著名數學定理/π 是無理數

數學常數 $\pi =3.141592\ldots$ （圓周長與直徑之比）是一個無理數。

換句話說，它不能表示為兩個整數的比率。

證明

讓我們假設 $\pi$ 是有理數，所以存在 $a,b\in \mathbb {N}$ 使得 $\pi ={\frac {a}{b}}$。

對於所有 $n\in \mathbb {N}$ 讓我們定義一個多項式

$f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}=\sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {c_{m}}{n!}}x^{m},\quad :c_{m}\in \mathbb {Z}$

$f(x)=f(\pi -x)$ 所以我們得到

${\begin{aligned}f^{(k)}\!(x)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi -x)&={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle \sum _{m\,=\,k}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi )&={\begin{cases}0&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle {\frac {k!}{n!}}c_{k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\end{aligned}}$

現在我們定義 $A_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)dx$. 被積函式對所有 $x\in (0,\pi )$ 均為正，因此 $A_{n}>0$.

重複分部積分得到

$A_{n}=-f^{(0)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(1)}\!(x)\sin(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(2)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }-\cdots \pm f^{(2n)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }\mp \int \limits _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}\!(x)\cos(x)dx$

剩餘積分等於零，因為$f^{(2n+1)}\!(x)$ 是零多項式。

對於所有$0\leq k\leq 2n$，函式 $f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)$ 在 $x=0,\pi$ 處取整數值，因此 $A_{n}$ 是一個正整數。

然而，對於所有$x\in (0,\pi )$，我們得到

${\begin{aligned}&0<x<\pi \\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{aligned}}$

因此，$0<A_{n}<\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}$。但對於足夠大的 $n$，我們得到 $0<A_{n}<1$。矛盾。

因此，$\pi$ 是一個無理數。