金融數學 FM/年金

學習目標

考生將能夠計算一系列非或然事件支付的現值、現時價值和累積價值。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：普通年金、預付年金、永續年金、按月支付或按年支付、等額年金、算術遞增/遞減年金、幾何遞增/遞減年金、年金期限。
• 對於以下每種型別的年金/現金流，給定足夠的資訊，即普通或預付、現值、未來價值、現時價值、利率、支付金額和年金期限，計算任何剩餘的專案。

• 等額年金，有限期限。
• 等額永續年金。
• 不等額年金/現金流。

• 算術級數，有限期限和永續年金。
• 幾何級數，有限期限和永續年金。
• 其他不等額年金/現金流。

幾何級數公式

回顧以下公式，這些公式對於推匯出不同型別年金的公式很有用。

• $a+ar+ar^{2}+\cdots {\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}},\quad |r|<1$;
• $\underbrace {a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}} _{n+1{\text{ terms }}}{\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\quad r\neq 1$.

等額年金

定義。 (年金) 一個 年金 是在 相等 的時間間隔內進行的一系列支付。

備註。

• 每個時間間隔的長度是任意的，但這裡通常是一年。
• 一個 年金 如果所有支付金額相等，則為等額年金，否則為不等額年金。

• 在本節中，我們將主要討論等額年金，稍後將討論一些特殊型別的不等額年金。

• 我們只討論具有非或然事件（或確定）支付的年金，但存在具有或然事件（或不確定）支付的年金。

例子。

• 一個基金在每年的 6 月 1 日 提供支付。

• 那麼，這是一個年金，因為支付的時間間隔都是一年 .
• （粗略）時間圖示

     ↓         ↓         ↓  
-----*---------*---------*----------
          1         2         3
|---------|---------|---------|
  1st yr    2nd yr     3rd yr

• 一個基金在第 $n$ 年的 結束 提供支付，如果 $n$ 是奇數。

• 那麼，這是一個年金，因為支付的時間間隔都是兩年。
• 時間圖示

     ↓             ↓  
-----*-------------*----------
     1      2      3     
|----|      |------|
1st yr       3rd yr

• 一個基金在第 $k$ 年的 開始 提供支付，如果 $k$ 是素數。

• 那麼，它 不是 年金，因為時間間隔不相等。例如，在第二年、第三年和第五年的開始支付，並且這裡的時間間隔是不同的。
• 時間圖示

     ↓     ↓           ↓   
-----*-----*-----*-----*-----*-----
     1     2     3     4     5
     |-----|-----|     |-----|
     2nd yr 3rd yr      5th yr

練習。

選擇所有年金（或年金）。

	一系列的付款，金額為 $k$，在第 $k$ 年的年末支付，其中 $k$ 是一個正整數。
	一系列每年年初支付 1 元的款項。
	一系列按月支付的款項。
	一系列按日支付的款項。
	如果 $m$ 是 2 或 3 的倍數，則在第 $m$ 年的年末進行一系列付款。

即期年金

定義。 (即期年金) 即期年金是指在 $n$ 個週期內 ( $n$ 是一個正整數)，在每個週期的 末尾 支付款項的年金。

備註。

• 支付金額為 1 的 $n$ 期即期年金的 現值 用 $a_{{\overline {n}}|}$ 表示 (${\overline {n}}|$ 讀作“角-n”)。

• 如果每個週期的 (有效) 利率為 $i$，那麼它也可以用 $a_{{\overline {n}}|i}$ 表示。對於其他類似的符號也是如此。

• 支付金額為 1 的 $n$ 期即期年金在 $n$ 時刻的 積累值 (或未來值) 用 $s_{{\overline {n}}|}$ 表示 (即在第 $n$ 個週期的末尾)。
• 即期年金被稱為“即期”是因為付款從第 第一 年的 末尾 開始，沒有延遲到以後的年份，而不是“從每年的開始，沒有延遲”。

時間圖示

     ↓     ↓           ↓
*----*-----*-----------*------
0    1     2    ...    n      t

命題。 (即期年金現值公式) $a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}$.

