數學著名定理/n次根

對於所有 $y>0$ 且對於所有 $n\in \mathbb {N}$，存在 $x\in \mathbb {R}$ 使得 $x^{n}=y$。

證明

我們定義一個集合 $A={\Big \{}r\in \mathbb {R} :r\geq 0,r^{n}<y{\Big \}}$。

這個集合是非空的（對於 $0\in A$）並且有一個上界 $y+1$（對於所有 $r>y+1$，我們得到 $r^{n}>r>y$）。

因此，根據 實數的完備性公理，它有一個 上確界 $x$。我們將證明 $x^{n}=y$。

• 假設 $x^{n}<y$。

找到 $0<\varepsilon <1$ 使得 $(x+\varepsilon )^{n}<y$ 即可。

${\begin{aligned}(x+\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon ^{k}\\&\leq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\varepsilon \qquad :\varepsilon ^{k}\leq \varepsilon \\&=x^{n}+\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}+\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}+\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}<y\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {y-x^{n}}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}$

因此 $x+\varepsilon \in A$，但 $x<x+\varepsilon$，因此 $x+\varepsilon \notin A$。矛盾。

• 假設 $x^{n}>y$。

與之前相同，只需找到 $0<\varepsilon <1$ 使得 $(x-\varepsilon )^{n}>y$

${\begin{aligned}(x-\varepsilon )^{n}&=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&=x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )^{k}\\&\geq x^{n}+\sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-\varepsilon )\qquad :(-\varepsilon )^{k}\geq -\varepsilon \\&=x^{n}-\varepsilon \sum _{k\,=\,1}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\\&=x^{n}-\varepsilon \left(\,\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}-x^{n}\right)\\&=x^{n}-\varepsilon {\bigl [}(x+1)^{n}-x^{n}{\bigr ]}>y\\\varepsilon &<\min \left\{1,{\frac {x^{n}-y}{(x+1)^{n}-x^{n}}}\right\}\end{aligned}}$

因此 $x-\varepsilon \notin A$，但 $x-\varepsilon <x$，因此 $x-\varepsilon \in A$。矛盾。

因此 $x^{n}=y$.

$\blacksquare$