直線運動
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定義 - 速度和速度 - 圖表 - 運動方程 - 重要方程和數量

運動方程

本節介紹如何解決與勻加速運動相關的問題。我們首先介紹變數和方程，然後演示如何推導它們，最後通過幾個例子來講解。

u = 初始速度（m/s）在 t = 0 時

v = 末速度（m/s）在時間 t 時

s = 位移（m）

t = 時間（s）

a = 加速度（m/s²）

v=u+at\,

(5.1)

s={\frac {(u+v)}{2}}t

(5.2)

s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}

(5.3)

v^{2}=u^{2}+2as\,

(5.4)

$\Delta x=1/2*a*(\Delta t)^{2}+u(\Delta t)$

確保你能背誦這些公式，它們非常重要！對於這些公式，有許多不同的問題型別。基本上，當你解答這類問題時

找出你已知的數值並寫下來。
確定你需要使用哪個公式。
寫下公式！
將已知的值代入公式並計算答案。

(-1.5,0)

義大利比薩的伽利略·伽利雷是最早確定加速度正確數學規律的人：從靜止開始，物體所走過的總距離與時間的平方成正比。他還得出結論：

物體保持其速度，除非有外力（通常是摩擦力）作用於它，從而推翻了亞里士多德的公認假設，即物體在沒有外力作用的情況下會“自然”地減速並停止。這一原理被納入牛頓運動定律（第一定律）。

方程 5.1

根據加速度的定義 $a={\frac {\Delta v}{t}}$ 其中 $\Delta$ v 是速度的變化，即 $\Delta v=v-u$ 。因此我們有

{\begin{matrix}a&=&{\frac {v-u}{t}}\\v&=&u+at\end{matrix}}

方程 5.2

在上一節中我們看到，位移可以從速度-時間圖和時間軸之間的面積計算出來。對於勻加速運動，我們能得到的*最複雜*的速度-時間圖是一條直線。看下圖 - 它表示一個物體以初始速度 u 開始運動，在總時間 t 內加速到末速度 v。

為了計算最終的位移，我們必須計算圖形下的面積 - 這只是矩形的面積加上三角形的面積。

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}t\times (v-u)\\&=&{\frac {1}{2}}vt-{\frac {1}{2}}ut\end{matrix}}

{\begin{matrix}Area\Box &=&w\times h\\&=&t\times u\\&=&ut\end{matrix}}

{\begin{matrix}Displacement&=&Area\Box +Area\triangle \\s&=&ut+{\frac {1}{2}}vt-{\frac {1}{2}}ut\\&=&{\frac {(u+v)}{2}}t\end{matrix}}

公式 5.3

此公式是透過在公式 5.2 中消去最終速度 v 推匯出來的。回想公式 5.1，我們知道

v=u+at

那麼公式 5.2 變成

{\begin{matrix}s&=&{\frac {u+u+at}{2}}t\\&=&{\frac {2ut+at^{2}}{2}}\\&=&ut+{\frac {1}{2}}at^{2}\end{matrix}}

公式 5.4

此公式是透過在上述公式中消去時間變數推匯出來的。根據公式 5.1，我們知道

t={\frac {v-u}{a}}

將此代入公式 5.3 得

{\begin{matrix}s&=&u({\frac {v-u}{a}})+{\frac {1}{2}}a({\frac {v-u}{a}})^{2}\\&=&{\frac {uv}{a}}-{\frac {u^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a({\frac {v^{2}-2uv+u^{2}}{a^{2}}})\\&=&{\frac {uv}{a}}-{\frac {u^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}}{2a}}-{\frac {uv}{a}}+{\frac {u^{2}}{2a}}\\2as&=&-2u^{2}+v^{2}+u^{2}\\v^{2}&=&u^{2}+2as\end{matrix}}

(5.5)

這使我們獲得了最終速度關於初始速度、加速度和位移的表示式，且與時間變數無關。

例題 28

問題：一輛賽車初始速度為 100 米/秒，它在 10 秒內行駛了 725 米。求它的加速度。

解答

步驟 1

我們已知 u、s 和 t 的值——都已用正確單位表示。我們需要求 a。

步驟 2

我們可以使用公式 5.3 $s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$

步驟 3

重新排列公式 5.3 我們得到 $a={\frac {2(s-ut)}{t^{2}}}$

代入已知量的值，得到

{\begin{matrix}a&=&{\frac {2(725{\mbox{ m}}-100{\frac {\mbox{m}}{\mbox{s}}}\cdot 10{\mbox{ s}})}{10^{2}{\mbox{ s}}^{2}}}\\&=&{\frac {2(-275{\mbox{ m}})}{100{\mbox{ s}}^{2}}}\\&=&-5.5{\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}\end{matrix}}

賽車以 -5.5 m/s² 的加速度加速，或者可以說它以 5.5 m/s² 的速度減速。這個答案是錯誤的

最好使用 a=v-u/t，然後 a=(725-100)/10s，你會得到 a=625/10，它將等於 62.5m/s2

例題 29

問題：一個物體從靜止開始，以恆定的加速度沿直線運動，並在 4 秒內移動了 64 米。計算

它的加速度
它的最終速度
物體經過多少時間才能移動總距離的一半
物體在總時間的一半內移動了多少距離。

解答

步驟 1：我們以正確的單位給出了數量 u、s 和 t。

步驟 2：為了計算加速度，我們可以使用公式 [#eq:eq3 5.3]。重新排列它，我們得到

a={\frac {2(s-ut)}{t^{2}}}

代入已知量的值，得到

{\begin{matrix}a&=&{\frac {2(64m-0{\frac {m}{s}}4s}{4^{2}s^{2}}}\\&=&{\frac {128m}{16s^{2}}}\\&=&8{\frac {m}{s^{2}}}\end{matrix}}

