數學/應用數學著名定理

-div 是 d 的伴隨運算元

斷言 −div 是 d 的伴隨運算元

\int _{M}df(X)\;\omega =-\int _{M}f\,\operatorname {div} X\;\omega

以上陳述的證明

\int _{M}(f\mathrm {div} (X)+X(f))\omega =\int _{M}(f{\mathcal {L}}_{X}+{\mathcal {L}}_{X}(f))\omega

=\int _{M}{\mathcal {L}}_{X}f\omega =\int _{M}\mathrm {d} \iota _{X}f\omega =\int _{\partial M}\iota _{X}f\omega

如果 f 具有緊支撐，則最後一個積分消失，我們就得到了想要的結果。

拉普拉斯-德拉姆運算元

可以證明，拉普拉斯-德拉姆運算元等價於拉普拉斯-貝爾特拉米運算元的定義，當它作用於一個標量函式 f 時。這個證明如下：

\Delta f=\mathrm {d} \delta f+\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}

=-*\mathrm {d} {*\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}}=-*\mathrm {d} (\varepsilon _{iJ}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\,\mathrm {d} x^{J})

=-*\varepsilon _{iJ}\,\partial _{j}({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f)\,\mathrm {d} x^{j}\,\mathrm {d} x^{J}=-*{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f)\mathrm {vol} _{n}

=-{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f),

其中 ω 是體積形式，ε 是完全反對稱的 Levi-Civita 符號。請注意，在上面的公式中，斜體的小寫索引 i 是單個索引，而大寫羅馬字母 J 代表所有剩餘的 (n-1) 個索引。需要注意的是，拉普拉斯-德拉姆運算元實際上是負的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元；這個負號來自於對餘微分性質的常規定義。不幸的是，Δ 用於表示兩者；讀者要注意。