數學中的例子和反例/一個實變數的實值函式

多項式

多項式在維基百科。

具有無限多個根的多項式

零多項式 $P(x)=0;$ 每個數都是P的根。這是唯一具有無限多個根的多項式。一個非零多項式具有一定的次數n（n可以是0、1、2，…），並且不能超過n個根，因為根據代數的一個著名定理，如果 $P(a_{1})=\dots =P(a_{m})=0$ （對於成對不同的 $a_{1},\dots ,a_{m}$ ），那麼必然 $P(x)=(x-a_{1})\dots (x-a_{m})Q(x)$ 對於一些非零多項式Q，次數為 $n-m\geq 0.$

整數值與整數係數

整值多項式在維基百科。

每個具有整數係數的多項式P都是整值，即它的值P(k)對於每個整數k都是整數；但反過來只有對於一次多項式（線性函式）才成立。例如，多項式 $\textstyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}x(x-1)$ 每當x是整數時，都會取整數值。這是因為x和x-1中一定有一個是偶數。值 $\textstyle P_{2}(k)={\binom {k}{2}}$ 是二項式係數。

二項式係數在維基百科。

更一般地，對於每個n=0、1、2、3，…，多項式 $\textstyle P_{n}(x)={\frac {1}{n!}}x(x-1)\dots (x-n+1)$ 是整值； $\textstyle P_{n}(k)={\binom {k}{n}}$ 是二項式係數。事實上，每個整值多項式都是這些P_n的整數線性組合。

多項式模擬餘弦：插值

餘弦函式， $f(x)=\cos x,$ 滿足 $f(0)=1,$ $f(\pi /6)={\sqrt {3}}/2,$ $f(\pi /4)={\sqrt {2}}/2,$ $f(\pi /3)=1/2,$ $f(\pi /2)=0;$ 同時 $f(-x)=f(x)$ 以及 $f(x+\pi )=-f(x)$ 對於所有 x 成立，這為 $f(x)$ 是以下數字之一提供了無限個 x： $\pm 1,\pm {\sqrt {3}}/2,\pm {\sqrt {2}}/2,\pm 1/2,0;$ 也就是說，圖上有無限多個點。多項式無法滿足所有這些條件，因為 $|P(x)|\to \infty$ 當 $x\to \pm \infty$ 對於每個非恆定多項式 P 成立；它可以滿足其中一部分嗎？

我們嘗試尋找滿足五個條件的P $P(0)=1,$ $P(\pi /6)={\sqrt {3}}/2,$ $P(\pi /4)={\sqrt {2}}/2,$ $P(\pi /3)=1/2,$ $P(\pi /2)=0.$ 為了方便，我們對x進行重新縮放，令 $\textstyle P(x)=Q{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}$ ，並將五個條件改寫成Q的形式： $Q(0)=1,$ $Q(2)={\sqrt {3}}/2,$ $Q(3)={\sqrt {2}}/2,$ $Q(4)=1/2,$ $Q(6)=0.$ 為了找到這樣的Q，我們使用拉格朗日多項式。

Wikipedia 上的拉格朗日多項式#重心形式.

Lagrange interpolation polynomial — 拉格朗日插值多項式

使用五次多項式 $\ell (x)=x(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)$ ，它在給定點 0, 2, 3, 4, 6 處有根，並考慮到 $\ell '(0)=(-2)\cdot (-3)\cdot (-4)\cdot (-6)=144$ （透過對乘積進行微分來驗證），我們考慮所謂的拉格朗日基多項式 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}={\frac {1}{144}}(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)$ ，它在 2, 3, 4, 6 處有根（但不在 0 處）；左手邊的除法被解釋為多項式的代數除法（即，找到一個多項式，它與分母的乘積是分子 $\ell (x)$ ）而不是函式的除法，因此商對於所有x都定義，包括 0。它在 0 處的值為 1。思考一下為什麼；看圖；回憶一下 $\textstyle \ell '(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\ell (x)}{x}}$ 。

類似地，第二個拉格朗日基多項式 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}=-{\frac {1}{16}}x(x-3)(x-4)(x-6)$ 分別在 0, 2, 3, 4, 6 處取值 0, 1, 0, 0, 0。第三個 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}={\frac {1}{9}}x(x-2)(x-4)(x-6)$ 分別取值 0, 0, 1, 0, 0。依此類推（計算第四個和第五個）。現在，只需將這五個拉格朗日基多項式與係數（等於Q的所需值）相結合即可。

