畢達哥拉斯三角恆等式是一個三角恆等式，它用三角函式表示畢達哥拉斯定理。它與角和公式一起是sin 和cos 函式之間的基本關係，所有其他關係都可以從此關係推匯出來。
數學上，畢達哥拉斯恆等式指出
sin 2 x + cos 2 x = 1. ( 1 ) {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.\qquad \qquad (1)\!} (請注意，sin2 x 表示 (sin x )2 。)
可以識別出另外兩個畢達哥拉斯三角恆等式。它們是如下推導的。
sin 2 x sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x 1 + cot 2 x = csc 2 x tan 2 x + 1 = sec 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}&={\frac {1}{\sin ^{2}x}}&\qquad {\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\\1+\cot ^{2}x&=\csc ^{2}x&\tan ^{2}x+1&=\sec ^{2}x\end{aligned}}} 與 (1) 一樣，它們在畢達哥拉斯定理的例項中也有簡單的幾何解釋。
使用直角三角形邊長來定義三角函式的基本“定義”，
sin x = o p p o s i t e h y p o t e n u s e {\displaystyle \sin x={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}} cos x = a d j a c e n t h y p o t e n u s e {\displaystyle \cos x={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}} 該定理可以透過對兩者進行平方並相加得到；恆等式的左邊然後變為
o p p o s i t e 2 + a d j a c e n t 2 h y p o t e n u s e 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}} 根據畢達哥拉斯定理，它等於 1。但是，請注意，此定義僅適用於 0 到 ½π 弧度（不含）之間的角度，因此該論點沒有證明所有角度的恆等式。0 和 ½π 的值可以透過直接評估那些角度的 sin 和 cos 來輕鬆證明。
為了完成證明，必須使用三角對稱性、移位和週期性的恆等式。根據週期性恆等式，如果公式對 -π < x ≤ π 成立，則它對所有實數 x 成立。接下來，我們證明 ½π < x ≤ π 的範圍，為此，我們令 t = x - ½π ，t 現在將在 0 < x ≤ ½π 的範圍內。然後，我們可以使用一些基本移位恆等式的平方版本（平方可以方便地消除負號）。
sin 2 x + cos 2 x ≡ sin 2 ( t + 1 2 π ) + cos 2 ( t + 1 2 π ) ≡ cos 2 t + sin 2 t ≡ 1. {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\equiv \sin ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)\equiv \cos ^{2}t+\sin ^{2}t\equiv 1.} 剩下的就是證明 −π < x < 0；這可以透過對對稱性恆等式進行平方來完成，得到
sin 2 x ≡ sin 2 ( − x ) and cos 2 x ≡ cos 2 ( − x ) . {\displaystyle \sin ^{2}x\equiv \sin ^{2}(-x){\mbox{ and }}\cos ^{2}x\equiv \cos ^{2}(-x)\,.} 如果三角函式是根據單位圓定義的，證明是直接的：給定一個角 θ，在歐幾里得平面中，以原點為中心的單位圓上存在一個唯一的點 P ，該點與 x 軸的夾角為 θ，cos θ ，sin θ 分別是 P 的 x 和 y 座標。根據單位圓的定義，這些座標的平方和為 1，因此得到了恆等式。
與勾股定理的關係在於，單位圓實際上是由方程定義的
x 2 + y 2 = 1 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,.} 由於 x 和 y 軸相互垂直，這個事實實際上等價於斜邊長度為 1 的三角形的勾股定理（這又等價於透過應用相似三角形論證得到的完整勾股定理）。
三角函式也可以使用冪級數來定義，即（對於以弧度為單位測量的角 x ）
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}} cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}} 使用冪級數的正式乘法定律，我們得到
sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x\,} = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 ) ! ( − 1 ) j ( 2 j + 1 ) ! x ( 2 i + 1 ) + ( 2 j + 1 ) {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}}
= ∑ n = 1 ∞ ( ∑ i = 0 n − 1 ( − 1 ) n − 1 ( 2 i + 1 ) ! ( 2 ( n − i − 1 ) + 1 ) ! ) x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}}
= ∑ n = 1 ∞ ( ∑ i = 0 n − 1 ( 2 n 2 i + 1 ) ) ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}}
cos 2 x {\displaystyle \cos ^{2}x\,} = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i ) ! ( − 1 ) j ( 2 j ) ! x ( 2 i ) + ( 2 j ) {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}}
= ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( − 1 ) n ( 2 i ) ! ( 2 ( n − i ) ) ! ) x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}}
= ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( 2 n 2 i ) ) ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
請注意，在 sin 2 {\displaystyle \sin ^{2}} n 必須至少為 1 ，而在 cos 2 {\displaystyle \cos ^{2}} 1 。它們的和中其餘項是（去除公因數後）：
∑ i = 0 n ( 2 n 2 i ) − ∑ i = 0 n − 1 ( 2 n 2 i + 1 ) = ∑ j = 0 2 n ( − 1 ) j ( 2 n j ) = ( 1 − 1 ) 2 n = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0} 根據二項式定理。當以這種方式定義三角函式時，勾股定理與勾股恆等式沒有密切的關係；相反，結合勾股定理，恆等式現在表明這些冪級數引數化了單位圓，我們在上一節中使用過。請注意，此定義實際上以嚴格的方式構建了sin 和cos 函式，並證明了它們是可微的，因此實際上它包含了前兩個定義。
可以將 sin 和 cos 函式定義為微分方程的兩個唯一解
y ″ + y = 0 {\displaystyle y''+y=0} 分別滿足 y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=0,y'(0)=1} y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=1,y'(0)=0}
z = sin 2 x + cos 2 x {\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x} 是常數並且等於 1。但是，對它進行微分並應用這兩個事實，我們可以看到 z ′ = 0 {\displaystyle z'=0} z 是常數，並且 z ( 0 ) = 1 {\displaystyle z(0)=1}
這種形式的恆等式同樣與勾股定理沒有直接關係。
