數學著名定理/布勞威爾不動點定理

布勞威爾不動點定理是一個重要的不動點定理，適用於有限維空間，並且是若干一般不動點定理的基礎。它以荷蘭數學家 L. E. J. 布勞威爾命名。

定理陳述

該定理指出，從閉單位球 Bⁿ 到自身的每個連續函式至少有一個不動點。在這個定理中，n 是任何正整數，閉單位球 Bⁿ 是歐幾里得 n 空間Rⁿ 中所有距離原點至多為 1 的點的集合。函式 f : Bⁿ → Bⁿ 的不動點是 Bⁿ 中的點 x，使得 f(x) = x。

註釋

本定理中的函式 f 不需要是雙射的，甚至不需要是滿射的。

由於所涉及的性質（連續性，是不動點）在同胚下是不變的，因此如果域不是閉單位球本身，而是與其同胚的某個集合（因此也是閉的、有界的、連通的、沒有洞等的），則該定理同樣適用。

如果針對開單位圓盤（距離原點嚴格小於 1 的點的集合）進行表述，則該定理的陳述是錯誤的。例如，考慮函式

$f(x,y)=\textstyle ({\frac {1}{2}}(x+{\sqrt {1-y^{2}}}),y)$

它將R² 中的開單位圓盤的每個點對映到給定點右側的另一個點。

舉例說明

該定理有幾個“現實世界”的例子。例如：取兩張大小相同的方格紙，並在上面繪製座標系，將一張平鋪在桌子上，並將另一張揉成一團（不撕裂或撕破），以任何方式放在第一張上面，使得揉皺的紙不會超出平鋪的紙。那麼，揉皺的紙上至少會有一點正好位於平鋪的紙上對應的點（即具有相同座標的點）的正上方。這是將布勞威爾定理的n = 2 情形應用於連續對映的結果，該對映將揉皺的紙上每個點的座標分配給其正下方平鋪的紙上的點的座標。

在三維空間中，布勞威爾不動點定理的結果是，無論你在玻璃杯中如何攪拌或搖晃雞尾酒，液體中的某個點都會保持在與你採取任何行動之前完全相同的位置，假設每個點的最終位置是其初始位置的連續函式，並且攪拌或搖晃後的液體包含在其最初佔據的空間內。

n = 3 情形的另一個結果是，例如，機場航站樓中地圖的資訊顯示。將航站樓中的點對映到地圖上其影像的函式是連續的，因此具有不動點，通常用十字或箭頭以及文字您在此處表示。航站樓外的類似顯示將違反函式“到自身”的條件，並且不具有不動點。對於此示例，不動點的存在也是巴拿赫不動點定理的結果，因為將空間中的點對映到顯示屏的函式是壓縮對映。

歷史

布勞威爾不動點定理是代數拓撲學的早期成就之一，也是更一般的不動點定理的基礎，這些定理在泛函分析中很重要。n = 3 的情況首先由 Piers Bohl 在 1904 年證明（發表在《純粹與應用數學雜誌》上）。後來由 L. E. J. 布勞威爾在 1909 年證明。雅克·阿達馬爾在 1910 年證明了一般情況，布勞威爾在 1912 年找到了另一種證明。由於這些早期的證明都是非構造性的間接證明，因此與布勞威爾的直覺主義理想相悖。然而，現在已知保證布勞威爾定理的不動點（近似值）的構造方法；例如，參見 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

證明

假設存在一個從$f:B^{n}\to B^{n}$到$B^{n}$的對映，且該對映沒有不動點。然後令$g(x)$為如下對映：從$f(x)$開始，畫一條經過$x$的射線，然後令$g(x)$為該直線與球面的第一個交點。該對映是連續的，並且僅當$f$沒有不動點時才定義良好。此外，不難看出它在邊界球面上一定是恆等對映。因此，我們得到了一個對映$g:B^{n}\to S^{n-1}$，它在$S^{n-1}=\partial B^{n}$上是恆等對映，即一個收縮。現在，如果$i:S^{n-1}\to B^{n}$是包含對映，則$g\circ i=\mathrm {id} _{S^{n-1}}$。應用約化同調函子，我們發現$g_{*}\circ i_{*}=\mathrm {id} _{{\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})}$，其中$_{*}$表示在同調上的誘導對映。

但是，眾所周知${\tilde {H}}_{n-1}(B^{n})=0$（因為$B^{n}$是可縮的），並且${\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})=\mathbb {Z}$。因此，我們得到了一個非零群到自身的同構，它透過一個平凡群進行分解，這顯然是不可能的。因此，我們得到了一個矛盾，因此不存在這樣的對映$f$。