金融數學 FM/貨幣的時間價值

學習目標

考生將理解並能夠執行與現值、現值和累積值相關的計算。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：利率（利息率）、單利、複利、累積函式、未來值、現值、現值、淨現值、貼現因子、貼現率（貼現率）、可轉換的 m-thly、名義利率、實際利率、通貨膨脹和實際利率、利息力、價值方程。
• 給定利率、時間段、現值、現值和未來值中的任何三個，使用單利或複利計算剩餘專案。解決涉及可變利息力的貨幣時間價值方程。
• 給定實際利率、可轉換的 m-thly 名義利率、實際貼現率、可轉換的 m-thly 名義貼現率或利息力中的任何一個，計算其他任何專案。
• 給定一組現金流和利率，編寫價值方程。

利息

定義。 （利息）利息是 借款人 對資產（或資本）的 補償，因為其 使用 而支付給 貸款人 的資本。

備註。

• 也就是說，利息是除了資本之外支付給貸款人的 額外 的東西（補償）。

示例。 假設一家銀行貸款給 Amy 100 美元，一個月後 Amy 需要向銀行償還 110 美元。然後，

• $\$100$ 是 資本；
• $\$110-\$100=\$10$ 是 利息；
• Amy 是 借款人；
• 該銀行是 貸款人。

練習。 漁夫 A 將一根釣竿借給漁夫 B 一週，讓漁夫 B 釣魚。在本週內，漁夫 B 捕獲的魚的 10%（獲得的小數取整）需要作為回報支付給漁夫 A。為簡單起見，假設所有魚都相同。

1 誰是貸款人？

	漁夫 A。
	漁夫 B。

2 假設漁夫 B 在那一週捕獲了 10 條魚。計算利息。

	一條魚。
	9 條魚。
	10 條魚。
	11 條魚。
	無法確定。

3 假設漁夫 B 可以從銀行借入 1000 美元來租用釣魚竿一週，並且漁夫需要在一週後向銀行償還 1050 美元。還假設每條魚可以賣 100 美元。借款人從銀行借款所支付的利息較低，捕獲的魚的最低數量是多少？

	一條魚。
	9 條魚。
	10 條魚。
	11 條魚。
	以上均不正確。

利息的計量

術語

在下文中，我們將介紹一些用於利息計量的術語。

定義。 （本金）本金 是投資的 初始 金額。

定義。 （累積值）在時間 $t$ 的 累積值 （或未來值）是在時間 $t$ 收到的 總 金額。

定義。 （利息（替代定義））投資期間獲得的 利息 是 累積值 與 本金 之間的 差額。

備註。

• 這種替代定義等同於上面對 利息 的定義。

示例。 Amy 向一個一年後支付 200 美元的基金投資了 100 美元。然後，

• 的 本金 是 $\$100$；
• 的 累積值 （一年後）是 $\$200$；
• 的 利息 （在本年度內賺取）是 $\$200-\$100=\$100$.

練習。

1 假設該基金在 $\$100x$ 兩年 後支付，兩年後的利息為 50 美元。計算 $x$.

	0.5
	0.67
	1.5
	50
	150

2 承接上題。假設 Amy 投資的是 $\$y$ 。用 $y$ 表示 $x$ 。

	$x={\frac {100-y}{50}}$
	$x={\frac {y-25}{50}}$
	$x={\frac {250-y}{100}}$
	$x={\frac {50+y}{100}}$
	$x={\frac {50-y}{100}}$

定義。 （計量期）計量期 是測量時間的 單位 。

備註。

• 計量期 通常是 年 。

定義。 （積累函式）積累函式，用 $a(t)$ 表示，是給出時間 $t$ 的 積累值 與 本金 的 比率 的函式。

備註。

• $a(0)=1$ ，因為時間 0 的積累值等於本金，所以比率為 1。

定義。 （金額函式）用 $A(t)$ 表示的金額函式是給出時間 $t$ 的 本金 為非負數 $k$ 的 積累值 的函式。

備註。

• $A(0)=k$ ，因為時間 0 的積累值等於本金，根據定義，本金是 $k$ 。
• 另外，$A(t)=ka(t)$，因為$a(t){\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(t)}{k}}$。

我們將投資日期（即從第$n$期開始）到第$n$期結束期間產生的利息表示為$I_{n}$（$n$是一個正整數）。

根據定義，$I_{n}=A(n)-A(n-1)$，其中

• $A(n)$ 是第$n$期末的累計值，
• $A(n-1)$ 是第$n$期初的累計值。

示例。 定義$a(t)=2^{t}$，適用於每個時間$t$。

• 這是一個有效的累計函式，因為$a(0)=2^{0}=1$。
• 另外，$a(1.5)=2^{1.5}\approx 2.83$，並且
• 從 $t=0$ 到 $t=1$，本金為 1 的利息為 $a(1)-a(0)=2^{1}-2^{0}=1$，其中 $a(1)$ 是時間 1 的累計價值，$a(0)$ 是本金。