證明。

PV
v^n                  1
...
v^2         1    
v     1    
*-----*-----*---...--*
0     1     2   ...  n

從時間圖中，我們有 $a_{{\overline {n}}|i}=\underbrace {v+v^{2}+\dotsb +v^{n}} _{n{\text{ terms}}}={\frac {v(1-v^{n})}{1-v}}={\frac {(1-v^{n})/1+i}{i/1+i}}={\frac {1-v^{n}}{i}}$.

$\Box$

備註。

• 我們可以使用 BA II Plus 計算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 如果（年有效）利率是 $k\%$，則按 k I/Y。
• 由於每期付款金額根據定義為 1，所以按 1 PMT（一般來說，如果金額是 $m$，則按 m PMT）（按照慣例，現金流入（流出）應輸入正（負）值，我們將付款輸入為從年金所有者的角度來看的現金流入，因為所有者 接收 付款）。
• 如果年金持續 $n$ 年，則按 n N。
• 最後，按 CPT PV 計算現值，即 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值。得到負值，因為它表示為了換取輸入的現金流入，在現值中需要多少現金流出，根據定義，這與現金流入的現值相同。

• 或者，我們可以將負值輸入到 PMT（將付款視為現值的現金流出），然後 CPT PV 將產生正值（現值是現金流入）。
• 我們在計算現值之前可以按任意順序輸入數字。

• 我們也可以按 CPT FV 計算時間 $n$ 的未來值（得到負值，因為它表示未來值中需要的現金流出）。
• 類似地，給定有關其他事項的資訊，我們將相應地輸入數字並計算所需的事項。
• 按 2ND CE|C 2ND FV 清除計算器記憶體（輸入值的記憶體）。

• 對於時間 $n$ 的此年金的累積（或未來）值，我們有 $s_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)^{n}$，來自關係 $FV=PVa(n),\quad a(t)=(1+i)^{t}$（年金的現值用累積函式 $a(t)=(1+i)^{t}$ 累積）。

• 明確地說，從這個命題可以得出$s_{{\overline {n}}|}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$.

• 這個公式提供了一個記憶技巧：對於即期年金，現值$a_{{\overline {n}}|}={\frac {1-v^{n}}{\color {darkgreen}i}}$（分母中的“$i$"與“即期”中的“i”相匹配）。

例子。

• 一項年金在未來 10 年的每年末支付 1000 元。有效利率為 5%。
• 那麼，支付款項的現值為$1000a_{{\overline {10}}|0.05}\approx 7721.73$（透過按下 **5 I/Y 1000 PMT 10 N CPT PV**，得到負值，代表現金流出）。
• 如果利率改為 4%，現值約為 8110.90（透過按下 **4 I/Y CPT PV**，不清除記憶體）。
• 使支付款項現值為 4500 的有效利率約為 17.96%（透過按下 **4500 +|- PV CPT I/Y**，不清除記憶體，輸出的數字為“%”之前的數字，我們將負值輸入 **PV**，因為它代表現金流出）。
• 假設年金持續時間為$n$年（其他條件相同）。那麼，使支付款項現值為 4500 的$n$的最小值為 6（透過按下 **5 I/Y CPT N**，得到 5.22，不清除記憶體，這意味著最小值為 6，因為$n$是整數）。
• 假設年金在每年末支付$k$元，使支付款項的現值為 4500。那麼，$k\approx 582.77$（透過按下 **10 N CPT PMT**，不清除記憶體）。

練習。

（計算器練習）設$x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{6}$分別為有效利率為 1%、2%、...、6% 時支付款項的現值。計算$x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$（**提示**：你可以使用 BA II Plus 計算器的記憶體，即使用 **STO** 和 **RCL** 鍵（有關詳細資訊，請檢視計算器手冊））。

	50176.81
	42816.72
	4054.08

示例。 計算$i$，使得$a_{{\overline {10}}|i}=a_{{\overline {5}}|0.03}$.

解答:

• 使用 BA II Plus 並按下 **5 N 3 I/Y 1 PMT CPT PV**，$a_{{\overline {5}}|0.03}\approx 4.58$.
• 之後，按下 **10 N CPT I/Y**，不清除記憶體（以便 **PV** 中儲存的數字仍然是之前的答案），得到$i\approx 17.47\%$.