{\begin{aligned}Q(x)&=\textstyle Q(0){\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}+Q(2){\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}+Q(3){\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}+Q(4){\frac {\ell (x)}{\ell '(4)(x-4)}}+Q(6){\frac {\ell (x)}{\ell '(6)(x-6)}}\\&=\textstyle {\frac {1}{144}}(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{16}}x(x-3)(x-4)(x-6)+\\&\qquad +\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{9}}x(x-2)(x-4)(x-6)-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{16}}x(x-2)(x-3)(x-6).\end{aligned}}

Polynomial approximation to cosine — 餘弦函式的多項式逼近

最後， $\textstyle \cos x\approx P(x)=Q{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}.$ 正如我們從圖中看到的那樣，這兩個函式在 $0<x<0.5\pi ;$ 範圍內非常接近；實際上，對於這些 x， $|P(x)-\cos x|$ 的最大值約為 0.00029。

可以透過導數得到更好的近似值。函式 $f(x)=\cos x$ 的導數為 $f'(x)=-\sin x,$ 因此有 $f'(0)=0,$ $f'(\pi /6)=-1/2,$ $f'(\pi /4)=-{\sqrt {2}}/2,$ $f'(\pi /3)=-{\sqrt {3}}/2,$ $f'(\pi /2)=-1.$ 相應的導數 $P'(x)$ 接近但不同；例如，

{\begin{aligned}P'{\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}&={\tfrac {12}{\pi }}Q'(6)={\tfrac {12}{\pi }}\cdot {\big (}{\tfrac {1}{144}}\cdot 4\cdot 3\cdot 2-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\tfrac {1}{16}}\cdot 6\cdot 3\cdot 2+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\tfrac {1}{9}}\cdot 6\cdot 4\cdot 2-\\&\quad -{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{16}}\cdot 6\cdot 4\cdot 3{\big )}={\tfrac {2}{\pi }}-{\tfrac {27{\sqrt {3}}}{2\pi }}+{\tfrac {32{\sqrt {2}}}{\pi }}-{\tfrac {27}{\pi }}\approx -0.9956\neq -1.\end{aligned}}

為了修正導數而不破壞數值，我們將 $Q(x)$ 替換為 $Q(x)+\ell (x)R(x)$ ，其中 $R(x)$ 是一個 4 次多項式，使得 $Q{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}+\ell {\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}$ 的導數等於 $f'(x)$ ，其中 $x=0,{\tfrac {\pi }{6}},{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{2}};$ 也就是說， ${\tfrac {12}{\pi }}Q'{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}+{\tfrac {12}{\pi }}\ell '{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}=f'(x),$ 因為對於這些 x， $\ell {\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}=0$ ；所以，

R(x)={\frac {{\frac {\pi }{12}}f'{\big (}{\frac {\pi }{12}}x{\big )}-Q'(x)}{\ell '(x)}}

，其中

x=0,2,3,4,6.

我們像以前一樣找到這樣的 R

R(x)=\textstyle R(0){\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}+R(2){\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}+R(3){\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}+R(4){\frac {\ell (x)}{\ell '(4)(x-4)}}+R(6){\frac {\ell (x)}{\ell '(6)(x-6)}},

並得到更好的逼近 $\textstyle P_{2}(x)=P(x)+\ell {\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )};$ 事實上， $\max _{0<x<\pi /2}|P_{2}(x)-\cos x|\approx 4.2\cdot 10^{-10}.$ 如果你仍然想要更小的誤差，嘗試二階導數和 $Q(x)+\ell (x)R(x)+\ell ^{2}(x)S(x).$

多項式模擬餘弦函式：根

餘弦函式， $f(x)=\cos x,$ 滿足 $f(0)=1$ 並且有無窮多個根： $f(\pm 0.5\pi )=f(\pm 1.5\pi )=f(\pm 2.5\pi )=\dots =0.$ 多項式不能滿足所有這些條件；它能滿足其中有限部分嗎？

很容易找到一個多項式P，使得 $P(0)=1$ 並且 $P(\pm 0.5\pi )=0,$ 即 $P_{1}(x)=-{\frac {4}{\pi ^{2}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})$ （驗證一下）。那麼 $P(0)=1$ 並且 $P(\pm 0.5\pi )=P(\pm 1.5\pi )=0\,?$

