給定一個無限的獨立同分布隨機變數序列X1, X2, ...，其有限期望值為E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞，我們感興趣的是樣本平均數的收斂性
X ¯ n = 1 n ( X 1 + ⋯ + X n ) . {\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}
定理： X ¯ n → P μ for n → ∞ . {\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}
證明
這個證明使用了有限方差的假設 Var ( X i ) = σ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}} （對於所有 i {\displaystyle i} ）。隨機變數的獨立性意味著它們之間沒有相關性，我們有
Var ( X ¯ n ) = n σ 2 n 2 = σ 2 n . {\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}
序列的公共均值μ是樣本平均數的均值
E ( X ¯ n ) = μ . {\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}
使用切比雪夫不等式對 X ¯ n {\displaystyle {\overline {X}}_{n}} 會得到
P ( | X ¯ n − μ | ≥ ε ) ≤ σ 2 n ε 2 . {\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}
這可以用來得到以下內容
P ( | X ¯ n − μ | < ε ) = 1 − P ( | X ¯ n − μ | ≥ ε ) ≥ 1 − σ 2 n ε 2 . {\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}
當n趨於無窮大時，表示式趨於1。根據機率收斂的定義（參見 隨機變數的收斂），我們得到了
X ¯ n → P μ for n → ∞ . {\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}
（對於所有 
）。隨機變數的獨立性意味著它們之間沒有相關性，我們有
會得到