練習。

計算$n$的最小值，使得$a_{{\overline {n}}|0.05}\geq a_{{\overline {10}}|0.1}$.

	6
	7
	8
	9
	10

例. 證明$a_{{\overline {n}}|i}$是$i$的減函式，對於每個非負的$i$.

證明。

• 它是$i$的減函式，當且僅當${\frac {d}{di}}a_{{\overline {n}}|i}\leq 0$，對於每個非負的$i$.
• 由於$a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\dotsb +v^{n}$（在這裡使用這個形式比$a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}$更方便），

$${\begin{aligned}{\frac {d}{di}}a_{{\overline {n}}|i}&={\frac {d}{di}}((1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+\dotsb +(1+i)^{-n})\\&=-\underbrace {(1+i)^{-2}} _{\geq 0}-2\underbrace {(1+i)^{-3}} _{\geq 0}-\dotsb -n\underbrace {(1+i)^{-n-1}} _{\geq 0}\\&=-{\big (}\underbrace {(1+i)^{-2}+2(1+i)^{-3}+\dotsb +n(1+i)^{n-1}} _{\geq 0}{\big )}\\&\leq 0.\end{aligned}}$$

$\Box$

練習。

選擇所有關於 ${\frac {a_{{\overline {2n}}|i}}{a_{{\overline {n}}|i}}}$ 的正確表示式（包括 $i$ 和 $n$）($i\neq 0$）。

	$1+(1+i)^{-n}$
	$1-(1+i)^{-n}$
	$(1+i)^{-n}-1$
	$(1+i)^{-n}$
	$1-(1+i)^{n}$

即期年金

定義。 （即期年金）即期年金是指在每個期間的 開始 支付款項的年金，持續支付 $n$ 個期間（$n$ 是一個正整數）。

備註。

• 以 1 為支付金額的 $n$ 期即期年金的現值為 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}$。
• 以 1 為支付金額的 $n$ 期即期年金在 $n$ 時刻（即 結束 第 $n$ 年）的終值為 ${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}$。
• 即期年金的“即期”是指年金在開始時就應支付款項，因此款項在每年的開始支付。

時間圖示

↓    ↓     ↓           ↓
*----*-----*-----------*------
0    1     2    ...   n-1      t

命題。 （即期年金和遞延年金的現值之間的關係） ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$。

證明。

• 考慮以 1 為支付金額的遞延年金的時間圖

     1     1     1     1
*----*-----*-----*-----*------
0    1     2    ...    n   ... t

• 該年金的現值為 $a_{{\overline {n}}|i}$.
• 因此，該年金在 $t=1$ 的值為 $a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$.
• 然後，如果我們將 $t=1$ 看作現在（即 $t=0$）並改變時間標記，時間圖將變成

     1     1     1     1
*----*-----*-----*-----*------
-1   0     1    ...   n-1  ... t

• 我們可以觀察到，這對應於付款為 1 的預付年金的時間圖，並且其在 $t=0$（即現值）的值為 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$.
• 因此，${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$，因為這兩個表示式在相同的時間點（只是標籤不同）給出相同的一系列付款的值。

$\Box$

備註。

• 根據這個命題，可以得出 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=(1+i)a_{{\overline {n}}|}=(1+i)\cdot {\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1-v^{n}}{d}}$（$d$ 等價於 $i$）。

• 這個公式提供了一個記憶方法：對於預付年金，現值為 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{\color {darkgreen}d}}$（分母中的“$d$"與“due”中的“d”相對應）。

• 由於這種關係，我們可以使用 BA II Plus 計算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值，方法是先計算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值，然後除以 $1+i$，得到 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$。
• 或者，我們可以按 2ND PMT 2ND ENTER 將 BA II Plus 的計算模式改為 "BGN"（此時右上角會出現 "BGN" 符號），然後使用相同的鍵計算 $a_{{\overline {n}}|i}$，然後再計算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 警告：但是，我們應該按 2ND PMT 2ND SET 將計算模式改回預設的 "END"，以便計算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值，否則即使我們使用相同的鍵，計算出的值也會是 錯誤的。

