數學著名定理/證明風格

這是一個關於如何設計證明的示例。另一個示例是用於定義和公理。

2 的平方根的無理數性

這個結果使用了以下內容

2 的平方根是無理數， ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$

這是一個反證法，所以我們假設 ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ 因此 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 對於一些互素的 a, b。

這意味著 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 。重寫這個得到 $2b^{2}=a^{2}\!\,$ .

由於 $b^{2}\in \mathbb {Z}$ ，我們有 $2|a^{2}$ 。由於 2 是素數，2 必須是 $a^{2}$ 的素因數之一，它們也是 $a$ 的素因數，因此， $2|a$ .

所以我們可以用 $2k,k\in \mathbb {Z}$ 替換 a，我們有 $2b^{2}=4k^{2}\!\,$ .

將等式兩邊同時除以2，得到 $b^{2}=2k^{2}\!\,$ 。運用與上述類似的論證，我們可以得出結論： $2|b$ 。

這裡我們遇到了矛盾：我們假設a和b互質，但我們發現 $2|a$ 以及 $2|b$ 。

因此，我們的假設是錯誤的， ${\sqrt {2}}$ 不能表示成有理數。因此，它是無理數。