數學/幾何/圓錐曲線著名定理

拋物線性質

證明對於拋物線上一點 (x,y)，焦點為 (h,k+p)，準線為 y=k-p，有

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$

以及該拋物線的頂點為 (h,k)

陳述	理由
(1) 任意實數 h	已知
(2) 任意實數 k	已知
(3) 任意實數 p，其中 p 不等於 0	已知
(4) 直線 l，其方程為 $y=k-p$	已知
(5) 焦點 F，其位置為 $(h,k+p)$	已知
(6) 拋物線，其準線為直線 l，焦點為 F	已知
(7) 拋物線上一點，位於 $(x,y)$	已知
(8) 點 (x, y) 必須與點 f 和直線 l 等距。	拋物線的定義
(9) 從 (x, y) 到 l 的距離是線段的長度，該線段垂直於 l，並且有一個端點為 $P_{1}$ 在 l 上，另一個端點為 $P_{2}$ 在 (x, y) 上。	點到直線距離的定義
(10) 因為 l 的 斜率 為 0，所以它是一條水平線。	水平線的定義
(11) 任何垂直於 l 的直線都是垂直線。	如果一條直線垂直於一條水平線，那麼它就是垂直線。
(12) 包含在垂直於 l 的直線上的所有點具有相同的 x 值。	垂直線的定義
(13) 點 $P_{1}$ 的 y 值為 $k-p$.	(4) 和 (9)
(14) 點 $P_{1}$ 的 x 值為 x。	(7)，(9) 和 (12)
(15) 點 $P_{1}$ 位於 (x, k - p)。	(13) 和 (14)
(16) 點 $P_{2}$ 位於 (x, y)。	(9)
(17) $P_{1}P_{2}={\sqrt {(x-x)^{2}+(y-[k-p])^{2}}}$	距離公式
(18) $P_{1}P_{2}={\sqrt {(y-k+p)^{2}}}$	分配律
(19) $P_{1}P_{2}=(y-k+p)$	應用平方根；距離為正數
(20) $FP_{2}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-[k+p])^{2}}}$	距離公式
(21) $FP_{2}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}$	分配律
(22) $FP_{2}=P_{1}P_{2}$	拋物線的定義
(23) ${\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}=(y-k+p)$	代入
(24) $(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}=(y-k+p)^{2}$	兩邊平方
(25) $(x-h)^{2}+k^{2}+p^{2}+y^{2}+2kp-2ky-2py=k^{2}+p^{2}+y^{2}-2kp-2ky+2py$	分配律
(26) $(x-h)^{2}+2kp-2py=2py-2kp$	等式減法性質
(27) $(x-h)^{2}=4py-4kp$	等式加法性質；等式減法性質
(28) $(x-h)^{2}=4p(y-k)$	分配律

尋找對稱軸

陳述	理由
(29) 對稱軸是垂直的。	(10)；對稱軸的定義；如果一條直線垂直於一條水平直線，那麼它是垂直的
(30) 對稱軸包含(h, k + p)。	對稱軸的定義
(31) 對稱軸上的所有點都有一個h的x值。	垂直線的定義；(30)
(32) 對稱軸的方程是$x=h$.	(31)

尋找頂點

陳述	理由
(33) 頂點位於對稱軸上。	拋物線頂點的定義
(34) 頂點的x值是h。	(33)和(32)
(35) 頂點被拋物線包含。	頂點的定義
(36) $(h-h)^{2}=4p(y-k)$	(35)；代入：(28)和(34)
(37) $0=4p(y-k)$	化簡
(38) $0=y-k$	等式除法性質
(39) $k=y$	等式加法性質
(40) $y=k$	等式對稱性
(41) 頂點位於 $(h,k)$.	(34) 和 (40)