數學/幾何/圓錐體的著名定理

體積

• 斷言：底面積為b，高為h的圓錐體的體積為${1 \over 3}bh$.

證明：設${\vec {\alpha }}(t)$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的簡單平面迴路。 設${\vec {v}}$ 為頂點，位於 ${\vec {\alpha }}$ 的平面之外。

設圓錐體由以下引數化表示：

${\vec {\sigma }}(\lambda ,t)=(1-\lambda ){\vec {v}}+\lambda \,{\vec {\alpha }}(t)$

其中 $\lambda ,t\in [0,1]$.

對於固定的 $\lambda =\lambda _{0}$，曲線 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)=(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 是平面的。為什麼呢？因為如果 ${\vec {\alpha }}(t)$ 是平面的，那麼由於 $\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 只是 ${\vec {\alpha }}(t)$ 的放大，它也是平面的，並且 $(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 只是 $\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 的平移，所以它是平面的。

此外，${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 的形狀與 $\alpha (t)$ 的形狀相似，並且 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 所包圍的面積是 $\lambda _{0}^{2}$ 倍的 ${\vec {\alpha }}(t)$ 所包圍的面積，即為 b。

如果頂點到底面平面的垂直距離為 h，那麼兩個切片 $\lambda =\lambda _{0}$ 和 $\lambda =\lambda _{1}$ 之間的距離，相差 $d\lambda =\lambda _{1}-\lambda _{0}$ 將會是 $h\,d\lambda$。因此，切片的微分體積為

$dV=(\lambda ^{2}b)(h\,d\lambda )$

現在積分體積

$V=\int _{0}^{1}dV=\int _{0}^{1}bh\lambda ^{2}\,d\lambda =bh\left[{1 \over 3}\lambda ^{3}\right]_{0}^{1}={1 \over 3}bh,$

質心

• 斷言： 圓錐體的質心位於從底面質心到頂點的距離的四分之一處。

證明： 令 $M=\rho V$ 為圓錐體的總質量，其中 ρ 為均勻密度，V 為體積（如上所述）。

由曲線 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 封閉的固定 $\lambda =\lambda _{0}$ 的微分切片具有微分質量

$dM=\rho \,dV=\rho bh\lambda ^{2}\,d\lambda$.

假設圓錐體的底面質心為 ${\vec {c}}_{B}$。 那麼在 $\lambda =\lambda _{0}$ 的切片的質心為

${\vec {c}}_{S}(\lambda _{0})=(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}{\vec {c}}_{B}$.

因此，圓錐體的質心應為

${\vec {c}}_{cone}={1 \over M}\int _{0}^{1}{\vec {c}}_{S}(\lambda )\,dM$

$\qquad ={1 \over M}\int _{0}^{1}[(1-\lambda ){\vec {v}}+\lambda {\vec {c}}_{B}]\rho bh\lambda ^{2}\,d\lambda$

$\qquad ={\rho bh \over M}\int _{0}^{1}[{\vec {v}}\lambda ^{2}+({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\lambda ^{3}]\,d\lambda$

$\qquad ={\rho bh \over M}\left[{\vec {v}}\int _{0}^{1}\lambda ^{2}\,d\lambda +({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\int _{0}^{1}\lambda ^{3}\,d\lambda \right]$

$\qquad ={\rho bh \over {1 \over 3}\rho bh}\left[{1 \over 3}{\vec {v}}+{1 \over 4}({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\right]$

$\qquad =3\left({{\vec {v}} \over 12}+{{\vec {c}}_{B} \over 4}\right)$

∴ ${\vec {c}}_{cone}={{\vec {v}} \over 4}+{3 \over 4}{\vec {c}}_{B}$,

也就是說，${\vec {c}}_{cone}$ 位於從 ${\vec {c}}_{B}$ 到 ${\vec {v}}$ 距離的四分之一處。

維度比較

需要注意的是，從某種意義上說，圓錐是三角形的高維版本，而對於三角形，面積為

${1 \over 2}bh$

重心位於從底面質心到頂點的距離的三分之一處。

四面體是一種特殊的圓錐，它也是三角形的更嚴格的推廣。

表面積

• 斷言: 直圓錐的表面積等於 $\pi rs+\pi r^{2}$，其中 $r$ 是圓錐的底面半徑，$s$ 是母線長，等於 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$。

證明: $\pi r^{2}$ 代表圓錐的底面面積，這是一個半徑為 $r$ 的圓。公式的其餘部分可以從以下推匯出來。

從圓錐的頂點切出 $n$ 個切片，這些切片均勻地分佈在圓錐的底面上。當 $n$ 很大時，這些切片會產生許多三角形，每個三角形的底邊長度為 $dC$，高為 $s$，即圓錐的母線長。

三角形的數量乘以 $dC$ 會得到 $C=2\pi r$，即圓的周長。將每個三角形的面積相對於它的底邊 $dC$ 進行積分，即可得到圓錐的側面積 A。

$A=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}sdC$

$A=\left[{\frac {1}{2}}sC\right]_{0}^{2\pi r}$

$A=\pi rs\!$

$A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

因此，圓錐的總表面積等於 $\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$