練習。

1 假設本金為 100 美元，計算 $A(3.5)$。

	1.13
	1.23
	1131.37
	1200
	1225

2 用上一個問題中的本金數額，計算從 $t=3$ 到 $t=3.5$ 的利息收益。

	325
	331.37
	565.69
	800
	1131.37

3 以下哪些是有效的金額函式？

	$t\mapsto 2t$
	$t\mapsto 2^{t}$
	$t\mapsto t^{2}$
	$t\mapsto {\frac {1}{1+t}}$
	$t\mapsto e^{t}$

有效利率

定義。（有效利率）有效利率，用 $i$ 表示，是指 利息 在期間內獲得的金額 與 本金 的 比率。

備註。

• 因此，從投資日期開始的第 $n$ 個期間的有效利率，用 $i_{n}$ 表示，為

$$i_{n}={\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}}$$

其中，$A(n)-A(n-1)$ 有時用 $I_{n}$ 表示，表示 利息 的金額。

• 除非另有說明，否則利率均以 年利率 表示。.

例： $i_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}}$.

證明： 假設本金為 $k$。 然後， $$i_{n}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}}={\frac {ka(n)-ka(n-1)}{ka(n-1)}}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}},$$ 如所願。

$\Box$

例： $A(n)=A(0)(1+i_{1})\dotsb (1+i_{n})$ 對於每個非負整數 $n$.

證明： 對於每個非負整數 $n$， $$A(0)(1+i_{1})\dotsb (1+i_{n})=A(0)\cdot {\frac {A(1)}{A(0)}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {A(n)}{A(n-1)}}=A(n),$$ 如所願。

$\Box$

練習： 定義 $i_{n}=2i_{n-1}$ 對於每個正整數 $n$，並且 $i_{1}=1\%$。 假設 $A(0)=100$.

1 計算 $A(4)$.

	107.14
	115.71
	116.88
	134.225

2 用 $t$ 表示 $A(t)$.

	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k-1}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k+1}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2ki_{1})$.
	$A(t)=100(1+i_{1})^{t}$.

單利

對於 單利，在 單利 利率 $i$ 下，每期獲得的利息根據本金計算（因此是恆定的），即獲得的利息為 $iA(0)$，即對於每個正整數 $n$，有 $A(n)-A(n-1)=iA(0)$。因此，$A(n)=A(0)+{\big (}A(1)-A(0){\big )}+\dotsb +{\big (}A(n)-A(n-1){\big )}=A(0)+inA(0)=A(0)(1+in).$ 由於 $A(n)=A(0)a(n)$，對於每個非負整數 $n$，有 $a(n)=1+in$。直觀地，我們可以預期累積函式的相同形式也適用於其他非負 數。

定義。 （單利）根據積累函式 $$a(t)=1+it,\quad t\geq 0$$ 積累的利息稱為 單利，其中 $i$ 是 單利利率。

備註。

• 由於單利，$i_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}}={\frac {i}{1+(n-1)i}}$，$i_{n}$ 通常不等於單利利率。

示例。 伊萬將 10000 美元存入一個銀行賬戶，該賬戶按年利率 5% 的單利支付利息。兩年後，伊萬賬戶的餘額為 $\$1000(1+2(5\%))=\$11000$。

練習。

1 假設兩年後的餘額為 10000 美元。伊萬最初投資了多少錢？

	9000
	9070.29
	9090.91
	9523.81
	11111.11

2 計算第二年的有效利率。

	0.045
	0.048
	0.05
	0.1

示例。 對於 單利，$$a(s+t)=a(s)+a(t)-1,\quad s{\text{ and }}t\geq 0.$$

證明。 $$a(s+t)=1+(s+t)i=\underbrace {1+si} _{=a(s)}+\underbrace {1+ti} _{=a(t)}-1,$$ 如所願。

$\Box$

複利

對於 複利，每期的利息收益是根據該期初的累計價值計算的。

更準確地說，本金為 $k$，複利利率為 $i$，在第一年末，利息收益為 $ki$，因此累計價值為 $k+ki=k(1+i)$。

因此，在第二年末，利息收益為 $k(1+i)i$，因此累計價值為 $k(1+i)+k(1+i)i=k(1+i)^{2}$

使用相同的論點，在第 $n$ 年結束時，收到的利息為 $ki(1+i)^{n-1}$，累積值為 $k(1+i)^{n}$。我們得到了輸入為非負整數 $n$ 的累積函式，即 $a(t)=(1+i)^{n}$.