• 因此，為了避免這種情況，最好使用第一種方法來計算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 類似地，由於時刻 $n$ 的未來值由 $FV=PVa(n),\quad a(t)=(1+i)^{t}$ 給出，所以我們有 ${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}={\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}(1+i)^{n}$。

例子。

• 某個基金在頭5年年末每年支付500元，然後在接下來5年（從第5年年末開始）年初每年支付2000元。
• 年有效利率為10%。
• 那麼，這些支付的現值為

$$500a_{{\overline {5}}|}+2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}v^{5}\approx 6174.99.$$

證明。

• 考慮時間圖

             2000
  500         500   2000        2000
---*----...----*------*----...----*-----*  
   1           5      6           9     10  t

• 對於 500 的付款，其現值為 $500a_{{\overline {5}}|}$.
• 對於 2000 的付款，其在 $t=5$ 的價值為 $2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}$.

• 因此，其現值（即在 $t=0$ 的價值）為 $2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}v^{5}$.

• 然後，使用 BA II Plus，按下 500 PMT 5 N 10 I/Y CPT PV，我們可以計算出 $500a_{{\overline {5}}|}\approx 1895.39$.
• 類似地，按下 2000 PMT CPT PV ÷ 1.1 = ÷ (1.1 y^x 5) = 得出 $2500a_{{\overline {5}}|}v^{5}\approx 4279.60$.
• 將這兩個數字加起來，就可以得到我們想要的結果。

$\Box$

練習。

1 為了使付款的現值不低於 7000，該基金至少需要延長多少年？假設該基金在每個額外年份的開始繼續支付 2000。

	1
	2
	3
	6
	7

2 計算年有效利率，使得付款的現值為 5000。

	4.18%
	18.83%
	21.89%
	25.18%
	30.26%

按 mthly 付款的年金

有時，年金不是按年支付的，可以比每年更頻繁或更不頻繁地支付。

為了計算這類年金的現值，我們可以簡單地更改計量週期，並計算該週期內與給定利率（或貼現率）（或利息力）等效的利率，以及新計量週期中年金的新期限。

使用新的期限和新的利率，我們可以透過應用之前討論的方法來計算這類年金的現值。

例子。

• 年利率為 12%。
• 那麼，等效的月利率為 $12(1.12^{1/12}-1)$。
• 由於 10 年中有 120 個月，因此 10 年期即付年金，每月支付 1 元的現值為 $a_{{\overline {120}}|12(1.12^{1/12}-1)}\approx 8.78$.

時間圖示

      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
----*-----------------------*------
    |-----------------------|
            12 %
    |-|   
12(1.12^{1/12}-1)

練習。

計算每兩年支付 1 元的年金的現值。

	2.67
	3.52
	3.60
	3.93
	4.86

例子。

• 一個基金提供每季度末支付 4000 元的款項 ，共計 36 個月。
• 每月貼現率為 4%。
• 計算這些付款的現值。

解答:

• 設 $i$ 為等效的季度利率。
• 那麼，$(1+i)^{4}=(1-0.04)^{-12}\Rightarrow i\approx 0.13028$.
• 此外，36 個月中有 9 個季度。
• 因此，現值為

$$4000a_{{\overline {9}}|0.13028}\approx 20505.21.$$

練習。

假設每月不變的利率為 0.02。計算現值。

	11104.02
	24649.58
	32617.60
	35114.08
	45330.70

連續支付年金

• 回顧一下利率的動機，"連續支付"本質上是"支付 $\infty$thly（符號濫用）"
• 如果年金在每個"無窮小"的時間間隔內支付 1，則支付在計量期內的現值將是無窮大，因為在任意計量期內有無窮多個這樣的時間間隔。
• 因此，說年金有 xxx 連續支付是不合理的。
• 相反，我們應該使用比率的概念來描述連續支付的行為。

例子。

• 一個 $n$ 年年金以每年 1 的（均勻且恆定）比率連續支付 。
• 假設年不變利率為 $\delta$（因此年利率為 $e^{\delta }-1$）。
• 這種年金的現值記為 ${\overline {a}}_{{\overline {n}}|}$，等於 $\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt={\frac {1-e^{-n\delta }}{\delta }}$.

