著名數學定理/√2 是無理數

2 的平方根是無理數，${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$

證明

假設為了反證，${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$。因此，${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 對於某些互質的 *a* 和 *b* 成立。

這意味著 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$。改寫得到 $2b^{2}=a^{2}\!\,$。

由於等式左側能被 2 整除，因此右側也必須能被 2 整除，即 $2|a^{2}$。由於 2 是素數，我們必須有 $2|a$。

因此，我們可以用 $2A$ 代替 *a*，我們有 $2b^{2}=4A^{2}\!\,$。

兩邊除以 2 得 $b^{2}=2A^{2}\!\,$，使用與上述類似的論證，我們得出結論 $2|b$。然而，我們假設了 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$，使得 *a* 和 *b* 互質，現在我們發現 $2|a$ 且 $2|b$；矛盾。

因此，假設是錯誤的，${\sqrt {2}}$ 不能寫成有理數。因此，它是無理數。

另一種證明

以下歸謬法論證鮮為人知。它使用了附加資訊 √2 > 1。

1. 假設 √2 是一個有理數。這意味著存在整數 *m* 和 *n*，其中 *n* ≠ 0，使得 *m*/ *n* = √2。
2. 那麼 √2 也可以寫成一個不可約分數 *m*/ *n*，其中 *n* 是一個*正*整數，因為 √2 > 0。
3. 那麼${\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {2}}\cdot n({\sqrt {2}}-1)}{n({\sqrt {2}}-1)}}={\frac {2n-{\sqrt {2}}n}{{\sqrt {2}}n-n}}={\frac {2n-m}{m-n}}$，因為${\sqrt {2}}n=m$。
4. 由於 √2 > 1，因此得出 m > n，進而得出 m > 2n – m。
5. 因此，根據 (2)，√2 的分數 m/n 已經是最低項，但 (3) 用更低的項表示了它。這是一個矛盾，因此 √2 是有理數的假設必須是錯誤的。

類似地，假設一個等腰直角三角形，其直角邊和斜邊分別具有整數長度 n 和 m。根據勾股定理，比例 m/n 等於 √2。可以使用經典的圓規和直尺構造一個更小的等腰直角三角形，其直角邊和斜邊分別具有長度 m − n 和 2n − m。這個構造證明了 √2 的無理性，使用的是古代希臘幾何學家所採用的方法。

歷史註釋

對該證明的首次提及聲稱其作者是畢達哥拉斯學派的希臘數學家，事實上，歐幾里得在《幾何原本》中首次給出了形式證明。然而，大多數同時代人（以及當今許多數學史學家）認為，畢達哥拉斯人自己幾乎是從埃及來源借鑑了所有的數學（包括這個證明）。可惜的是，亞歷山大圖書館的毀滅消滅了當時幾乎所有現存的該文明的科學文字，因此這很可能永遠成為一個謎。

註釋

• 作為推廣，可以證明所有素數的平方根都是無理數。
• 另一種證明相同結果的方法是證明$x^{2}-2$ 是使用艾森斯坦判據的有理數域中的不可約多項式。