由於條件對x的符號不敏感，我們尋找一個 $x^{2},$ 的多項式，也就是說， $P(x)=Q(x^{2})$ ，其中Q滿足 $Q(0)=1$ 以及 $Q(0.25\pi ^{2})=Q(2.25\pi ^{2})=0.$ 很容易找到這樣的Q，即 $Q(x)={\frac {16}{9\pi ^{4}}}(x-0.25\pi ^{2})(x-2.25\pi ^{2})$ （驗證一下），這導致了

$P_{2}(x)={\frac {16}{9\pi ^{4}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})(x^{2}-2.25\pi ^{2}).$ 就像我們在圖中看到的，這兩個函式在 $-0.5\pi <x<0.5\pi ;$ 範圍內非常接近；事實上，對於這些x， $|P_{2}(x)-\cos x|$ 的最大值約為 0.028，而 $|P_{1}(x)-\cos x|$ （對於這些x）約為 0.056。

在這個方向上的下一步是： $\textstyle P_{3}(x)=-{\frac {64}{225\pi ^{6}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})(x^{2}-2.25\pi ^{2})(x^{2}-6.25\pi ^{2})$ $\textstyle ={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{25\pi ^{2}}}{\Big )};$ $\quad \max _{-0.5\pi <x<0.5\pi }|P_{3}(x)-\cos x|\approx 0.019.$

等等。對於每個 $n=1,2,\dots$ ，多項式

P_{n}(x)={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}\dots {\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}=\prod _{k=1}^{n}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}

滿足 $P_{n}(0)=1$ 和 $P_{n}(\pm 0.5\pi )=P_{n}(\pm 1.5\pi )=\dots =P_{n}(\pm (n-0.5)\pi )=0,$ 這很容易驗證。更難（但可能）證明 $P_{n}(x)\to \cos x$ 作為 $n\to \infty ,$ 它將餘弦表示為無限乘積

\cos x={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}\dots =\prod _{k=1}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}.

維基百科上的三角恆等式列表#無限積公式。

另一方面，眾所周知的冪級數 $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}$ 給出了另一個多項式序列 $Q_{n}(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\dots +{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}$ 收斂到相同的餘弦函式。見圖中的 Q₃； $\quad \max _{-0.5\pi <x<0.5\pi }|Q_{3}(x)-\cos x|\approx 0.0009.$

維基百科上的泰勒級數#三角函式。

我們可以透過展開括號來檢查等式 $\textstyle {\big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\big )}{\big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\big )}\dots =1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\cdots$ 的正確性嗎？讓我們試一下。常數項係數：1=1。x² 的係數： $\textstyle -{\frac {4}{\pi ^{2}}}-{\frac {4}{9\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{2}},$ 也就是說， $\textstyle 1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}};$ 真的嗎？是的， $\textstyle 1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots =\textstyle (1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )-({\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots )=(1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )-{\frac {1}{2^{2}}}(1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {\pi ^{2}}{8}};$ 著名的平方倒數級數起著重要作用。

平方倒數級數在維基百科。

這種非嚴格的括號展開可以嚴格地表示如下。對於任何多項式 *P*，常數項是 *P* 在零點的值，即 *P*(0)；*x* 的係數是導數 *P* '(0) 在零點的值；*x*² 的係數是二階導數 *P''*(0) 在零點的值的一半，即 ½*P''*(0)。顯然， $Q_{n}(0)=1=f(0),$ $Q'_{n}(0)=0=f'(0)$ 和 $Q''_{n}(0)=-1=f''(0)$ 對於所有 $n\geq 1$ （如前所述， $f(x)=\cos x$ ）。上面的計算表明 $P''_{n}(0)\to -1=f''(0)$ 當 *n* 趨於無窮大時。那麼，更高階導數， $P_{n}^{(k)}(0),$ 是否收斂於 $f^{(k)}(0)\,$ ？將上面的計算推廣到 *k*=4、6……是乏味的（甚至可能無法實現）；幸運的是，有一個更好的方法。也就是說， $P_{n}(z)\to f(z)$ 對於所有複數 *z*，而且， $\max _{|z|\leq R}|P_{n}(z)-f(z)|\to 0$ 對於每個 *R*>0。利用柯西微分公式，我們可以得出結論， $\max _{|z|\leq R}|P_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\to 0$ （當 $n\to \infty$ ）對於每個 *k*，特別是， $P_{n}^{(k)}(0)\to f^{(k)}(0).$

維基百科上的柯西微分公式。另請參見 Proofwiki 上解析函式一致極限的導數。

導數的極限與極限的導數

P_{n}(x)=x(1-x^{2})^{n}\,.

