數學著名定理/洛必達法則

考慮以下極限

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

無法直接求值，即 f(a) = g(a) = 0 或

$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty$

洛必達法則指出

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

假設兩者都等於零。牛頓微分的定義是

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

因此

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}$

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}={\frac {f(a)}{g(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}$

現在假設 $f$ 和 $g$ 都發散到正負無窮大。微分的另一種定義是

$f'(a)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{x}}$

那麼

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xf(x+a)}{xg(x+a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}={\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}$

證畢