步驟 3：為了計算它的最終速度，我們可以使用公式 5.1 - 記住我們現在也知道了物體的加速度。

{\begin{matrix}v&=&u+at\\&=&0{\frac {m}{s}}+(8{\frac {m}{s^{2}}})(4s)\\&=&32{\frac {m}{s}}\end{matrix}}

步驟 4：物體經過多少時間才能移動總距離的一半。一半的距離是 32m。這裡我們有數量 s、u 和 a，所以我們首先使用公式 5.4 來計算這個距離的速度

{\begin{matrix}v^{2}&=&u^{2}+2as\\&=&(0m)^{2}+2(8m/s^{2})(32m)\\&=&512m^{2}/s^{2}\\v&=&22.6m/s\end{matrix}}

現在我們可以使用方程式 5.2 計算時間

{\begin{matrix}t&=&{\frac {2s}{u+v}}\\&=&{\frac {(2)(32m)}{0m/s+22.6m/s}}\\&=&2.8s\end{matrix}}

步驟 5：物體在半時間內所經過的距離。半時間為 2s。因此，我們有 u、a 和 t - 它們都具有正確的單位。我們可以使用方程式 5.3 來得到距離

{\begin{matrix}s&=&ut+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&=&(0m/s)(2s)+{\frac {1}{2}}(8{\frac {m}{s^{2}}})(2s)^{2}\\&=&16m\end{matrix}}

例項 30

問題：一個球以 10 m/s 的速度從一棟高樓的陽臺垂直向上丟擲。陽臺距離地面 15 米，重力加速度為 10 m/s²。求 a) 球擊中地面所需的時間，b) 球擊中地面的速度。

解答：1

步驟 1：在這種情況下，如果我們畫出下面的圖片，它通常有助於使問題更容易理解

首先，球向上運動，重力加速度使它的速度減慢，直到它到達最高點——在這裡它的速度為 0 m/s——然後它開始下降，重力加速度使它在下降過程中速度加快。我們可以將運動分成兩個階段

階段 1 - 球的向上運動

階段 2 - 球的向下運動。

我們將向上方向選擇為正——這意味著重力加速度為負——我們將從求解階段 1 的所有變數開始。到目前為止，我們有這些量

{\begin{matrix}u_{1}&=&10m/s\\v_{1}&=&0m/s\\a_{1}&=&-10m/s^{2}\\t_{1}&=&?\\s_{1}&=&?\end{matrix}}

使用方程式 5.1 求 t₁

{\begin{matrix}v_{1}&=&u_{1}+a_{1}t_{1}\\t_{1}&=&{\frac {v_{1}-u_{1}}{a_{1}}}\\&=&{\frac {0m/s-10m/s}{-10m/s^{2}}}\\&=&1s\end{matrix}}

我們可以使用方程式 5.4 求 s₁

{\begin{matrix}v_{1}^{2}&=&u_{1}^{2}+2a_{1}s_{1}\\s_{1}&=&{\frac {v_{1}^{2}-u_{1}^{2}}{2a}}\\&=&{\frac {(0m/s)^{2}-(10m/s)^{2}}{2(-10m/s^{2})}}\\&=&5m\end{matrix}}

對於階段 2，我們有以下資料

{\begin{matrix}u_{2}&=&0m/s\\v_{2}&=&?\\a_{2}&=&-10m/s^{2}\\t_{2}&=&?\\s_{2}&=&-15m-5m=20m\end{matrix}}

我們可以用公式 5.4 求得最終速度v₂

{\begin{matrix}v_{2}^{2}&=&u_{2}^{2}+2a_{2}s_{2}\\&=&(0m/s)^{2}+2(-10m/s^{2})(-20m)\\&=&400(m/s)^{2}\\v_{2}&=&20m/s{\mbox{ downwards}}\end{matrix}}

現在我們可以用公式 5.1 求得階段 2 的時間 t₂

{\begin{matrix}v_{2}&=&u_{2}+a_{2}t_{2}\\t_{2}&=&{\frac {v_{2}-u_{2}}{a_{2}}}\\&=&{\frac {-20m/s-0m/s}{-10m/s^{2}}}\\&=&2s\end{matrix}}

最後，

a) 石頭落到地面所需時間為

$t=t_{1}+t_{2}=1{\mbox{ s}}+2{\mbox{ s}}=3{\mbox{ s}}$

b) 石頭撞擊地面的速度為

$v_{2}=-20\ {\mbox{m}}/{\mbox{s}}$

答案：2

應用
${\vec {s}}(t)={\vec {S}}_{i}+{\vec {U}}_{i}\ (t-T_{i})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}$
$0=15{\hat {j}}+10{\hat {j}}(T_{total}-0)+{\frac {-10{\hat {j}}}{2}}(T_{total}-0)^{2}$
$T_{total}^{2}-2\ T_{total}-3=0$
解得
$T_{total}=3,-1$
所以到達時間為3秒，現在應用
${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}(t-T_{i})$
${\vec {v}}(3)=10{\hat {j}}+(-10{\hat {j}})(3-0)$
${\vec {v}}(3)=-20{\hat {j}}$