直觀上，我們可能期望相同的累積函式形式也適用於其他非負的 數。這促使我們定義複利。

定義。 （複利）根據累積函式 $$a(t)=(1+i)^{t},\quad t\geq 0$$ 進行的利息累積為 複利，其中 $i$ 為 複利利率。

示例。 伊萬將 10000 美元投資於一家銀行賬戶，該賬戶以每年 5% 的複利利率支付利息。那麼，兩年後伊萬賬戶的餘額為 $\$10000(1.05)^{2}=\$11025$。

練習。

1 兩年後，銀行賬戶以相同的利率支付了三年單利，然後以 10% 的複利利率支付利息。計算七年後的餘額。

	$13781.25
	$13946.63
	$15341.29
	$16875.42
	$17755.87

2 以單利利率 $i$，兩年後的餘額為 12000。計算兩年後以 複利 利率 $i$ 和以單利利率 $i$ 計算出的餘額之間的差額。

	0
	0.01
	25
	91.1
	100

示例。 對於 複利 利率 $i$，第 $n$ 期內的有效利率 $i_{n}=i$。

證明。 $$i_{n}={\frac {(1+i)^{n}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{n-1}}}={\frac {(1+i)^{n-1}{\big (}(1+i)-1{\big )}}{(1+i)^{n-1}}}=i.$$

$\Box$

備註。

• 由於這個不錯的結果，從現在開始，除非另有說明，所有利息（率）都被假定為 複利 利息（率）。

有效折現率

有效利率被定義為在期末支付的利息的度量。然而，也存在貼現率，用$d$表示，它是在期初支付的利息的度量。

示例。

• 如果艾米以 5% 的有效利率從銀行借了 100 美元一年，那麼銀行將在年初給艾米 100 美元，到年底，艾米將償還銀行 100 美元加上 5 美元的利息，總計 105 美元。
• 另一方面，如果艾米被收取 5% 的有效貼現率，那麼艾米需要在年初支付 5 美元的利息，所以銀行只會在年初給艾米$\$100-\$5=\$95$，艾米將在年底償還銀行 100 美元（利息已支付）。

從這個例子中我們可以看到，有效利息率是本金的百分比，而有效貼現率是期末餘額的百分比。因此，我們可以更精確地定義有效貼現率如下：

定義。（有效貼現率）有效貼現率，用$d$表示，是期內獲得的利息金額與期末投資金額的比率。

備註。

• 由此得出，$n$期的有效貼現率，用$d_{n}$表示，為：

$$d_{n}={\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n)}}.$$

示例。 在上面的例子中，有效貼現率是 5%，因為${\frac {\$100-\$95}{\$100}}=5\%$。

示例。 $d_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n)}}$.

證明。 $$d_{n}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n)}}={\frac {ka(n)-ka(n-1)}{ka(n)}}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n)}}.$$

$\Box$

示例。 $A(0)=A(n)(1-d_{n})\dotsb (1-d_{1})$.

證明。 對於每個正整數$n$，$$A(n)(1-d_{n})\dotsb (1-d_{1})=A(n)\cdot {\frac {A(n-1)}{A(n)}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {A(0)}{A(1)}}=A(0).$$

$\Box$

例如。 假設 $a(t)=e^{t}$，則 $$d_{3}={\frac {e^{3}-e^{2}}{e^{3}}}\approx 0.632.$$ 相反，$$i_{3}={\frac {e^{3}-e^{2}}{e^{2}}}\approx 1.718.$$

練習。

選擇所有關於 $d_{k}-i_{k+1}$ 的正確表示式，用 $k$ 表示，其中 $k$ 是任何正整數。

	0
	$2-{\frac {a(k-1)+a(k+1)}{a(k)}}$
	$1-{\frac {a(k-1)+a(k+1)}{a(k)}}$
	${\frac {a(k+1)-a(k-1)}{a(k)}}$
	$2\cdot {\frac {a(k+1)-a(k-1)}{a(k)}}$

簡單貼現率

對於簡單貼現，利息是根據第 $n$ 期末的累計值計算的。也就是說，每期初支付的利息是 $dA(n)$（常數），即對於每個正整數 $m$，$A(m)-A(m-1)=dA(n)$。

那麼，$$A(0)=A(n)-{\big (}A(n)-A(n-1){\big )}-\dotsb -{\big (}A(1)-A(0){\big )}=A(n)-dnA(n)=A(n)(1-dn).$$ 由於 $A(n)=A(0)a(n)\Leftrightarrow A(0)=A(n)a^{-1}(n)$ , $a^{-1}(n)=1-dn\Rightarrow a(n)={\frac {1}{1-dn}}$ 對於每個非負整數 $n$，只要 $dn<1\Leftrightarrow n<1/d$（以便累積函式定義）。類似地，我們可能直觀地預期相同形式的累積函式適用於其他非負數，這促使我們做出以下定義。

定義。（簡單貼現）根據累積函式 $$a(t)={\frac {1}{1-dt}},\quad 0\leq t<1/d$$ 累積的貼現稱為 簡單貼現，其中 $d$ 是 簡單貼現率。

