數學名著定理/e 是無理數

尤拉數 *e* 的級數表示

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\!$

可以用來證明 *e* 是無理數。在 *e* 的許多表示中，這是指數函式 *e*^*y* 在 *y* = 1 處計算的泰勒級數。

證明概述

這是一個反證法。最初假定 *e* 是 *a*/ *b* 形式的有理數。然後我們分析了代表 *e* 的級數及其嚴格較小的第 *b* 個部分和之間的放大差異 *x*，它近似於極限值 *e*。透過選擇放大因子為 *b*!，分數 *a*/ *b* 和第 *b* 個部分和變成了整數，因此 *x* 必須是正整數。然而，級數表示的快速收斂意味著放大的近似誤差 *x* 仍然嚴格小於 1。從這個矛盾中，我們推斷出 *e* 是無理數。

證明

假設 *e* 是一個有理數。那麼存在正整數 *a* 和 *b* 使得 *e* = *a*/ *b*。

定義數字

$\ x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}\!$

為了看到 *x* 是一個整數，將 *e* = *a*/ *b* 代入這個定義得到

$x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$

第一項是一個整數，並且和中的每個分數都是一個整數，因為對於每一項，*n*≤*b*。因此，*x* 是一個整數。

現在我們證明 0 < *x* < 1。首先，將上面 *e* 的級數表示代入 *x* 的定義得到

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.\!$

對於所有 *n* ≥ *b* + 1 的項，我們有上限估計

${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,\!$

對於每個 *n* ≥ *b* + 2，這甚至很嚴格。將求和的索引更改為 *k* = *n* – *b* 並使用無窮等比級數的公式，我們得到

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}\leq 1.$

由於 0 和 1 之間沒有嚴格的整數，我們得到了矛盾，因此 *e* 必須是無理數。