數學/集合中的例子和反例

• 集合 在維基百科上。

沒有成員的集合

• 空集 在維基百科上。

空集，用 $\emptyset$ （有時也寫成 $\{\}$）表示，不包含任何成員。如果你覺得它奇怪且令人不安，想想數字零（表示為 0）；它曾經是一個奇怪且令人不安的想法，但現在已被普遍接受。$\emptyset$ 中成員的數量是 0。

空集是一個集合，而不是“沒有集合”。類似地，一個空箱子是一個箱子，而不是“沒有箱子”；而 0 是一個數字，而不是“沒有數字”。將 0 代入函式 f 中，我們得到另一個數字 f(0)，通常不等於 0。例如，$\cos 0=1$。同樣，$2^{0}=1.$ 後者有一個集合論對應關係，見下一項。

空集的冪集不是空的

• 冪集 在維基百科上。

任何集合 S 的冪集（或“冪集”）是 S 的所有子集的集合，包括空集和 S 本身。如果 $S=\emptyset ,$，那麼它的冪集包含 $\emptyset$ 以及其他任何東西；它是 $\{\emptyset \},$ 也就是說，$\{\{\}\}.$ 類似地，一個只包含一個空箱子的箱子是一個非空箱子。這個冪集中元素的數量是 1。一般來說，如果 S 包含 n 個元素，那麼它的冪集包含 $2^{n}$ 個元素。特別地，$2^{0}=1.$