複利貼現率

對於 複利 貼現，每期初支付的利息是根據該期末的餘額計算的。

更準確地說，假設 $A(n)=k$ 且複利貼現率為 $d$。在第 $n$ 年初，支付的利息為 $kd$，因此第 $n$ 年初的餘額為 $k-kd=k(1-d)$。

由於$n-1$年年末（與$n$年年初相同）的餘額為$k(1-d)$，因此$n-1$年年初支付的利息為$k(1-d)d$，因此年初的餘額為$k(1-d)-k(1-d)d=k(1-d)^{2}$。

使用相同的論據，第一年的年初餘額為$k(1-d)^{n}$，即$A(0)=k(1-d)^{n}=A(n)(1-d)^{n}$，我們可以看到$a^{-1}(n)=(1-d)^{n}\Rightarrow a(n)={\frac {1}{(1-d)^{n}}}$，類似地，對於每個非負整數$n$。

定義.（複利折現）根據累積函式$$a(t)={\frac {1}{(1-d)^{t}}},\quad t\geq 0$$ 累積的利息被稱為複利折現，其中$d$ 是複利折現率。

示例。

• 艾米以複利折現率$d$將1000投資於一個基金，十年後她獲得了2000。
• 那麼，我們知道

$$1000(1-d)^{-10}=2000\Rightarrow (1-d)^{-10}=2.$$

• 然後，我們可以計算出100年後的累積價值為

$$A(100)=1000(1-d)^{-100}=1000{\big (}(1-d)^{-10}{\big )}^{10}=1000(2^{10})=1024000.$$

練習。

1 假設基金價值以簡單利率 $i$ 累積。計算 $i$，使得艾米收到的金額相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

2 假設基金價值以複利利率 $i$ 累積。計算 $i$，使得艾米收到的金額相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

3 假設基金價值以簡單貼現率 $d$ 累積。計算 $d$，使得艾米收到的金額相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

假設基金價值按照以下模式以不同的利率累積：對於每個非負整數 $n$，

• 在 $4n$ 年，基金價值以 5% 的簡單利率累積；
• 在 $4n+1$ 年，基金價值以 5% 的簡單貼現率累積；
• 在 $4n+2$ 年，基金價值以 5% 的複利利率累積；
• 在 $4n+3$ 年，基金價值以 5% 的複利貼現率累積。

計算艾米在相同初始投資額的情況下，十年後收到的金額。

	1649.41
	1652.76
	1666.67
	1826.74
	2231.55

等效利率

定義。 (等效利率) 兩個利率或貼現率是 等效的，如果給定的本金在每個利率下投資相同的時間，產生相同的 累積 值。

備註。

• 這意味著相應的累積函式在相同輸入下具有相同的輸出。
• 考試 FM 問題中的 "$i$" 和 "$d$" 被假設為等效的，因為假設 $d={\frac {i}{1+i}}$，這將在下面被證明等效於 $i$ 和 $d$ 的等效性。

示例。 假設 $i$ 是有效利率，而 $d$ 是與 $i$ 等效的有效貼現率。 那麼，$d={\frac {i}{1+i}}$.

證明。 由於它們等效，它們的積累函式在相同輸入下值相等。 特別地，當輸入為 $t=1$ 時，$$1+i={\frac {1}{1-d}}\Leftrightarrow 1-d={\frac {1}{1+i}}\Leftrightarrow d={\frac {1+i-1}{1+i}}={\frac {i}{1+i}}.$$

$\Box$

備註。

• 由此可知，$d=iv$ 當且僅當 $i$ 和 $d$ 等效，因為 $v={\frac {1}{1+i}}$.
• 此外，$v={\frac {1}{1+i}}=1-d$.

示例。 假設 $i$ 是有效利率，而 $d$ 是與 $i$ 等效的有效貼現率。 那麼，$i={\frac {d}{1-d}}$.

證明。 由於它們等效，$$1+i={\frac {1}{1-d}}\Leftrightarrow i={\frac {1-(1-d)}{1-d}}={\frac {d}{1-d}}.$$

$\Box$

練習。

1 假設 複利 利率 $i$ 和 複利 貼現率 3% 等效。 計算 $i$.

	0.029
	0.031
	0.942
	0.97

2 選擇 $i$ 的所有正確表示式。

	$i={\frac {1-v}{v}}$
	$i={\frac {1+v}{v}}$
	$i={\frac {v}{1+v}}$
	$i={\frac {v}{1-v}}$
	$i={\frac {1-d}{v^{2}}}$

3 選擇所有可能的$i$值，使得$i=d$（$i$和$d$是等價的）。

	0
	0.5
	0.62
	1.62
	-1.62

4 選擇所有可能的$i$值，使得$i=v$.