當 $-1\leq x\leq 1$ 時，我們有 $P_{n}(x)\to 0$ （思考一下，為什麼）當 $n\to \infty .$ 然而，零點的導數並不收斂到 0；相反，它等於 1（對於所有 *n*），因為，表示 $Q_{n}(x)=(1-x^{2})^{n},$ 我們有 $P'_{n}(x)=(xQ_{n}(x))'=1\cdot Q_{n}(x)+x\cdot Q'_{n}(x);$ $P'_{n}(0)=Q_{n}(0)=1.$

因此，函式序列 $(P_{1},P_{2},\dots )$ 在區間 $[-1,1]$ 上的極限是零函式，因此極限的導數也是零函式。然而，導數序列 $(P'_{1},P'_{2},\dots )$ 至少在 $x=0.$ 處不為零。對於 $0<|x|\leq 1\,$ 情況如何？這裡導數的極限為零，因為 $P'_{n}(x)={\big (}1-(2n+1)x^{2}{\big )}(1-x^{2})^{n-1}\to 0$ （檢查一下；第二個因子的指數衰減超過了第一個因子的線性增長）。因此，

0={\big (}\lim _{n\to \infty }P_{n}(x){\big )}'\neq \lim _{n\to \infty }P'_{n}(x)=f(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}-1\leq x<0,\\1&{\text{for }}x=0,\\0&{\text{for }}0<x\leq 1.\end{cases}}

導數和極限並不總是可以交換的。

請注意，函式 *f* 有兩個等效定義；一個是分段的（對於某些 *x*，一個值，對於其他 *x*，另一個值，等等），但另一個是單個表示式 $f(x)=\lim _{n\to \infty }{\big (}1-(2n+1)x^{2}{\big )}(1-x^{2})^{n-1}$ ，對於所有這些 *x*。

分段函式在維基百科。

函式 *f* 在 (0) 處不連續，儘管它是連續函式 $P'_{n}.$ 的極限。這在逐點收斂的情況下可能發生（即，在所考慮域的每個點都收斂），因為收斂速度可能取決於該點。

逐點收斂在維基百科。

否則（當收斂速度不依賴於該點時），收斂稱為一致收斂；根據一致收斂定理，連續函式的一致極限是一個連續函式。

一致收斂#到連續性在維基百科。

由此可知， $P'_{n}$ （到 *f*）的收斂是非一致的，但這只是一個反證法。

反證法在維基百科。

從直接證明可以更好地理解這一點。導數 $P'_{n}$ 無法一致收斂，因為 $P'_{n}(x)$ 無法變得很小（當 *n* 很大時）對於某些靠近 0 的 *x*；例如，試試 $\textstyle x={\sqrt {\frac {c}{n-1}}}\,:$

\max _{0<x\leq 1}P'_{n}(x)\geq P'_{n}{\Big (}{\sqrt {\frac {c}{n-1}}}\,{\Big )}=\underbrace {{\Big (}1-(2n+1){\frac {c}{n-1}}{\Big )}} _{\to 1-2c}\cdot \underbrace {{\Big (}1-{\frac {c}{n-1}}{\Big )}^{n-1}} _{\to e^{-c}}\to (1-2c)e^{-c}

對於所有 $c>0;$ 並且 $(1-2c)e^{-c}$ 不為零（除非 $c=0.5$ ）。

相反， $P_{n}\to 0$ 在 $[-1,1],$ 上一致收斂，也就是說， $\max _{-1\leq x\leq 1}|P_{n}(x)|\to 0$ 隨著 $n\to \infty ,$ ，因為最大值出現在 $\textstyle x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}$ （透過解方程 $P'_{n}(x)=0$ 進行驗證）並且 $\textstyle 0\leq P_{n}{\big (}{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}{\big )}\leq {\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}\to 0.$ 然而，交換導數和極限運算似乎是不可能的。將此情況與一個眾所周知的定理進行比較

如果 $(f_{n})$ 是 $[a,b]$ 上的可微函式序列，使得 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ 存在（且有限）對於某些 $x_{0}\in [a,b]$ ，並且序列 $(f'_{n})$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂，那麼 $f_{n}$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂於函式 $f$ ，並且 $f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)$ 對於 $x\in [a,b]$ 成立。

維基百科上的一致收斂#到可微性。

導數 $f'_{n}$ 的一致收斂是必需的；函式 $f_{n}$ 的一致收斂是不夠的。

複數在第 “多項式模擬餘弦：根” 節中很有用，但在這裡無能為力，因為對於 $z=\pm ci$ ，我們有 $|P(z)|=c(1+c^{2})^{n}\to \infty$ 對於所有 $c>0.$