證明。

• 現值為 $\underbrace {\int _{0}^{n}} _{\text{summing up}}\underbrace {a^{-1}(t)} _{\text{for PV}}\overbrace {(\underbrace {1} _{\text{rate}})\,\underbrace {dt} _{\text{`time'}}} ^{\text{`amount'}}$.
• 由於 $a^{-1}(t)=e^{-\delta t}$，我們得到了所需的積分。
• 此外，$\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt={\frac {-1}{\delta }}{\big [}e^{-\delta t}{\big ]}_{0}^{n}={\frac {-(e^{-n\delta }-1)}{\delta }}={\frac {1-e^{-n\delta }}{\delta }}$.
• 在積分中，我們可以解釋 $t$ 是以年為單位（因此下限是 $t=0$ （在第一年的開始），上限是 $t=n$ （在第 $n$ 年的末尾）。

$\Box$

練習。

選擇所有表示現值的表示式，如果支付率是 $k$ 每年的代替（$v={\frac {1}{1+i}}$，其中 $i$ 是與利息力 $\delta$ 等效的年利率）。

	$k\int _{0}^{k}v^{n}\,dt$
	$k\int _{0}^{n}v^{t}\,dt$
	$k\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt$
	$\int _{0}^{k}e^{-\delta t}\,dt$
	$\int _{0}^{n}e^{-k\delta t}\,dt$

備註。

• 對於 變數 利息力 $\delta _{t}$ （$t$ 是以年為單位），現值（支付率為 $k$）是 $\int _{0}^{n}k\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right)\,dt$，因為 $a^{-1}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right)$.
• 一般來說，現值（支付率為 $k$) 是 $\int _{0}^{n}ka^{-1}(t)\,dt$.

例子。

• 基金 A 以每年 100 的速度連續支付，利率為 $\delta _{t}=(1+t)^{-1}$.
• 基金 B 以每年 1200 的速度每月預付等額付款，年利率為 0.08。
• 兩支基金在第 10 年結束後停止支付。
• 計算 10 年後基金 A 和基金 B 的累計價值之差。

解答:

• 基金 A 10 年後的累計價值為

$$\int _{0}^{10}100\exp \left(\int _{0}^{t}(1+s)^{-1}\,ds\right)\,dt=\int _{0}^{10}100e^{\ln(1+t)}\,dt=\int _{0}^{10}100(1+t)\,dt=[50t^{2}+100t]_{0}^{10}=6000.$$

• 對於基金 B，等效於年利率的月利率為 $(e^{0.08})^{1/12}-1\approx 0.0067$.
• 此外，月付款為 $1200/12=100$（因為所有月付款都是相同的），10 年內有 120 個月付款。
• 因此，基金 B 10 年後的累計價值為

$$100{\ddot {s}}_{{\overline {120}}|0.0067}\approx 18200.17.$$

• 因此，差值約為 $18200.17-6000=12200.17$。

練習。

計算基金 A 和基金 B 所有付款的現值之差。

	2232.56
	7938.07
	7992.77
	8047.84
	12119.11

永續年金

定義。（永續年金）永續年金 是一個年金，其付款永遠持續。

備註。

• "永遠持續"意味著年金的期限是無限的，或者在數學上趨於無窮大。
• 即付永續年金 是一個即付年金，其付款永遠持續。
• 預付永續年金 是一個預付年金，其付款永遠持續。
• 付款為 1 的即付永續年金的現值表示為 $a_{{\overline {\infty }}|}$，等於 $\lim _{n\to \infty }a_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1}{i}}$（因為 $v^{n}\to 0$ 當 $n\to \infty$）。
• 永續年金現值的符號為${\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|}$，等於$\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d}}={\frac {1}{d}}$.

時間圖示

     ↓     ↓    ...     
*----*-----*------------------
0    1     2    ...           t

示例。 我們可以用另一種方式推匯出永續年金現值公式：$a_{{\overline {\infty }}|}=\lim _{n\to \infty }a_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}v^{j}{\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{j=1}^{\infty }v^{j}={\frac {v}{1-v}}={\frac {1/(1+i)}{i/(1+i)}}={\frac {1}{i}}$.

