直線運動
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定義 - 速度和速率 - 圖表 - 運動學方程 - 重要公式和量

圖表

在物理學中，我們經常使用圖表作為重要的工具來描繪某些概念。下面是一些幫助我們描繪位移、速度和加速度概念的圖表。

位移-時間圖表

下面是顯示騎車人從 A 到 C 的位移的圖表

該圖表顯示了騎車人在 10 秒內從 A 移動到 C 的情況。我們知道圖表的梯度（斜率）定義為 y 變化量除以 x 變化量，即 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 。在這個圖表中，圖表的梯度只是 ${\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}$ - 這只是速度的表示式。

重要

速度-時間圖表與“時間”軸之間的面積表示物體的位移。

從 A 到 C 的斜率始終保持一致，因此騎車人從 A 到 C 的整個位移過程中速度保持恆定。圖 5.1 顯示了您將遇到的位移-時間圖表的示例。

a) 顯示了一個物體在一段時間內靜止的圖表。梯度為零，因此物體速度為零。

b) 顯示了一個物體以恆定速度運動的圖表。您可以看到，隨著時間的推移，位移不斷增加。然而，梯度保持恆定（記住：它是直線的斜率），因此速度是恆定的。這裡梯度為正，因此物體沿我們定義為正的方向運動。

c) 顯示了一個物體以恆定加速度運動的圖表。您可以看到，位移和速度（圖表的梯度）都隨著時間而增加。梯度隨著時間而增加，因此速度隨著時間而增加，物體正在加速。

速度-時間圖表

勻加速運動和梯度（斜率）

請看下面的速度-時間圖表

這是騎車人以恆定加速度從 A 到 B 行駛的速度-時間圖表，即速度穩步增加。該圖表的梯度（斜率）只是 ${\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}$ - 這只是加速度的表示式。因為斜率在該圖表的每個點都相同，所以騎車人的加速度是恆定的。恆定加速度為 $2/m/s^{2}$ ，或每秒每秒 2 米（或每秒平方 2 米）

{\begin{matrix}\mathrm {slope\ of\ line} &=&\Delta v/\Delta t\\&=&{\frac {10m/s}{5s}}\\&=&2{\frac {m}{s^{2}}}\\\end{matrix}}

重要

速度-時間圖表上的梯度（斜率）等於加速度。

行進距離

我們不僅可以從物體的速度-時間圖表獲得加速度，還可以獲得關於物體位移的一些資訊。請看下面的圖表

該圖表顯示了一個物體以 10 m/s 的恆定速度運動了 5 s 的時間。上述圖中圖表與時間軸之間的面積（陰影區域）將為我們提供這段時間內物體的位移。在這種情況下，我們只需要計算一個寬度為 5s、高度為 10 m/s 的矩形的面積。

{\begin{matrix}\mathrm {area\ of\ rectangle} &=&\mathrm {height} \times \mathrm {width} \\&=&{\overrightarrow {v}}\times t\\&=&10{\frac {m}{s}}\times 5s\\&=&50m\\&=&{\overrightarrow {s}}=\mathrm {displacement} \\\end{matrix}}

因此，我們已經證明，以 10 m/s 的速度運動 5 秒的物體，位移為 50 米。

重要
速度-時間圖表與“時間”軸之間的面積表示物體的位移。

這裡再舉幾個速度-時間圖的例子，幫助你理解。

圖 5.2：一些常見的速度-時間圖

圖 5.2 展示了你可能會遇到的位移-時間圖的例子。

a) 顯示了物體在一段時間內以恆定速度運動的圖。斜率為零，因此物體沒有加速度。

b) 顯示了正在減速的物體的圖。你可以看到速度隨著時間而減小。然而，斜率保持不變（記住：它是直線的斜率），所以加速度是恆定的。這裡斜率為負，所以物體沿與其運動方向相反的方向加速，因此它正在減速。

加速度-時間圖

在本章關於直線運動的討論中，我們只討論以恆定加速度運動的物體，因此所有加速度-時間圖將類似於這兩個例子。

以下是下面圖表的描述。

a) 顯示了靜止或以恆定速度運動的物體的圖。無論哪種情況，加速度都隨時間為零。

b) 顯示了以恆定加速度運動的物體的圖。在這種情況下，加速度為正 - 請記住，它也可以為負。

我們可以從加速度-時間圖中得到粒子在某一時間的速度 - 它正好由圖與時間軸之間的面積給出。在下圖中，顯示了以恆定正加速度運動的物體，物體在 2 秒後的速度增加對應於陰影部分。

{\begin{matrix}\mathrm {area\ of\ rectangle} &=&{\overrightarrow {a}}\times t\\&=&5{\frac {m}{s^{2}}}\times 2s\\&=&10{\frac {m}{s}}\\&=&{\overrightarrow {v}}\\\end{matrix}}

