數學著名定理/勾股定理

勾股定理或畢達哥拉斯定理，以希臘數學家畢達哥拉斯命名，指出

在任何直角三角形中，斜邊（與直角相對的邊）為邊的正方形的面積等於兩條直角邊（在直角處相交的兩條邊）為邊的正方形的面積之和。

這通常總結如下

直角三角形的斜邊平方等於另外兩邊平方和.

如果我們用 c 表示斜邊的長度，用 a 和 b 表示另外兩邊的長度，則定理可以用以下方程表示

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

或，對 c 求解

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,

如果已經給出 a，並且必須找到一條直角邊的長度，則可以使用以下方程（以下方程只是原始方程的逆定理）

c^{2}-a^{2}=b^{2}\,

或

c^{2}-b^{2}=a^{2}.\,

這個方程提供了直角三角形三邊之間的一個簡單關係，因此如果已知兩邊的長度，就可以找到第三邊的長度。這個定理的推廣是餘弦定理，它允許計算任何三角形第三邊的長度，只要知道兩邊的長度和它們之間的角度。如果兩邊之間的角度是直角，它就簡化為勾股定理。

歷史

定理的歷史可以分為四個部分：對勾股數的瞭解、對直角三角形邊之間關係的瞭解、對相鄰角之間關係的瞭解以及對定理的證明。

大約公元前 2500 年的埃及和北歐的巨石紀念碑包含了具有整數邊的直角三角形。巴特爾·林德特·範·德·瓦爾登推測這些勾股數是代數發現的。

公元前 2000 年到 1786 年之間寫成的埃及中王國紙草書《柏林 6619》中包含一個問題的解是勾股數。

在漢謨拉比大帝統治期間，美索不達米亞泥板《普林頓 322》，書寫於公元前 1790 年到 1750 年之間，包含了許多與勾股數密切相關的條目。

《繩索經》（Baudhayana Sulba Sutra），其日期被各種說法認為是在公元前 8 世紀到公元前 2 世紀之間，在印度，它包含一個代數發現的勾股數列表，勾股定理的陳述以及等腰直角三角形勾股定理的幾何證明。

《阿帕斯塔摩繩索經》（Apastamba Sulba Sutra）（約公元前 600 年）包含了對一般勾股定理的數值證明，使用面積計算。範·德·瓦爾登認為“它肯定是基於早期的傳統”。根據阿爾伯特·伯克的說法，這是對定理的原始證明；他進一步推測畢達哥拉斯訪問了印度的阿拉孔納姆，並抄襲了它。

畢達哥拉斯，其日期通常被認為是公元前 569 年到 475 年，根據普羅克洛斯對歐幾里得的註釋，使用代數方法來構造勾股數。然而，普羅克洛斯生活在公元 410 年到 485 年之間。根據托馬斯·L·希思爵士的說法，在畢達哥拉斯去世後的五個世紀裡，沒有人將定理歸功於畢達哥拉斯。然而，當像普魯塔克和西塞羅這樣的作家將定理歸功於畢達哥拉斯時，他們這樣做的方式暗示了這一歸因是眾所周知的，並且沒有爭議。

大約公元前 400 年，根據普羅克洛斯的說法，柏拉圖給出了一種尋找勾股數的方法，將代數和幾何結合在一起。大約公元前 300 年，在歐幾里得的《幾何原本》中，給出了最古老的現存對定理的公理化證明。

中國文字《周髀算經》（周髀算經），寫於公元前 500 年到公元 100 年之間的某個時間，給出了勾股定理的陳述——在中國它被稱為“勾股定理”——適用於（3, 4, 5）三角形。一個視覺證明記錄在一個明代文字中，儘管不清楚它最初是在什麼時候提供的。在漢朝，公元前 202 年到公元 220 年，勾股數出現在《九章算術》中，並提到了直角三角形。

第一次有記錄的使用是在中國，被稱為“勾股定理”，在印度被稱為婆什迦羅定理。

關於勾股定理是發現一次還是多次，存在很多爭議。博耶（1991）認為在《繩索經》中發現的元素可能是美索不達米亞起源的。

證明

這是一個可能比其他任何定理都擁有更多已知證明的定理；伊萊沙·斯科特·盧米斯撰寫的《畢達哥拉斯命題》一書中包含了 367 個證明。

使用相似三角形證明

與大多數勾股定理的證明一樣，這種證明也是基於兩個相似三角形的邊比例性的。

令 ABC 表示一個直角三角形，直角位於 C，如圖所示。我們從點 C 作垂線，並稱其與邊 AB 的交點為 H。新的三角形 ACH 與我們的三角形 ABC 相似，因為它們都有一個直角（根據垂線的定義），並且它們共享 A 處的角，這意味著第三個角在兩個三角形中也將相同。透過類似的推理，三角形 CBH 也與 ABC 相似。相似性導致了兩個比例…: 由於

BC=a,AC=b,{\text{ and }}AB=c,\!