	0
	0.5
	0.62
	1.62
	-1.62

名義利率

我們已經討論了有效利率和貼現率。對於這些有效率，利息在每個計息週期內只支付一次（在開始時（對於貼現率）或在結束時（對於利率））。

但是，利息可以在每個計息週期內支付多次，並且在每個計息週期內支付多次利息的利率和貼現率被稱為名義利率，而不是有效利率。

定義。（名義利率和貼現率）名義利率和貼現率是指在每個計息週期內支付多次利息的利率。

將這些利率稱為“名義利率”的原因是，可支付（或“可轉換”或“複利”）的名義利率（貼現率）的記號為 $m$thly 每計息期為 $i^{(m)}$ ($d^{(m)}$)，其值僅為 名義 值，因為每次付款計算中實際使用的利率為 $i^{(m)}/m$ ($d^{(m)}/m$) 根據定義，而不是 $i^{(m)}$ ($d^{(m)}$)，這就是 $m$thly 利率。

例：艾米在銀行賬戶中存入 1000 元，利率為 24%，每月複利（即“12thly”，每年複利 12 次）。那麼，

• 名義利率 $i^{(12)}=0.24$；
• 一年（或 12 個月）後的累積值為 $1000\left(1+{\frac {i^{(12)}}{12}}\right)^{12}\approx 1268.24$，

因為將“月”視為計息期，因為月利率為 ${\frac {i^{(12)}}{12}}$，並且有 12 個計息期，因此結果來自複利的定義。

• 我們可以看到，實際利率約為 ${\frac {1268.24-1000}{1000}}\approx 27\%$，這與 24% 的 名義 利率不同，再次表明名義利率是“名義”的。

練習。

1 如果利率是每月支付的貼現率，則計算一年後的累積值。

	784.72
	788.49
	1268.24
	1274.35
	26930.03

2 如果利率是每天支付的利息率，則計算一年後的累積值。（將一年視為 365 天。）

	1007.92
	1271.15
	1271.35
	1377408.29

3 如果利率是每秒支付的貼現率，則計算一年後的累積值。（將一年視為 31536000 秒。）

	999.99722222605
	1000.0027777817
	1020.2013389814
	1271.2491512355
	1271.2491535574

示例： 可轉換每月計息的票面利率，用 $i^{(12)}$ 表示，相當於 $d^{(6)}=18\%$，可透過以下公式計算：$${\begin{aligned}&&\left(1+{\frac {i^{(12)}}{12}}\right)^{12}&=\left(1-{\frac {d^{(6)}}{6}}\right)^{-6}\\&\Rightarrow &1+{\frac {i^{(12)}}{12}}&={\big (}(1-0.03)^{-6}{\big )}^{1/12}{\text{ or }}-{\big (}(1-0.03)^{-6}{\big )}^{1/12}({\text{rejected}})\\&\Rightarrow &i^{(12)}&=12(0.97^{-6/12}-1)\approx 0.184.\end{aligned}}$$

練習。

計算等效於 $d^{(6)}=18\%$ 的實際利率 $i$。

	0.184
	0.2
	2.29
	0.22
	0.03

利息率

我們已經討論了名義利率，在本節中，我們將討論如果複利頻率越來越高，即 “複利 $m$ 次” 中的 $m$ 越來越大，趨向於無窮大，我們稱之為 “連續複利”。

更準確地說，我們想知道 “無窮小” 時間間隔 $[t,t+1/m]$（趨近於時間點 $t$）中 $\lim _{m\to \infty }i^{(m)}$ 的值，我們稱之為時間點 $t$ 的 利息率，用 $\delta _{t}$ 表示。現在，我們要為 $\delta _{t}$ 推匯出一個公式。

對於名義利率 $i^{(m)}$，我們有以下關係：$A(t)$ 和 $A(t+1/m)$，根據定義（將一年中的 $1/m$ 作為計息週期，則該週期 $[t,t+1/m]$ 內的實際利率為 $i^{(m)}/m$，根據定義）：$$A(t+1/m)=A(t)(1+i^{(m)}/m)\Rightarrow i^{(m)}={\frac {m{\big (}A(t+1/m)-A(t){\big )}}{A(t)}}={\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t)}}$$ 因此，取極限，$$\underbrace {\lim _{m\to \infty }i^{(m)}} _{=\delta _{t}}={\frac {1}{A(t)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}={\frac {1}{A(t)}}\cdot \underbrace {\lim _{1/m\to 0}{\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}} _{{\overset {\text{ def }}{=}}A'(t)}={\frac {A'(t)}{A(t)}}.$$ 這就引出了利息力的定義。

定義。 （利息力）在時間 $t$，利息力用 $\delta _{t}$ 表示，定義為 $\delta _{t}={\frac {A'(t)}{A(t)}}$.

