數學著名定理/尤拉公式

尤拉公式 指出，

$\exp i\theta =i\sin \theta +\cos \theta$

由此，著名的恆等式，

$\exp i\pi +1=0$

可以推匯出來。

證明

定義 1

$\exp \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\varphi ^{n}$

定義 2

$\sin \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\varphi ^{2n+1}$

定義 3

$\cos \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\varphi ^{2n}$

以下結果將被假設；

$\sin \pi =0$

$\cos \pi =-1$

定理 1

$\exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta$

證明

根據定義 1，

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(i\theta )^{n}$

觀察到，可以將求和分成兩個，

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}(i\theta )^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}(i\theta )^{2n+1}$

評估，

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n}}{(2n)!}}\theta ^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}$

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\theta ^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}$

根據定義 2 和 3，

$\exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ $\blacksquare$

定理 2

$\exp i\pi +1=0$

證明

根據定理 1，

$\exp i\pi =\cos \pi +i\sin \pi$

$\exp i\pi =-1+0i$

因此，

$\exp i\pi +1=0$ $\blacksquare$