著名數學定理/費馬大定理
費馬大定理是數論中關於以下陳述的名稱：
- 不可能將任何高於二次的冪分解成兩個同類冪，
或者更準確地說
- 如果整數 n 大於 2，那麼方程 在非零整數 a、b 和 c 中沒有解。
1637 年，皮埃爾·德·費馬在他的《算術》副本的克勞德·加斯帕爾·巴舍翻譯版本中寫道：“我已經找到了這個命題的一個真正奇妙的證明，可惜這頁邊空白太窄了，寫不下。”（原文拉丁語：“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”）
費馬大定理與 n = 2 的類似問題相比，其表述引人注目，且證明起來困難得多。對於 n = 2，存在無窮多個稱為畢達哥拉斯三元組的整數解（以及密切相關的畢達哥拉斯定理有許多基本證明）。該問題陳述可以被小學生理解的事實使其更加令人沮喪，並且它可能比數學史上任何其他問題都產生了更多不正確的證明。在 357 年間，沒有找到正確的證明，直到安德魯·懷爾斯於 1995 年最終發表了一個證明。術語“最後定理”的由來是因為費馬提出的所有其他定理和結果最終都得到了證明或證偽，要麼由他自己的證明，要麼由其他數學家在提出的兩個世紀後證明或證偽。雖然現在它已被證明成為一個定理，但在之前，儘管有這個名字，費馬大定理的地位仍然是一個猜想，一個尚未確定其真實性（真或假）的數學陳述。
費馬大定理是數學史上最著名的已解決問題，為所有數學家所熟知，並在證明之前已在流行文化中獲得了知名度。費馬大定理解決後所引發的媒體報道熱潮是前所未有的，包括世界範圍內的報紙報道以及書籍和 BBC 地平線節目（在美國作為 PBS 新星特別節目“證明”播出）中的各種普及。
費馬大定理的一個特例，即 n = 3 的情況，最早由 10 世紀的阿布·馬赫穆德·庫詹迪提出，但他試圖證明該定理的嘗試是錯誤的。
費馬大定理的第一個被證明的情況是由費馬本人證明的，即 n = 4 的情況，使用無窮遞降法。萊昂哈德·尤拉使用類似的方法證明了 n = 3 的情況；雖然他發表的證明中包含一些錯誤，但必要的斷言可以透過尤拉本人在其他地方證明的工作來建立。雖然他最初的方法存在缺陷，但它產生了大量的關於該定理的研究。在接下來的幾個世紀裡，該定理被證明適用於許多其他特殊的指數 n（或指數類），但一般情況仍然難以捉摸。
n = 5 的情況由狄利克雷和勒讓德於 1825 年證明，他們使用了尤拉對 n = 3 的證明的推廣。下一個素數（證明定理對素數成立就足夠了：見下文）n = 7 的證明在 15 年後由加布裡埃爾·拉梅於 1839 年找到。不幸的是，這個證明很長，不太可能推廣到更高的數字。從那時起，數學家們開始證明定理適用於指數類，而不是單個數字，並發展與定理相關的更一般性的結果。
這些一般性想法可以追溯到索菲·熱爾曼引入的一種新方法。她並沒有證明對於給定的 n 值不存在解，而是證明了如果存在解，則必須滿足一個特定條件。這種洞察力已經在證明 n = 5 情況的費馬大定理時被使用過了。1847 年，庫默證明了定理對所有正則素數成立（包括 2 到 100 之間的素數，除了 37、59 和 67）。
1823 年和 1850 年，法國科學院為正確的證明頒發了一個獎項。這項舉措只引發了一波數千次數學錯誤嘗試。1883 年，布魯塞爾科學院又頒發了第三個獎項。1908 年，德國實業家和業餘數學家保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾將 100,000 馬克遺贈給哥廷根科學院，作為對費馬大定理的完整證明的獎勵。因此，在 1908 年到 1911 年之間，出現了超過 1000 個不正確的證明。據數學史學家霍華德·埃夫斯說：
費馬大定理有這樣一種獨特的區別：它是有史以來發表錯誤證明數量最多的數學問題。.