備註。

• 因此，$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}$，因為$A(t)=A(0)a(t)$，因此$A'(t)=A(0)a'(t)$。
• 表示式${\frac {A'(t)}{A(t)}}$ 可以被解釋為在時間 $t$ 時，金額函式的相對變化率，從某種意義上說，它表示時間$t$ 的變化率等於$A(t)$ 的部分，使得$\delta _{t}$ 與$A(t)$ 的值無關。

• 因此，利息力衡量了時間 $t$ 時利息的“強度”，因為唯一改變$A(t)$ 的因素是利息。

命題。（利息力表示的積累函式）$$a(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right).$$

證明。 $$\delta _{s}={\frac {a'(s)}{a(s)}}\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\int _{0}^{t}{\frac {a'(s)}{a(s)}}\,ds\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\int _{0}^{t}{\frac {1}{a(s)}}\,d{\big (}a(s){\big )}\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\ln a(t)-\underbrace {\ln a(0)} _{=\ln 1=0}\Leftrightarrow a(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right).$$

$\Box$

備註。

• 推論是${\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}=\exp \left(\int _{0}^{t_{2}}\delta _{s}\,ds-\int _{0}^{t_{1}}\delta _{s}\,ds\right)=\exp \left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta _{s}\,ds\right)$，這在某些情況下很有用。

命題。 （利率恆定）當且僅當測量週期內的利率恆定，記為$\delta$，且時間間隔內的有效利率為$i$，$\delta =\ln(1+i)$。

證明。

• 不失一般性，假設測量週期為$[t,t+1]$。然後，

$${\frac {a(t+1)}{a(t)}}=\exp \left(\int _{t}^{t+1}\delta \,ds\right)\Leftrightarrow {\frac {(1+i)^{t+1}}{(1+i)^{t}}}=\exp \left(\delta \right)\Leftrightarrow \delta =\ln(1+i).$$

$\Box$

備註。

• 一般來說，當且僅當利率在$n$個測量週期，例如時間間隔$[0,n]$內恆定，累積函式

$$a(n)=\exp \left(\int _{0}^{n}\delta \,ds\right)\Leftrightarrow a(n)=e^{n\delta }.$$

例子。 （利率和貼現率之間的等效性）貼現率可以類似地 定義為$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}$。然後，貼現率$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\delta _{t}$。

證明。

• 類似於利率的動機，我們有

$$A(t)=A(t+1/m)(1-d^{(m)}/m)\Rightarrow d^{(m)}={\frac {-m{\big (}A(t)-A(t+1/m{\big )})}{A(t+1/m)}}={\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t+1/m)}}.$$

• 取極限：

$$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\lim _{1/m\to 0}\left({\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t+1/m)}}\right)=A'(t)\cdot {\frac {1}{A(t)}}=\delta _{t}.$$

$\Box$

備註。

• 因此，只需討論利息力，而無需討論貼現力。

例： 一隻基金以 10% 的年利率（假設為年利率）積累，即 $\delta =0.1$。艾米在基金中投資了 10000 元。那麼，該投資的累計價值為 $10000e^{2\cdot (0.1)}\approx 12214.03$。

練習。

1 假設艾米在基金中投資了 $P$ 元，累計價值為 10000 元。用 $P$ 表示基金價值積累的常數利息力 $\delta$ 。

	$\delta ={\frac {1}{2}}\ln(10000/P)$
	$\delta ={\frac {1}{2}}\ln(20000/P)$
	$\delta =\ln(20000/P)$
	$\delta =\ln(10000/P)$
	$\delta =\ln(50000/P)$

2 在相同條件下，計算 $A'(1)$ 。

	11051.71
	1105.17
	1221.4
	1.11
	0.11

3 在相同條件下，選擇 $A'(t)$ 的所有正確表示式。

	$A'(t)=e^{\delta t}$
	$A'(t)=\delta e^{\delta t}$
	$A'(t)=e^{\delta t}/\delta ^{3}$
	$A'(t)=\delta (1+i)^{t}$ ($i$ 是年有效利率)
	$A'(t)=\delta (1+it)$ ($i$ 是年有效利率)

示例： 一個基金的價值以年利息力 $\delta _{t}=(2+t)^{-1}$ 累積，對於每一個非負的 $t$ （以年為單位，即 $t=j$ 表示“第 $j$ 年末”，因為從 $t=j-1$ 到 $t=j$ 的時間間隔是第 $j$ 年。）。那麼，當 $t=15$ 時，本金為 1 的累積值為 $${\begin{aligned}a(15)=\exp \left(\int _{0}^{15}(2+t)^{-1}\,dt\right)=\exp(\ln 17-\ln 2)=\exp \left(\ln(17/2)\right)=17/2.\end{aligned}}$$

練習。

1 計算從 $t=3$ 到 $t=11$ 的時間段內的有效利率 $i$。

	1.6
	2.4
	6.5
	8.5

2 另一個基金以簡單利率 $i$ 累積。計算 $i$，使得該基金的累積價值在每個正數 $t$ 上等於示例中基金的累積價值，前提是本金相同。

	0.5
	1
	1.5
	2.5
	不存在這樣的 $i$。

示例。

• 艾米將 100 元存入銀行，這筆 100 元的存款按照利息力累積，

$$\delta _{t}={\begin{cases}0.01,&0\leq t<7;\\(1+t)^{-1},&7\leq t<10;\\0.0009t^{2},&t\geq 10,\\\end{cases}}$$

