波和波動
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定義 - 波的型別 - 波的性質 - 實際應用：聲波 - 實際應用：電磁波 - 方程和量

什麼是波？

波是每個人都持續體驗的現象；水波、聲波、光波、主隊得分時的人浪……不勝列舉。當被問及什麼使波成為波時，最常見的答案可能是波是某種運動的東西，或者傳播的東西，或者也許是某種重複的東西。這些性質確實抓住了波的基本特性。現在我們必須定量地確定這些性質，並發現是什麼支配了它們的特性。

通常，波被定義為任何可以用以下形式的函式建模的現象 $f({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)$ 其中 $r$ 向量表示空間中的位置， $t$ 表示時間， $k$ 向量和 omega 都是常數。不要被引數中的向量嚇倒——我們最初的時間大部分都花在一維波上。例如，如果波僅在一個空間維度 'x' 上，例如在繃緊的弦上傳播的波，它可以簡單地寫成 $f(kx-wt)$ 。

任何這種形式的函式都會隨著時間的推移沿 ${\bar {k}}$ 方向傳播。隨著時間的推移，函式的引數增加；隨著時間的推移，函式的形式有效地穿過空間。嘗試想出這種形式的函式，並在時間 $t=0$ 繪製它們，然後在稍後的時間再次繪製它們。這種漸進性質將變得很明顯。嘗試找出函式推進的速度！（我們將在以後研究這個）時間項前面的負號會導致波沿定義為正的方向傳播（如果這看起來令人困惑，請嘗試繪製更多函式隨時間的推移，並檢查結果）。如果你用正號替換負號（或者考慮 omega 的負值），波將沿負方向傳播。

一個非常特殊且重要的波案例是數學函式 $f({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)=\sin({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)$ ，或者在一維中， $f(kx-\omega t)=\sin(kx-\omega t)$ 。這是一個正弦波——它在兩個方向上無限地上下振盪，並且隨著時間的推移而移動。我提到波具有重複的特性，即週期性。然而，上面提到的許多函式形式似乎並沒有重複。但是，當你學習傅立葉變換時，你會發現所有波都可以分解為這些簡單、無限重複波的總和。

除了任何其他概念之外，物理學家發現波在所有可想象的尺度上表徵著宇宙的結構。當你學習波在日常生活中的物理學時，保持開放的心態，在你轉過身的地方尋找波和波的行為。

讓我們考慮一個非常著名的波現象例子：水波。水波由移動的波峰和波谷組成。波峰是水面上高於靜止水位的地方，波谷是水面上低於靜止水位的地方。

因此，波具有波峰和波谷。這可能是我們對波的第一個屬性。下圖顯示了波上的波峰和波谷。

在物理學中，我們力求儘可能定量。如果我們仔細觀察，會發現波峰高於靜止水位的距離與波谷低於靜止水位的距離相同。

波是以週期性的方式重複物理量，並在過程中傳遞能量。例如，水波可以被認為是重複任何物理量，如“波峰”、“波谷”、“勢能”或“動能”。甚至，我們可以將水波視為擾動（能量）的運動。波的能量方面對於理解不同型別的波至關重要，其中許多波是不可見的。

仔細觀察水波，我們可以認識到波峰和波谷除了代表水面相對於靜止水位的上升和下降外，基本上還代表了極端的勢能和動能。在波峰處，能量只有勢能，而在波谷處，能量只有動能。類似地，電磁波的傳播與磁場和電場在空間中以一定的週期性重複相關聯。由於電場或磁場的存在不需要任何介質，因此電磁波即使在沒有介質的情況下也能傳播。

波的特徵：振幅

我們使用約定俗成的符號來標記波的特徵量。波峰的特徵高度和波谷的特徵深度稱為波的振幅。波谷底部到波峰頂部的垂直距離是振幅的兩倍。簡而言之，振幅是指波從介質到波峰或波谷的距離。

例題 1

問題：（自備筆記：使這個問題更有趣）波從介質到波峰的高度為 2 米。求波峰到波谷的距離。

答案

振幅為 2 米。（閱讀上一段瞭解原因）。波峰到波谷的距離為 4 米。

波的特徵：波長

再仔細觀察一下波峰和波谷。兩個相鄰（彼此相鄰）波峰之間的距離是相同的，無論你選擇哪兩個相鄰波峰。因此，波峰之間的距離是固定的。

同樣地，你會注意到兩個相鄰波谷之間的距離是相同的，無論你觀察哪兩個波谷。但更重要的是，它與波峰之間的距離相同。這個距離是波的特徵，稱為波長。

波具有特徵波長。波長的符號是希臘字母 lambda， $\lambda$ .

波長是兩個相位相同的相鄰點之間的距離。兩個相位相同的點之間的距離為一個完整的波週期（0、1、2、3、…）的整數倍。它們不必是波峰或波谷，但必須相隔一個完整的波週期。

波的特徵：週期

現在想象一下，你坐在池塘邊，看著波浪從你身邊經過。先是波峰，然後是波谷，然後又是波峰。如果你測量兩個相鄰波峰之間的時間，你會發現它們是相同的。現在，如果你測量兩個相鄰波谷之間的時間，你會發現它們總是相同的，無論你選擇哪兩個相鄰波谷。你一直在測量的時間是透過一個波長的持續時間。我們將這個時間稱為週期，它是波的特徵。

波的週期用符號 $T$ 表示。

波的特徵：頻率

還有另一種表徵波的時間間隔的方法。我們計時了一個波長透過的時間。我們也可以反過來，說一秒鐘內有多少個波透過。

我們可以很容易地確定這個數字，我們稱之為頻率，並用 f 表示。為了確定頻率，即一秒鐘內透過的波數，我們透過將一秒鐘除以透過時間 T 來計算一秒鐘內透過的波的幾分之幾。如果一個波需要 1/2 秒透過，那麼在一秒鐘內必須有兩個波透過。 ${\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$ 。頻率的單位是Hz或s⁻¹。

波具有特徵頻率。

f={\frac {1}{T}}


f	: 頻率（Hz或s⁻¹）
T	: 週期（s）

通常，波的頻率是每單位時間透過的波峰數。

波的特徵：速度

現在，如果你正在觀察一個波浪經過，你會注意到它們以恆定的速度運動。回顧一下直線運動，你會記得我們知道如何計算物體運動的速度。速度是物體在一定時間內所走過的距離除以所用的時間。這很好，因為我們知道波在時間 T 內移動了距離 $\lambda$ 。這意味著我們可以確定速度。

v={\frac {\lambda }{T}}


v	: 速度（m.s⁻¹）
$\lambda$	: 波長（m）
T	: 週期（s）

波的各種特徵量之間存在著許多關係。一個簡單的例子是，如何利用頻率和波長來確定波速。我們可以利用上述方程式，將頻率和週期之間的關係代入，得到速度的方程式：

v=f\lambda


v	: 速度（m.s⁻¹）
$\lambda$	: 波長（m）
f	: 頻率（Hz或s⁻¹）

這個公式正確嗎？一個簡單的檢查方法是檢查單位！等式右邊是速度，單位為ms⁻¹。等式左邊是頻率，單位為s⁻¹，乘以波長，單位為m。等式左邊的單位為ms⁻¹，正好是我們想要的。

弦上傳播的波速

沿振動弦傳播的波速 (v) 與弦的張力 (T) 除以線密度 (μ) 的平方根成正比。

v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}\,

μ 等於弦的質量除以弦的長度。

$\mu ={\frac {M}{L}}$