費馬大定理的正確證明的歷史始於 1960 年代後期，當時伊夫·埃萊戈阿奇提出了一個想法，即與費馬方程的任何解 (a,b,c) 關聯一個完全不同的數學物件：一個橢圓曲線。該曲線由平面中所有滿足關係的點 (x,y) 組成：
這樣的橢圓曲線將具有非常特殊的性質，這些性質是由於其方程中出現高次冪以及 也為p次冪而導致的。
格哈德·弗雷有一個洞察力，認為這樣的曲線會非常特殊，以至於它會與關於橢圓曲線的某個猜想相矛盾，這個猜想現在被稱為谷山-志村猜想。這個猜想說，每個具有有理係數的橢圓曲線都可以用一種完全不同的方式構造，不是透過給出它的方程，而是使用模函式來引數化曲線上點的座標x和y。因此，根據這個猜想，任何在Q上的橢圓曲線都必須是模橢圓曲線，然而，如果費馬方程有一個非零的a、b、c和大於2的p解，則對應的曲線將不是模曲線，從而導致矛盾。費馬大定理和谷山-志村猜想之間的聯絡有點微妙：為了從後者推匯出前者，需要知道更多資訊，或者用數學家的話來說，“多一個ε”。這個額外資訊是由讓-皮埃爾·塞爾發現的，被稱為ε猜想。塞爾的主要興趣在於一個更雄心勃勃的猜想，即塞爾關於模伽羅瓦表示的猜想，它將暗示谷山-志村猜想。儘管在過去二三十年中積累了大量的證據來形成關於橢圓曲線的猜想，但相信這些各種猜想是正確的，其主要原因不在於數值確認，而在於它們呈現出的一個非常連貫和吸引人的數學影像。此外，也可能發生這些猜想中有一個或多個是錯誤的（例如，塞爾的猜想仍然是一個開放的問題），但費馬大定理仍然是正確的。那隻意味著需要不同的方法。
1986年夏天，肯·裡貝特成功地證明了ε猜想。（他的文章發表在1990年。）他證明了，正如弗雷所預料的那樣，谷山-志村猜想的特例（當時尚未被證明），加上現在已被證明的ε猜想，意味著費馬大定理。因此，如果谷山-志村猜想對一類被稱為半穩定橢圓曲線的橢圓曲線成立，那麼費馬大定理就成立。
在得知裡貝特的工作後，安德魯·懷爾斯開始證明每個半穩定橢圓曲線都是模曲線。他幾乎完全秘密地進行這項工作，整整七年，幾乎沒有外部幫助。在1993年6月21日、22日和23日，懷爾斯在艾薩克·牛頓數學科學研究所發表了三場講座，宣佈他證明了谷山-志村猜想，從而證明了費馬大定理。懷爾斯在證明中使用了多種方法，其中一些方法是專門為此而開發的。
儘管懷爾斯之前曾與普林斯頓的同事尼克·卡茨一起回顧了他的論證，但他很快發現證明中存在一個漏洞。證明的關鍵部分存在一個錯誤，該錯誤對特定群的階數給出了一個界限。懷爾斯和他的前學生理查德·泰勒花了將近一年的時間試圖修復這個證明，並在媒體和數學界的密切關注下進行。1994年9月，他們能夠透過在論證的麻煩部分使用一種全新的方法來完成證明。泰勒和其他人繼續證明了谷山-志村猜想的普遍形式，現在經常被稱為模性定理，它適用於所有在Q上的橢圓曲線，而不僅僅是與費馬大定理證明相關的半穩定曲線。
泰勒和懷爾斯的證明非常技術性，因為它依賴於20世紀發展起來的數學技術，其中大部分對一個世紀前研究過費馬大定理的數學家來說是完全陌生的。另一方面，費馬聲稱的“奇妙證明”必須相當基本，因為當時的數學知識水平。事實上，大多數數學家和科學史學家懷疑費馬對所有指數n的定理有有效的證明。
雖然懷爾斯的證明無疑是有效的，但歷史學家得出結論，它與費馬得出的證明並不相同，原因有幾個。首先，谷山-志村猜想顯然還沒有被發現，模形式和橢圓曲線之間的聯絡還沒有被注意到。雖然費馬寫道“我發現了一個這個定理的真正奇妙證明，但這裡空白太小寫不下”，但它不可能像懷爾斯的證明那樣長，因為懷爾斯的證明有數百頁。
要理解這個證明，所需的大量背景資料仍然無法免費獲得。這個定理的證明，有一些持續的漏洞，可以在此處找到[1].