怪物函式

連續怪物

每個人都知道如何透過座標平面上的曲線來視覺化連續函式的行為。為此，人們對函式圖形上的足夠多的點 ${\big (}x,f(x){\big )}$ 進行取樣，將它們繪製在 $(x,y)$ 平面上，然後用曲線連線這些點，繪製出圖形。然而，這個看似毫無爭議的想法卻被一些奇特的函式所挑戰，這些函式有時被稱為“連續怪物”。它們通常是所謂的間隙三角級數的和

f(x)=a_{0}+\sum \nolimits _{n=1}^{\infty }(a_{n}\sin(\lambda _{n}x)+b_{n}\cos(\lambda _{n}x){\big )}\qquad

（其中數字

\lambda _{n}\to \infty

相距很遠）。

維基百科上的間隙函式#間隙三角級數。（也在 EoM 上的間隙三角級數）。

其中最著名的就是魏爾斯特拉斯函式

f(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\qquad

（對於適當的

a,b

使得

{\tfrac {1}{b}}\leq a<1

）。

維基百科上的魏爾斯特拉斯函式。

根據 Jarnicki 和 Pflug（第 3.1 節），這是 $C_{a,b}{\big (}{\tfrac {1}{2}}x{\big )}$ （類似的正弦函式級數是 $S_{a,b}$ ）。

Marek Jarnicki，Peter Pflug，連續無處可微函式：分析的怪獸，施普林格，2015 年，299 頁。

這幅影像（由邁克爾·麥克勞克林根據上述維基百科文章在此處複製，以及由理查德·利普頓在此處複製，但沒有參考）實際上是函式 $f(x)=C_{0.5,3}{\big (}{\tfrac {1}{2}}x{\big )}$ 的近似 $f_{7}(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{7}{\tfrac {1}{2^{n}}}\cos(3^{n}\pi x)$ 的圖形，透過連線 $\approx 3100$ 個取樣點（可以透過檢查XML 程式碼，該程式碼位於SVG 檔案中）獲得。雖然看起來像一條曲線，但它顯得相當奇怪。最後兩個求和項被扭曲了，因為步長 $\approx {\tfrac {4}{3100}}\approx 0.0013$ 超過了 $\cos(3^{7}\pi x)$ 的週期 ${\tfrac {2}{3^{7}}}\approx 0.0009$ ，並且接近 $\cos(3^{6}\pi x).$ 的一半週期 ${\tfrac {2}{3^{6}}}\approx 0.0027$ 。然而，所有 $n>5$ 的項最多貢獻 $2^{-6}+2^{-7}+2^{-8}+\dots =2^{-5}={\tfrac {1}{32}},$ 也就是說，對於所有的 $x;$ ， $|f(x)-f_{5}(x)|\leq {\tfrac {1}{32}}$ ；除非放大影像，否則這種差異幾乎不可見。

到目前為止，一切順利。但這個怪物還不是最糟糕的。為了得到一個更可怕的間斷三角級數，人們可以嘗試頻率 $\lambda _{n}$ 比 $3^{n},$ 增加得更快，或者係數比 $1/2^{n},$ 減少得更慢，或者兩者兼而有之。

讓我們嘗試一下這個級數

g(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)={\tfrac {1}{2}}\cos 2\pi x+{\tfrac {1}{6}}\cos 6\pi x+{\tfrac {1}{12}}\cos 18\pi x+\dots \,;

這些係數 ${\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{n+1}}-{\tfrac {1}{n+2}}$ 很方便，因為它們的和是（有限的且）明顯的： $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}+\dots =(1-{\tfrac {1}{2}})+({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}})+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}})+\dots =1.\;$ 因此， $\,g(0)=1\,$ （因為 $\cos 0=1$ ），以及 $\,-1\leq g(x)\leq 1\,$ 對所有 $x$ （因為 $-1\leq \cos x\leq 1$ ）。

部分和

g_{0}(x)

g_{1}(x)

g_{2}(x)