所以

{\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,

這些可以寫成

a^{2}=c\times HB{\mbox{ and }}b^{2}=c\times AH.\,

將這兩個等式相加，我們得到

a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!

換句話說，勾股定理

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!

歐幾里得的證明

在歐幾里得《幾何原本》第一卷第47題中，勾股定理的證明是透過以下論證進行的。設A、B、C是直角三角形的頂點，其中A為直角。從A點向斜邊對面的邊作垂線。這條線將斜邊上的正方形分成兩個矩形，每個矩形的面積與兩條直角邊上的兩個正方形的面積相同。

為了正式證明，我們需要四個基本引理

如果兩個三角形有兩邊分別相等，並且這兩邊所夾的角相等，那麼這兩個三角形全等。（邊-角-邊定理）
三角形的面積等於以它為底、高相同的平行四邊形面積的一半。
任何正方形的面積等於它的兩條邊的乘積。
任何矩形的面積等於它相鄰兩邊的乘積（從引理3得出）。

這個證明背後的直觀想法是，頂部的正方形被變形為大小相同的平行四邊形，然後旋轉並變形為下方正方形的左右矩形，面積保持不變。

證明如下

設ACB是一個直角三角形，直角為CAB。
在BC、AB和CA的每條邊上，分別畫出正方形CBDE、BAGF和ACIH。
從A點畫一條平行於BD和CE的直線。它將垂直地與BC和DE分別相交於K和L。
連線CF和AD，形成BCF和BDA兩個三角形。

∠CAB和∠BAG都是直角；所以C、A和G共線。同樣地，B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角；所以∠ABD等於∠FBC，因為它們都是直角和∠ABC的和。
由於AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD必須等於△FBC。
由於A點與K和L共線，所以矩形BDLK的面積是△ABD面積的兩倍。
由於C點與A和G共線，所以正方形BAGF的面積是△FBC面積的兩倍。
因此，矩形BDLK的面積必須與正方形BAGF的面積相同=AB²。
同樣地，可以證明矩形CKLE的面積必須與正方形ACIH的面積相同=AC²。
將這兩個結果相加，AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
由於BD = KL，BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
因此，AB² + AC² = BC²，因為CBDE是一個正方形。

這個證明出現在歐幾里得《幾何原本》中，是命題1.47的證明。

加菲爾德的證明

詹姆斯·A·加菲爾德（後來的美國總統）因一個新穎的代數證明[1]而聞名，該證明使用了包含兩個三角形例項的梯形，該圖形包含下方所示用四個三角形包圍一個正方形的圖形的一半。

相似性證明

從與上述歐幾里得證明相同的圖形中，我們可以看到三個相似的圖形，每個圖形都是“上面有一個三角形的正方形”。由於大三角形是由兩個較小的三角形組成的，因此它的面積是兩個較小三角形面積的和。透過相似性，三個正方形彼此之間的比例與三個三角形相同，因此，大正方形的面積也是兩個較小正方形面積的和。

透過重新排列證明

透過重新排列的證明由插圖和動畫給出。在插圖中，每個大正方形的面積是（a + b）²。在兩者中，四個相同三角形的面積被移除。剩下的面積，a² + b²和c²，是相等的。證畢。

這個證明確實非常簡單，但它不是基本的，因為它不完全依賴於歐幾里得幾何中最基本的公理和定理。特別是，雖然給出三角形和正方形面積的公式很容易，但證明正方形的面積是其各部分面積的和就不那麼容易了。事實上，證明必要的性質比證明勾股定理本身以及巴拿赫-塔斯基悖論更難。實際上，這種困難影響了所有涉及面積的簡單歐幾里得證明；例如，推匯出直角三角形的面積涉及到假設它等於底和高相同的矩形面積的一半。出於這個原因，幾何學的公理化介紹通常採用另一種基於三角形相似性的證明（見上文）。

