac {1}{\varphi }},$ 注意到$\psi =1-\varphi$ 並回顧$a_{1}=a_{2}=1$，我們得到$a_{n+1}-\varphi a_{n}=\psi ^{n},$ 這表明絕對誤差在減小，並收斂到 0（因為$-1<\psi <0$）。極限的存在如下：${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\varphi +{\tfrac {a_{n+1}-\varphi a_{n}}{a_{n}}}\to \varphi .$

有趣的是，$1+{\tfrac {1}{\varphi }}=\varphi$ 的性質，$\varphi$ 導致了類似的性質 $1+{\tfrac {1}{\psi }}=\psi$ 的 $\psi ,$ 如下：$1+{\tfrac {1}{\psi }}=1-\varphi =-{\tfrac {1}{\varphi }}=\psi .$ 因此，$\psi$ 不過就是二次方程的另一個根：$\psi =(1-{\sqrt {5}})/2.$

上面給出的等式 $a_{n+1}-\varphi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\varphi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\varphi a_{1})$ 的證明沒有使用 $\varphi ,$ 的任何其他性質，因此它也適用於 $\psi$：$a_{n+1}-\psi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\psi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\psi a_{1}),$ 也就是說（和之前一樣）$a_{n+1}-\psi a_{n}=\varphi ^{n}.$

對於$a_{n+1}-\varphi a_{n}=\psi ^{n}$ 和 $a_{n+1}-\psi a_{n}=\varphi ^{n}$ 都有顯式公式，很容易得到 $a_{n}.$ 我們只需將第一個公式從第二個公式中減去，得到 $(\varphi -\psi )a_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n},$ 也就是說，這個神奇的公式是

$a_{n}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}.$

由此可見，$a_{n}$ 是最接近 $\varphi ^{n}/{\sqrt {5}}.$ 的整數。

數字 $\pi$ 的小數部分

• Pi#Irrationality and normality 在維基百科。

(3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)
根據定義，這個序列的第n項等於 $\lfloor 10\cdot \{10^{n-2}\pi \}\rfloor ;$ 其中 $\lfloor x\rfloor$ 是 x 的整數部分，而 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ 是 x 的小數部分。因此，
第一項是 $\lfloor 10\cdot \{10^{-1}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{0.3141\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.3141\dots \rfloor =\lfloor 3.141\dots \rfloor =3;$
第二項是$\lfloor 10\cdot \{10^{0}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{3.141\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.141\dots \rfloor =\lfloor 1.41\dots \rfloor =1;$
第三項是$\lfloor 10\cdot \{10^{1}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{31.41\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.41\dots \rfloor =\lfloor 4.1\dots \rfloor =4;$ 等等。

為了計算$\pi$，可以使用公式$\textstyle \pi =3+{\frac {4}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {4}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {4}{6\cdot 7\cdot 8}}-{\frac {4}{8\cdot 9\cdot 10}}+\dots .$ 使用更好的公式可以計算出$\pi$ 的數萬億位小數（即百萬的百萬位）。它們看起來像是隨機的！一方面，這是很自然的，因為我們不知道這個序列中存在任何規律的原因。另一方面，這又很矛盾，因為在這些數字中沒有絲毫的偶然性。等式$\lfloor 10\cdot \{10^{1}\pi \}\rfloor =4$ 是一個數學定理，等式$\lfloor 10\cdot \{10^{41}\pi \}\rfloor =9$ 也是如此，對於任何n，$\lfloor 10\cdot \{10^{n-2}\pi \}\rfloor$ 也同樣如此。（參見 數值計算和嚴謹的數學。）每一個看似隨機的數字，都是一個永恆的數學真理，不可能改變。這種令人費解的情況得到了生動的討論，參見 Wicklin，Preuss，mathoverfow 等等。“為了使我們的無知不至於讓人迷失，需要注意的是，我們甚至不知道所有數字是否都無限次出現：也許 Pi = 3.1415926.....01001000100001000001...”（Stan Wagon，Pi 是否是正規數？）。