其中 $t$ 以年為單位。

• 那麼，存款在第 8 年結束時的累積價值是

$$100\exp \left(\int _{0}^{8}\delta _{t}\,dt\right)=100\exp \left(\int _{0}^{7}0.01\,dt+\int _{7}^{8}(1+t)^{-1}\,dt\right)=100\exp \left(0.07+\ln 9-\ln 8\right)\approx 120.66;$$

• 在第 11 年結束時的累積價值是

$$100\exp \left(\int _{0}^{11}\delta _{t}\,dt\right)=100\exp \left(\int _{0}^{7}0.01\,dt+\int _{7}^{10}(1+t)^{-1}\,dt+\int _{10}^{11}0.0009t^{2}\,dt\right)=100\exp \left(0.07+\ln 11-\ln 8+0.0003(11^{3}-10^{3})\right)\approx 162.87.$$

練習。

計算從第 3 年末到第 14 年末的時間段內的有效貼現率 $d$。

	0.08
	0.59
	0.6
	1.49
	1.56

現值、現值和未來值

從前面的章節中，我們已經看到，由於利息的存在，金錢具有時間價值，也就是說，今天 1 美元將價值超過一段時間後的 1 美元（假設利率為正）。

更準確地說，$k$ 的投資將在一個時期結束時累積到 $k(1+i)$，其中 $i$ 是該期間的有效利率。特別是，$1+i$ 被稱為積累因子，因為它將投資的初始價值積累到最終價值。在圖形上，它看起來像下面的時間圖（一個圖形表示不同時間的狀態）。

   *----------*
   |          |
   |          v
 k |            k(1+i)
---*----------*----
  beg        end

我們通常想做一些與計算累積價值相反的事情。也就是說，計算給定累積價值的本金。由於本金是初始時間的投資價值，通常是現在（或現在），所以“反向”計算本質上是計算現在的投資價值，給定其在未來的累積（或未來）價值。

更準確地說，我們想計算本金（或現值，用 $PV$ 表示），使其在一個時期結束時累積到 $k$（即未來值，用 $FV$ 表示）。用方程式來描述這種情況，我們有 $$PV(1+i)=FV\Leftrightarrow PV=FV\cdot {\frac {1}{1+i}}$$，其中 $i$ 是該期間的有效利率。 ${\frac {1}{1+i}}$，用 $v$ 表示，是折現因子，因為它將未來價值“折現”到現值。

   *----------*
   |          |
   v          |
 k/1+i        | k     
---*----------*----
  beg        end

有時使用現值（它介於現值和未來值之間）。它指的是在指定日期的付款價值，其中一些付款是在該日期之前支付的，而另一些付款是在該日期之後支付的。

我們已經討論瞭如何計算一個週期的現值，但我們可以推廣這個結果到多個週期。更準確地說，我們還想計算在$t$ 個週期結束時的未來值給定的現值。我們可以使用積累函式$a(t)$ 來描述這種情況。 $$PVa(t)=FV\Leftrightarrow PV=FV\cdot {\frac {1}{a(t)}}=FVa^{-1}(t)$$ 其中 $a^{-1}(t)$ 是$a(t)$ 的反函式。

此外，給定多個未來值，我們可以透過將所有這些未來值對應的現值加起來來計算這些未來值的總現值。

示例. 為了換取你的汽車，約翰承諾一年後支付你 5000 元，三年後支付你 10000 元。使用年有效利率 5%，這些支付的現值為$$PV=5000(1.05)^{-1}+10000(1.05)^{-3}\approx 13400.28.$$ 時間圖

    *--------------------*
    |                    |
    *-------*            |
    |       |            |
    |       |            |
    v     5000        10000
----*------*------------*---- t
    0      1            3

練習。

1 如果給定的利率是單利利率，請計算現值。

	11337.07
	13043.48
	13457.56
	13852.81
	14285.71

2 計算有效利率$i$ 使得現值為 14000。 (提示: 你可以使用牛頓法，初始猜測為 $i_{0}=0.03$ 來近似答案。)

	1.12%
	3.01%
	3.02%
	3.03%
	3.10%

備註。

• 繪製一個粗略的時間圖來理解問題中給定的情況通常很有用。

示例. 一個基金在第 7 年末提供 50000 的支付。假設有年力率$\delta _{t}=0.04t+0.05$ ($t$ 以年為單位)。那麼，支付的現值為$$PV=50000e^{-{\big (}0.02(7^{2})+0.05(7)-0.02(0^{2})-0.05(0){\big )}}\approx 13223.86.$$

證明。

• 首先，與力率$\delta _{t}$ 相對應的積累函式的反函式在$t=7$ 是

$$a^{-1}(7)=\left(\exp \left(\int _{0}^{7}0.04t+0.05\,dt\right)\right)^{-1}=\left(\exp \left([0.02t^{2}+0.05t]_{0}^{7}\right)\right)^{-1}=\exp \left(-0.02(7^{2})-0.05(7)\right).$$

• 結果來自以下關係式$PV=50000a^{-1}(7)$.