勾股定理的第三個圖形說明（右邊的黃色和藍色）將邊上的正方形的一部分放在斜邊上的正方形中。相關的證明將表明重新定位的部分與原始部分相同，並且，由於相等的和相等，相應的面積相等。為了表明正方形是結果，必須證明新的邊長等於c。請注意，為了使這個證明有效，必須提供一種方法來處理將小正方形切成越來越多的薄片，因為相應的邊變得越來越小。^[1]

代數證明

該證明的代數變體由以下推理提供。檢視插圖，它是一個大的正方形，其角上有相同的直角三角形，每個三角形的面積由對應於長度為C的邊的角度給出。

{\frac {1}{2}}AB.

每個三角形的A邊角和B邊角是互餘角，因此中間藍色區域的每個角都是直角，使該區域成為邊長為C的正方形。該正方形的面積為C²。因此，所有東西的總面積由下式給出

4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.

但是，由於大正方形的邊長為A + B，我們也可以將其面積計算為（A + B）²，它擴充套件為A² + 2AB + B²。

$A^{2}+2AB+B^{2}=4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.\,\!$

(4 的分配)

A^{2}+2AB+B^{2}=2AB+C^{2}\,\!

(減去 2AB)

A^{2}+B^{2}=C^{2}\,\!

微分方程證明

可以透過研究以下圖中邊變化如何產生斜邊變化來得到勾股定理，並運用一些微積分。

由於邊a的變化，

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}

透過相似三角形和微分變化。所以

c\,dc=a\,da

在變數分離後。

它來自為邊b的變化新增第二個項。

積分得到

c^{2}=a^{2}+\mathrm {constant} .\ \,\!

當a = 0 時，c = b，所以“常數”為b²。所以

c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,

正如可以看出，平方是由於變化與邊之間的特定比例，而和是由於邊變化的獨立貢獻，這在幾何證明中並不明顯。從給定的比例可以看出，邊的變化與邊成反比。微分方程表明該定理是由於相對變化造成的，它的推導幾乎等同於計算線積分。

這些量da和dc分別是a和c的無窮小變化。但我們使用實數Δa和Δc，則它們的大小接近零時的比率極限為da/dc，即導數，也接近c/a，即三角形邊長的比率，得出微分方程。

逆定理

定理的逆定理也是正確的

對於任何三個正數a、b和c，只要a² + b² = c²，就存在一個邊長為a、b和c的三角形，並且每個這樣的三角形在長度為a和b的邊之間都有一個直角。

這個逆定理也出現在歐幾里得的《幾何原本》中。它可以用餘弦定理或以下證明來證明

設ABC是一個三角形，它的每一邊的長度分別為a、b和c，其中a² + b² = c²。我們需要證明a和b邊之間的角度是直角。我們構造另一個三角形，在長度為a和b的邊之間有一個直角。根據勾股定理，該三角形的斜邊長度也為c。由於這兩個三角形具有相同的邊長a、b和c，因此它們是全等的，因此它們必須具有相同的角。因此，我們原始三角形中長度為a和b的邊之間的角度是一個直角。

勾股定理逆定理的一個推論是確定三角形是直角、鈍角還是銳角的一種簡單方法，如下所示。其中 *c* 被選為三邊中最長的邊

如果 *a*² + *b*² = *c*²，則三角形為直角三角形。
如果 *a*² + *b*² > *c*²，則三角形為銳角三角形。
如果 *a*² + *b*² < *c*²，則三角形為鈍角三角形。

定理的結果和應用

勾股數

勾股數是3個正數 *a*、*b* 和 *c*，滿足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。換句話說，勾股數表示一個直角三角形的邊長，其中所有三邊都是整數。來自北歐巨石紀念碑的證據表明，在文字發現之前就已經知道這樣的勾股數。這樣的勾股數通常寫成（*a*， *b*， *c*）。一些眾所周知的例子是（3， 4， 5）和（5， 12， 13）。

100 以內的原始勾股數列表

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

無理數的存在

勾股定理的一個結果是，可以構造無理數，例如 2 的平方根。兩條邊都等於一個單位的直角三角形的斜邊長度為 2 的平方根。畢達哥拉斯人證明了 2 的平方根是無理數，儘管這個證明與他們所珍視的萬物都是有理數的信念相沖突，但這個證明一直流傳至今。據說，第一個證明 2 的平方根是無理數的希帕索斯因此被扔進了大海。