數學/分析/度量空間著名定理

度量空間是一個元組 (M,d)，其中 M 是一個集合，d 是 M 上的度量，即一個函式

$d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

使得

1. d(x, y) ≥ 0     (非負性)
2. d(x, y) = 0   當且僅當   x = y     (不可區分同一性)
3. d(x, y) = d(y, x)     (對稱性)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (三角不等式).

函式 d 也稱為距離函式或簡稱為距離。如果從上下文可以清楚地知道使用的是哪個度量，通常會省略 d，而只用 M 來表示度量空間。

基本定義

令 X 為一個度量空間。所有點和集合都是 X 的元素和子集。

1. 一個點 p 的鄰域是一個集合 $N_{r}(p)$，它包含所有滿足 d(p,q) < r 的點 q。數字 r 稱為 $N_{r}(p)$ 的半徑。如果度量空間是 $R^{k}$（這裡度量被認為是歐幾里得度量），那麼 $N_{r}(p)$被稱為以中心 p 和半徑 r 的開球。閉球定義為 d(p,q) $\leq$ r。
2. 如果 p 的每個鄰域都包含一個點 q$\neq$p 且 q $\in$ E，則稱點 p 是集合 E 的極限點。
3. 如果 p $\in$ E 且 p 不是 E 的極限點，則稱 p 是 E 的孤立點。
4. 如果 E 的每個極限點都是 E 的點，則 E 是閉的。
5. 如果存在 p 的鄰域 N 使得 N $\subset$ E，則稱點 p 是 E 的內部點。
6. 如果 E 的每個點都是 E 的內部點，則 E 是開的。
7. 如果 E 是閉的，且 E 的每個點都是 E 的極限點，則 E 是完美的。
8. 如果存在一個實數 M 和一個點 q $\in$ X，使得對所有 p $\in$ E 都有 d(p,q) < M，則 E 是有界的。
9. 如果 X 的每個點都是 E 的極限點或 E 的點（或兩者都是），則 E 在 X 中是稠密的。

基本證明

1. 每個鄰域都是一個開集

證明：考慮一個鄰域 N = $N_{r}(p)$。現在如果 q $\in$ N，那麼由於 d(p,q) < r，我們有 h = r - d(p,q) > 0。考慮 s $\in$ $N_{h}(q)$。現在 d(p,s) $\leq$ d(p,q) + d(q,s) < r - h + h = r，因此 $N_{h}(q)$ $\subset$ N。因此 q 是 N 的內部點。

2. 如果 p 是集合 E 的極限點，那麼 p 的每個鄰域都包含 E 的無限多個點。

證明：假設 p 的一個鄰域 N 只包含 E 的有限個點。令 r 為這些點到 p 的距離的最小值。有限個正數的最小值顯然是正數，因此 r > 0。鄰域 $N_{r}(p)$ 不包含 E 中的任何點 q，使得 q $\neq$ p，這與 p 是 E 的極限點的事實相矛盾。

3. 有限集沒有極限點

證明：這從證明 2 中顯而易見。

4. 一個集合是開的當且僅當它的補集是閉的。

證明：假設 E 是開的，x 是 $E^{c}$ 的一個極限點。我們需要證明 x $\in E^{c}$。現在 x 的每個鄰域都包含 $E^{c}$ 的一個點，因此 x 不是 E 的內部點。由於 E 是開的，這意味著 x $\notin$ E，因此 x $\in E^{c}$。所以 $E^{c}$ 是閉的。

現在假設 $E^{c}$ 是閉合的。選擇 x $\in$ E。則 x $\notin E^{c}$，因此 x 不是 $E^{c}$ 的極限點。因此，必須存在 x 的一個鄰域完全位於 E 內部。所以 x 是 E 的一個內點，因此 E 是開集。

5. 一個集合是閉合的當且僅當它的補集是開集。

證明: 這從證明 4 中顯而易見。