類似地， $\,\sum \nolimits _{n=0}^{N}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}=1-{\tfrac {1}{N+2}}\,$ 以及 $\,\sum \nolimits _{n=N+1}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{N+2}}.\,$ 因此，部分和 $\;g_{N}(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{N}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)$ 和尾部 ${\displaystyle \;g(x)-g_{N}(x)=\sum \nolimits _{n=N+1}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)\,}.$ 滿足 $\,g_{N}(0)=1-{\tfrac {1}{N+2}},\,$ $\,g(0)-g_{N}(0)={\tfrac {1}{N+2}}\,$ 以及 $\,|g_{N}(x)|\leq 1-{\tfrac {1}{N+2}},\,$ $\,|g(x)-g_{N}(x)|\leq {\tfrac {1}{N+2}}\,$ 對所有 $x.$

由於明顯的對稱性（見 $g_{0},g_{1},g_{2}$ 在週期 $[0,1]$ 上的圖形），只需要在 $[0,\,1/4].$ 上繪製此函式。

仔細觀察 $g_{8}$ 的圖形，我們開始產生懷疑。乍一看，它是用較粗的筆繪製的。但事實並非如此；一些（幾乎？）垂直線很細。所以，我們在這裡看到的是一條曲線，還是兩條“平行”曲線之間的區域？

g_{8}(x)

和

g_{10}(x),

，放大40倍

g_{10}(x)

和

g_{12}(x),

，放大400倍

$g_{8}$ 的圖形在放大後變得清晰可見，但隨著 $g_{10}.$ 的出現，這種懷疑又回來了，而且更加強烈。再放大一次只會讓情況更糟。我們意識到， $g_{8}$ 在 $[0,\,1/4]$ 上的圖形看起來過於完美。特別是， $g$ 的圖形似乎穿過了紅色框的上側。那麼，如何才能更接近 $g(x)?$ 的圖形呢？

幸運的是，對於 $x$ 的某些特殊值， $g(x)$ 的確切值是顯而易見的。首先， $g(0)=1$ （見上文），因此對於所有整數 $k$ ，都有 $g(k)=1$ ，這是由於週期性：對於所有 $x.$ 都有 $g(x+1)=g(x)$ 。類似地， $g{\big (}k+{\tfrac {1}{2}}{\big )}=g{\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}=-1,$ 因為對於所有奇數整數 $k$ ，都有 $\cos k\pi =-1$ （特別是， $k=3^{n}$ ）。另一方面，對於所有 $x.$ ，都有 $-1\leq g(x)\leq 1$ 。

去掉第一個加數，我們得到第一個尾部 $g(x)-g_{0}(x),$ ，週期為 ${\tfrac {1}{3}}.$ 因此， $g{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}=g(0)-g_{0}(0)={\tfrac {1}{2}}$ 並且 $g{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g{\big (}{\tfrac {1}{6}}{\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{6}}{\big )}=-{\tfrac {1}{2}}$ 對所有整數 $k.$ 另一方面， $-{\tfrac {1}{2}}\leq g(x)-g_{0}(x)\leq {\tfrac {1}{2}}$ 對所有 $x.$ 因此，

g(x)

的特殊值和範圍

透過

g_{0}(x)

透過

g_{1}(x)

g{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}=g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}+{\tfrac {1}{2}},\quad

g{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-{\tfrac {1}{2}}\quad

對於所有整數

k,

g_{0}(x)-{\tfrac {1}{2}}\leq g(x)\leq g_{0}(x)+{\tfrac {1}{2}}\quad

對於所有

x.

類似地，對於所有 $N,$

g{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}k{\big )}=g_{N}{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}k{\big )}+{\tfrac {1}{N+2}},\quad

g{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g_{N}{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-{\tfrac {1}{N+2}}\quad

對於所有整數

k,

g_{N}(x)-{\tfrac {1}{N+2}}\leq g(x)\leq g_{N}(x)+{\tfrac {1}{N+2}}\quad

對所有

x.

回到 $g_{10}(x)$ 和 $g_{12}(x)$ 在 $[0.11,0.1125],$ 上，我們透過 $g_{10}(x)$ 新增特殊值和邊界，可以發現 $g(x)$ 比 $g_{12}(x)$ 距離 $g_{10}(x)$ 更遠，而 $g_{12}(x)$ 距離 $g_{10}(x).$ 在紅色曲線上我們有超過 440 個點，藍色曲線上也有同樣多的點。

因此，如果圖片的橫向尺寸小於 440 畫素，那麼 $g(x)$ 的圖形不可避免地會穿過紅色曲線和藍色曲線之間的所有畫素！在給定的解析度下， $g(x)$ 的圖形看起來不像一條曲線，而像是兩條平行曲線之間的區域。