$\Box$

練習。

假設在第8年結束時，有一個3%的簡單折現，而不是利息力，並在第15年結束時有一個300000的額外支付。計算第10年結束時支付的現值。

	295953.38
	313348.23
	330482.32
	333030.32
	334057.07

價值方程

對於兩個或多個不同時間點的支付，為了公平地比較它們，我們需要將它們累積或折現到一個共同的時間點，從而消除貨幣時間價值對支付的影響。

將每個支付按上述方式累積或折現的方程式稱為價值方程.

事實上，我們在前面的章節中已經遇到了價值方程，因為價值方程的一個例子就是計算多個支付的現值（“現在”是共同的時間點）。

價值方程中涉及的概念已經在之前討論過了。

通貨膨脹和實際利率

在前面的章節中，我們沒有考慮通貨膨脹的影響，我們將介紹通貨膨脹下利率的變化情況。

由於通貨膨脹的存在，利率有兩種型別，即名義利率和實際利率。

對於名義利率，它與之前討論的“正常”利率相同，因此用$i$表示。

定義。 （實際利率）實際利率，用$r$表示，是指剔除了通貨膨脹影響後的利率。更準確地說，實際利率定義為$$1+r={\frac {1+i}{1+j}}$$，其中通貨膨脹率為$j$，對應於計算利率的年份。。

備註。

• 根據（年度）通貨膨脹率的定義，$1+j={\frac {\text{price level at the end of the year}}{\text{price level at the beginning of the year}}}$，因此${\frac {1}{1+j}}={\frac {\text{price level at the beginning of the year}}{\text{price level at the end of the year}}}$，因此${\frac {1}{1+j}}$可以理解為將支付利息的價格水平（即年底）調整到年初的價格水平，從而消除了當年價格水平的變化。
• 實際利率的近似值為$r\approx i-j$，因為$1+i=(1+r)(1+j)=1+r+j+rj\approx 1+r+j$（$rj$很小）。

示例。

• 假設年通貨膨脹率為5%，名義利率為4%。
• 那麼，年實際利率為${\frac {1.04}{1.05}}-1\approx -0.0095.$
• 一般來說，在$n$ 年內，（有效）名義利率為$1.04^{n}$，並且
• 在$n$ 年內的通貨膨脹率為$1.05^{n}$。
• 因此，在$n$ 年內的實際（有效）利率為${\frac {1.04^{n}}{1.05^{n}}}-1=\left({\frac {1.04}{1.05}}\right)^{n}-1$。
• 正如我們在這裡所看到的，如果名義利率是複利，那麼實際利率也是複利。
• 我們可以使用實際利率進行各種計算，例如計算現值，即在公式中使用實際利率作為"$i$"。

證明。 令$r$ 為實際利率。根據定義，$$1+r={\frac {1+4\%}{1+5\%}}={\frac {1.04}{1.05}}\Rightarrow r={\frac {1.04}{1.05}}-1\approx -0.0095.$$

$\Box$

練習。

1 假設某基金在第一年年末支付 1000 元。令$x$ 和 $y$ 分別表示使用名義利率和實際利率計算的支付的現值。計算$y-x$。

	-48.08
	-0.05
	0
	0.05
	48.08

2 假設第$n$ 年的通貨膨脹率為 $(4+n)\%$，並且每年名義利率相同，某基金在第$n$ 年年末支付 $k^{n/2}$ （$k>0$），直到支付三次，之後停止支付。選擇所有使用實際利率計算的這三筆支付現值的正確表示式。

	${\frac {1.05k^{1/2}}{1.04}}+\left({\frac {1.06k^{1/2}}{1.04}}\right)^{2}+\left({\frac {1.07k^{1/2}}{1.04}}\right)^{3}$
	$\left({\frac {1.05k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-1}+\left({\frac {1.06k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-2}+\left({\frac {1.07k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-3}$
	${\frac {1}{1.04}}(1.05^{-1}k^{1/2}+1.06^{-2}k+1.07^{-3}k^{3/2})$
	$k^{1/2}\cdot {\frac {1.05}{1.04}}+k\cdot \left({\frac {1.05}{1.04}}\right)^{2}+k^{3/2}\cdot \left({\frac {1.05}{1.04}}\right)^{3}$
	${\frac {(1.05k^{1/2})(1-(1.05k^{1/2}/1.04)^{3})}{1.04-1.05k^{1/2}}}$