數學常數
是一個超越數（或非代數數）。
換句話說，它不是任何以有理數為係數的多項式的根。
讓我們假設
是代數的，因此存在一個多項式
![{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{d}z^{d}\in \mathbb {Q} [z],\quad (a_{0}\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff89530e7782aa30a7b4ccd5cffb97c7f7cbc9dc)
使得
.
引理： 如果是代數的，那麼
是代數的。
證明：我們得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(\pm iz)&=a_{0}+a_{1}(\pm iz)+a_{2}(\pm iz)^{2}+\cdots +a_{d}(\pm iz)^{d}\\[5pt]&=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)\pm (a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)\,i\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c8f2c646bbd6082bd7deff29bd057969fddf55)
因此是以下多項式的根
![{\displaystyle P(iz)P(-iz)=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)^{2}+(a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)^{2}\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bac4a1d308719ec27a8a12cc682673e4afe23f)
因此，存在一個多項式 ![{\displaystyle P_{1}\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977a0620d0e4e5c24aa73de9485c9d78fc374124)
，其次數為 
，根為 
，使得 
.
根據尤拉公式，我們有 
。因此
指數是關於 的對稱多項式，其中有 
個非零和。也就是說
正如我們之前所學，對於所有 
，存在一個首一多項式 ![{\displaystyle P_{k}\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb28dfbc97223806d24e31fe0f29feb9caaf61d1)
，其次數為 
，其根是根 的每 
個的和。所以
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q(z)&=P_{0}(z)\,P_{1}(z)\cdots P_{n}(z)\in \mathbb {Q} [z]\\[5pt]&=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\cdots (z-\beta _{2^{n}})\\[5pt]&=z^{2^{n}-\,m}(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb5cfabc52e0714447384e6d8f6572ee3aabd)
化簡後得到
![{\displaystyle (z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc30207560d8c005a5a36375bd5f66448d0d203c)
乘以有理係數的最小公倍數 
，得到一個如下形式的多項式
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(z)&=b_{m}(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\\[5pt]&=b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots +b_{1}z+b_{0}\in \mathbb {Z} [z]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db3f5aaef8539151a09eb358878c9f03d228b93)
令 
是度為 
的多項式。我們定義 
。對它求導數，得到
我們定義 
。對它求導數，得到
![{\displaystyle G'\!(z)={\text{e}}^{-z}F'\!(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)={\text{e}}^{-z}{\bigl [}F'\!(z)-F(z){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-z}f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0c091271f23221b439e0bd828a493630db614e)
根據微積分基本定理，我們得到
現在設
將所有項相加得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})-\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}F(0)=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\\[5pt]\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})-F(0)\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\\[5pt](2^{n}\!-m)F(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc950f2267c807c94eb55c07eb8a139fe4d9e19)
引理： 設 是一個多項式，其根為 
，重數為 
。則對於所有的 
，有 
成立。
證明： 透過強歸納法。
我們可以將 
寫作，其中 
是一個多項式，使得 
。
對於 
，我們得到
假設對於所有 
，斷言對於所有 成立。
我們將證明對於 
，斷言對於所有 
成立。
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(z-z_{0})^{k+1}Q(z)\\[5pt]f^{(1)}\!(z)&=(k+1)(z-z_{0})^{k}Q(z)+(z-z_{0})^{k+1}Q^{(1)}\!(z)\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(z)+(z-z_{0})Q^{(1)}\!(z){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}R(z)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc70fabb3477d5ddd7b0e5ac82177d364049d396)
藍色部分的重數為 
，其中 
是一個多項式，使得 
。
因此它們的乘積滿足歸納假設。
現在我們定義
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(b_{m})^{c}g(z),\quad (c=mp-1)\\[5pt]g(z)&={\frac {1}{(p-1)!}}\,z^{p-1}{\bigl [}B(z){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&={\frac {(b_{0})^{p}}{(p-1)!}}z^{p-1}+\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,c}{\frac {d_{k}}{(p-1)!}}z^{k},\quad (d_{k}\in \mathbb {Z} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511c6913b5d0ad65f931b559da281a499be7991c)
並且 
是一個 質數，使得 
。我們得到
因此，對於所有 
，函式 
是一個多項式，其整數係數均可被 整除。
根據部分 1 和 3，我們得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}N&=(2^{n}\!-m)F(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\sum _{j\,=\,0}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{j\,=\,0}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\!\!\sum _{j\,=\,p-1}^{p\,+\,c}\!\!\!f^{(j)}\!(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\,{\bigg [}\,f^{(p-1)}\!(0)+\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)\,{\bigg ]}+\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}\sum _{i\,=\,1}^{m}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&={\color {red}(2^{n}\!-m)(b_{0})^{p}(b_{m})^{c}}\!+{\color {green}(2^{n}\!-m)\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)}+{\color {blue}(b_{m})^{c}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}\sum _{i\,=\,1}^{m}g^{(j)}\!(\beta _{i})}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b641b7724f3f5584660edb1dd6a401cd40dbf)
紅色部分是一個整數，它不能被 整除。
綠色部分是一個整數，它能被 整除。
藍色部分是最重要的部分。
根據韋達定理，我們可以得到
並且這些和是關於 
的對稱多項式。 因此，這些可以表示為多項式
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}g^{(j)}\!(\beta _{i})&=G_{j}({\vec {E}}{}^{m}({\vec {\beta }}{}^{m}))\in \mathbb {F} [{\vec {\beta }}{}^{m}]\\&={\frac {a_{j}}{(b_{m})^{c_{j}}}},\quad (a_{j},c_{j}\in \mathbb {Z} ,\,c_{j}\geq 0)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0663d81b293260ab853dce9ccd7fa2fc4787bec7)
此外，我們得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\deg(g^{(j)})\leq c&\implies \deg(G_{j})\leq c,\quad (p\leq j\leq p+c)\\[3pt]&\implies 0\leq c_{j}\leq c\\[3pt]&\implies (b_{m})^{c-c_{j}}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f96febdd832b75f694dcc3d2374528688b22bb)
因此，藍色部分是一個整數，可被 整除。
結論：
是一個整數，不能被 整除，尤其是
。
根據第 2 部分，我們得到
根據積分的三角不等式，我們得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}|A_{i}|&={\Bigg |}\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw\,{\Bigg |}\\[2pt]&\leq \int \limits _{0}^{\beta _{i}}\,{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}\,{\bigr |}f(w){\bigl |}\,|dw|\\[2pt]&=\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}\left|{\frac {(b_{m})^{c}}{(p-1)!}}\,w^{p-1}{\bigl [}B(w){\bigr ]}^{p}\right||dw|\\[2pt]&=\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\frac {{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}}{|b_{m}|}}\,{\frac {|b_{m}|^{mp}|w|^{p-1}|B(w)|^{p}}{(p-1)!}}\,|dw|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fcb69ac91de7c0b2ade1e27e41242b2081097d)
根據三角不等式，我們得到
另一方面，我們得到
因此，對於足夠大的 ，我們得到 
。矛盾。
結論： 是超越數，因此 也是超越數。