這本身並不令人驚訝。例如，一個由 100 赫茲聲音調製的 10 兆赫茲無線電波可以用以下函式來描述： $h(t)=\cos(10^{2}\cdot 2\pi t)\cdot \cos(10^{7}\cdot 2\pi t).$ 例如，在 $[0,0.1]$ 上， $h(t)$ 的圖形看起來不像一條曲線，而是兩條曲線之間的區域，即 $\pm \cos(10^{2}\cdot 2\pi t).$ 並在 $[0,10^{-4}]$ 上看起來像一個矩形區域。然而，放大最終會有所幫助；在 $[0,10^{-6}]$ （或任何其他 1 微秒間隔）上， $h(t)$ 的圖形看起來像一條曲線。

相比之下，對於 $g(t)$ ，放大永遠不會有幫助，只會讓情況變得更糟。實際上，最終會導致圖形看起來像一個矩形區域。這顯示了 $g(x).$ 的巨大性質。另一方面，當放大趨於無窮大時，（近似）矩形區域的高度收斂於零；這顯示了 $g(x).$ 的連續性質。

用類似區域圖的圖形進行視覺化效果並不理想。雖然無法繪製曲線圖，但我們仍然可以做得更多。我們可以隨機選擇許多 $x,$ 的值，計算給定函式對應的 $y$ 值，並繪製點 $(x,y).$ 這張圖顯示了 $37\,500$ 個隨機點在尾部 $g(x)-g_{10}(x)$ 圖形上的樣本，這些樣本位於該尾部週期（由於明顯的對稱性，如前所述，第一個週期就足夠了）的第一象限。事實上，這裡使用函式 $g_{310}(x)-g_{10}(x)$ 作為 $g(x)-g_{10}(x),$ 的一個令人滿意的近似，每個 $x$ 都用超過 $300$ 位三進位制（即以 3 為底）數字來指定，以便計算 $\cos(3^{310}\cdot 2\pi x).$

和以前一樣，紅線和藍線是給定函式 $g(x)-g_{10}(x)$ （透過 $g_{15}(x)-g_{10}(x)$ ）的邊界，而這些曲線上的點是特殊值。令人驚訝的是：所有 $37\,500$ 個隨機點都遠離這些邊界！通常 $50$ 個點就足以獲得函式最大值的滿意圖片。但對於這個怪物， $37\,500$ 個點太少了。

通常，對於間斷三角級數的和，即使是近似地，例如，相對誤差小於 10%，也很難找到它的最大值和最小值（在給定區間內）。我們選擇頻率 $\lambda _{n}=3^{n},$ 與我們使用餘弦而不是正弦相一致，使我們能夠找到和的異常高值。為了充分理解這種好運，試著最大化如下函式 $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\sin(3^{n}\cdot 2\pi x),$ 或最小化 $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(4^{n}\cdot 2\pi x),$ ，你會意識到為什麼魏爾斯特拉斯更喜歡餘弦函式和形式為 $b^{n}$ 的頻率，其中 $b$ 是一個正奇數。常用的數值最佳化方法失效，因為區域性極值點很多且非常尖銳。由於連續性，怪獸函式在其最大化點的某個鄰域內接近其最大值，但這個鄰域非常小；隨機點幾乎沒有機會進入這樣的鄰域。絕大多數值遠非極值。

為了研究尾部 $g(x)-g_{10}(x)$ 在其週期上的值分佈，可以取 $37\,500$ 個值 $y$ 在週期的第一個象限（上面使用），以及 $37\,500$ 個相反數 $(-y)$ （這些是第二象限的值），將所有這些 $75\,000$ 個數字按升序排序，並將結果視為新函式在等間距點上的值。這是結果的繪圖，參見紅色曲線。這是對所謂的給定函式的單調（遞增）重排的數值近似。

值得注意的是，結果非常接近著名的正態分佈 ${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ ，紅色曲線非常接近相應的分位數函式 $\sigma \Phi ^{-1}(p)$ （由黑點表示）。

正態分佈在維基百科。

正態分佈#分位數函式在維基百科。

(這裡 $\textstyle \sigma ^{2}=\int _{0}^{1}{\big (}g_{310}(x)-g_{10}(x){\big )}^{2}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=11}^{310}{\big (}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}{\big )}^{2}\approx 0.00981^{2}.$ ) 奇妙的是，該函式本身很複雜，但其單調重排卻很簡潔。為什麼會出現這種情況？

給定的函式是由許多項（形式為 $\textstyle {\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)$ ) 構成；而 *“中心極限定理指出，在一定（相當普遍的）條件下，許多隨機變數的和將近似服從正態分佈。”*