在處理問題時，記住下面的圖集非常有用。圖 5.3 顯示了位移、速度和時間之間的關係。給定左邊的位移-時間圖，我們可以透過記住位移-時間圖的斜率給出速度來繪製相應的速度-時間圖。類似地，我們可以從速度-時間圖的斜率繪製加速度-時間圖。

圖 5.3：位移、速度和加速度之間的關係

例題

例題 24：位移-、速度-和加速度-時間圖之間的關係

問題：給定下面的位移-時間圖，繪製相應的速度-時間圖和加速度-時間圖，然後描述物體的運動。

解答

步驟 1：分析問題，確定已知條件。問題明確給出了一個位移-時間圖。

步驟 2：要求什麼？

3 件事

繪製速度-時間圖
繪製加速度-時間圖
描述物體的行為

在最初的 2 秒內，我們可以看到位移保持不變 - 因此物體沒有運動，因此在這段時間內它的速度為零。我們也可以透過另一種途徑得出這個結論：記住位移-時間圖的斜率就是速度。在最初的 2 秒內，我們可以看到位移-時間圖是一條水平線，即斜率為零。因此，這段時間內的速度為零，物體處於靜止狀態。

在接下來的 2 秒內，位移隨著時間而增加，因此物體正在運動。觀察位移圖的斜率，我們可以看到它不是恆定的。事實上，隨著時間的推移，斜率變得越來越陡（斜率正在增加）。因此，記住位移-時間圖的斜率是速度，速度在這段時間內必須隨著時間而增加。

在最後的 2 秒內，我們看到位移仍然隨著時間而增加，但這次斜率是恆定的，所以我們知道物體現在以恆定速度運動，因此速度-時間圖在這個階段將是一條水平線。

所以我們的速度-時間圖看起來像下面這個。因為我們沒有得到位移-時間圖垂直軸上的任何值，所以我們無法確定確切的斜率，因此也無法確定速度的值。在這種型別的問題中，重要的是要顯示速度是正的還是負的、是增加的、減少的還是恆定的。

一旦我們有了速度-時間圖，就很容易得到加速度-時間圖，因為我們知道速度-時間圖的斜率就是加速度。

在最初的 2 秒內，速度-時間圖是水平的，為零，因此斜率為零，在這段時間內沒有加速度。（這是有道理的，因為我們從位移-時間圖知道物體在這段時間內處於靜止狀態，因此它不可能在加速）。

在接下來的 2 秒內，速度-時間圖具有正斜率。這個斜率在這 2 秒內沒有變化（即它是恆定的），因此必須存在一個恆定的正加速度。

物體在最後 2 秒以恆定速度運動。在此期間，速度-時間圖的斜率再次為零，因此物體沒有加速度。

加速度-時間圖如下所示

物體的運動簡要描述如下：在 t = 0s 時，物體靜止在某個位置，並保持靜止直到 t = 2s，然後開始加速。它在正方向加速 2 秒，直到 t = 4s，然後以恆定速度再行駛 2 秒。

例題 25 從速度-時間圖計算距離

問題：下方是汽車的速度-時間圖。計算汽車在 15 秒後的位移。

解答：我們被要求計算汽車的位移。我們只需要記住，速度-時間圖與時間軸之間的面積就是位移。

對於 t = 0s 到 t = 5s，這是左側的三角形

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}5s\times 4m/s\\&=&10m\end{matrix}}

對於 t = 5s 到 t = 12s，位移等於矩形的面積

{\begin{matrix}Area\Box &=&w\times h\\&=&7s\times 4m/s\\&=&28m\end{matrix}}

對於 t = 12s 到 t = 14s，位移等於右側時間軸上方三角形的面積

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}2s\times 4m/s\\&=&4m\end{matrix}}

對於 t = 14s 到 t = 15s，位移等於時間軸下方三角形的面積

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}1s\times 2m/s\\&=&1m\end{matrix}}

現在汽車的總位移只是所有這些面積的總和。但是，因為在最後 1 秒（從 t = 14s 到 t = 15s）汽車的速度為負，這意味著汽車正在往相反的方向行駛，也就是說，它回到了原處！所以，為了得到總位移，我們必須加上前 3 個面積（那些具有正位移的面積），然後減去最後一個面積（因為它代表了相反方向的位移）。

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}&=&10+28+4-1\\&=&41m\ in\ the\ positive\ direction\end{matrix}}

例題 26 從位移-時間圖求速度

問題：已知下方位移-時間圖，

物體在前 4 秒內的速度是多少？
物體從 t = 4s 到 t = 7s 的速度是多少？

解答

在前 4 秒內，速度是曲線的斜率，即 2/4=0.5 m/s

在最後 3 秒，我們可以看到位移保持不變，並且斜率為零。因此， ${\overrightarrow {v}}=0m/s$ .

例題 27 從加速度-時間圖到速度-時間圖

問題：已知下方加速度-時間圖，假設物體從靜止開始，畫出它的速度-時間圖。

解答