正態分佈#中心極限定理在維基百科。

從均勻分佈中隨機選取一個點 $x\in [0,1]$ ，我們可以將這些項視為隨機變數。但是，條件之一是獨立性；而我們的這些項是相關的，而且是函式相關的，因為 $\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta .$ （更一般地說， $\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta ),$ $T_{n}$ 是切比雪夫多項式。）然而，對間斷三角級數的機率方法仍然存在，並能帶來成果；特別是，正態分佈在這種情況下出現是一個眾所周知的現象。

中心極限定理#間斷三角級數在維基百科。
Freddy Delbaen 和 Emma Hovhannisyan，間斷級數的精確極限定理，電子預印本，2018 年。

但顯然，正態逼近在某個地方必須失效，因為我們的函式是有界的（以 $1/12$ 為界），而正態隨機變數不是。

中心極限定理名稱中的“中心”有兩種解釋：（1）在機率論中具有核心重要性；（2）描述分佈的中心，而不是其尾部，也就是說，描述的是大偏差。

中心極限定理#歷史在維基百科上。

大偏差理論在維基百科上。

在正態分佈中，高於 ${\text{mean}}+3\sigma$ 的偏差出現的機率為 $\approx 0.0013;$ 因此，對於 $0<x<1,$ 不等式 $g(x)-g_{10}(x)>3\sigma$ 在總長度為 $\approx 0.0013,$ 的區間上成立，大小為 $75\,000$ 的隨機樣本應該包含大約 $0.0013\times 75\,000\approx 100$ 個這樣的值。這在前面的圖片中是看不出來的，但在放大的圖片中就很明顯了。

對於 $4\sigma$ ，正態機率僅為 $\approx 0.000032,$ 且 $0.000032\times 75\,000$ 僅為 $\approx 2.4;$ 為了觀察 $4\sigma$ 和 $5\sigma$ 情況，我們需要更大的樣本量和對數刻度。這最後一張圖片展示了一個大小為 $10^{8}=100\,000\,000$ 的樣本（這需要計算機幾個小時來完成）。我們看到，分佈在 $4\sigma$ 附近接近正態分佈，但在 $5\sigma .$ 偏離正態分佈。希望，近似正態性遵循一些適用於 $4\sigma ,$ 的中等偏差理論，而偏離正態性遵循一些適用於 $5\sigma$ 及更遠位置的大偏差理論；但目前，儘管在間隙級數的機率方法方面取得了進展，但這樣的理論還沒有出現，圖片中大紅色問號附近的情況仍然未知。自然可以猜測，在這個區域， $t\sigma$ 偏差的機率小於其正態近似值，因此，小於 $\exp(-t^{2}/2).$

假設這個猜想是正確的，並考慮到 $0.9\cdot {\tfrac {1}{12}}>7.6\sigma$ 且 $\exp(-7.6^{2}/2)<3\cdot 10^{-13},$ 我們得出結論，函式 $g(x)-g_{10}(x)$ 超過其最大值的 $90\%$ ，在總長度小於（可能遠小於） $3\cdot 10^{-13}.$ 的區間上。

但是，同樣，這個怪物並不是最糟糕的。為了得到一個更加可怕的缺失三角級數，人們可以嘗試頻率 $\lambda _{n}$ 比 $3^{n},$ 增加得更快，或者係數比 $1/n^{2},$ 減少得更慢，或者兩者兼而有之。出乎意料的是，或者說並不那麼出乎意料的是，這些函式在分析上越可怕，在機率上就越容易處理。（在 Delbaen 和 Hovhannisyan 的論文中，請注意係數 $1/n^{\alpha }$ 對於 $\alpha <{\tfrac {1}{2}}$ 在備註 2.3 中；也請注意“大間隙”定理 1.4、2.15、2.16 對於 ${\tfrac {\lambda _{n+1}}{\lambda _{n}}}\to \infty .$ ）。這是由德布魯因提出的一般現象的特殊情況，如下所示。

我們經常需要評估某個數字 [...] 使得直接方法幾乎是不可行的 [...] 我們應該非常高興擁有一個完全不同的方法 [...] 至少可以提供一些有用的資訊。通常，這種新方法給出的結果（正如拉普拉斯所指出的）與其必要程度成正比。 [...]

N.G. 德布魯因，分析中的漸近方法，北荷蘭出版社，1958 年。參見第 1.1 節“什麼是漸近線？”（第 1 頁）。