例子。

• 艾米以現值 1200 購買了一份永續年金。
• 假設年利率為 5%。
• 則年金支付額為$1200(0.05)=60$.

證明。

• 令$P$ 為年金支付額。
• 那麼，對於這個永續年金，我們有

$$Pa_{{\overline {\infty }}|}={\frac {P}{0.05}}=1200\Rightarrow P=1200(0.05)=60.$$

$\Box$

練習。

1 如果年金是永續年金，計算年金支付額。

	57
	57.14
	60
	63
	63.16

2 如果年利率上升，永續年金的年金支付額是否會高於 60？

	是。
	否。
	不確定。

3 如果永續年金在第$n$ 年結束時停止支付（$n$ 是一個正整數）（然後它就變成了即期年金），那麼年金支付額是否會高於 60？

	是。
	否。
	不確定。

• 對於每期支付 $m$ 次的永續年金，計算其現值的方法與計算每期支付 $m$ 次的年金相同，即調整計息週期並相應地計算新的利率。
• 此外，對於連續支付的永續年金，計算其現值的方法也相同，只不過我們要處理不當積分（積分的上限為$\infty$）。

非等額年金

• 通常，非等額年金的現值可以透過將每筆支付的現值加總來計算。
• 然而，這種方法可能需要大量時間，因此可能不是最有效的方法。
• 我們將討論幾種非等額年金的特殊情況，這些情況下的現值可以透過有效的方式計算。

算術遞增年金

• 對於一些年金，支付金額會以等差數列的方式變化（增加或減少）。
• 在本節中，我們將推匯出一個公式來計算這些年金的現值。

定理。 （等差遞增年金的現值）假設一個 $n$ 期即付年金的支付金額從 $P$ 開始，並在之後每期增加 $D$ 。 那麼，這些支付金額的現值為 $\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|i}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}$，其中 $i$ 為每期有效利率，共計 $n$ 期。

證明。

• 請看以下時間圖

                                 Row
                           D     1st
                     D     D     2nd
                     .     .
                     .     .
                     .     .
         D           D     D    n-1 th
   P     P           P     P    nth
---*-----*----...----*-----*
0  1     2    ...   n-1    n    t

• 對於第 $n$ 行的支付金額，其現值為 $Pa_{{\overline {n}}|i}$；
• 對於第 $n-1$ 行的支付金額，其現值為 $Da_{{\overline {n-1}}|i}v=Dv\cdot {\frac {1-v^{n-1}}{i}}$；
• ...
• 對於第 $n-j$ 行的支付金額，其現值為 $Da_{{\overline {n-j}}|i}v^{j}=Dv^{j}\cdot {\frac {1-v^{n-j}}{i}}$；
• 對於第 2 行的支付金額，其現值為 $Da_{{\overline {2}}|i}v^{n-2}=Dv^{n-2}\cdot {\frac {1-v^{2}}{i}}$；
• 對於第 1 行的支付金額，其現值為 $Da_{{\overline {1}}|i}v^{n-1}=Dv^{n-1}\cdot {\frac {1-v}{i}}$.
• 因此，所有支付金額的現值為

$${\begin{aligned}Pa_{{\overline {n}}|i}+\sum _{k=1}^{n-1}Dv^{k}\cdot {\frac {1-v^{n-k}}{i}}&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k}-v^{n})\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}\left(\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k})-(n-1)v^{n}\right)\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}{\bigg (}\underbrace {\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k})+v^{n}} _{=\sum _{k=1}^{\color {blue}n}v^{k}{\overset {\text{ def }}{=}}a_{{\overline {n}}|i}}-nv^{n}{\bigg )}\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}(a_{{\overline {n}}|i}-nv^{n})\\&=\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|i}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 使用 BA II Plus，按下 $P+{\frac {D}{i}}$ PMT $-{\frac {Dn}{i}}$ FV $n$ N $100i$ I/Y CPT PV。

• 尤其是，$-{\frac {Dn}{i}}$ 輸入到 FV 中，因為它可以被看作是時間為 $n$ 時的現金流出，或者說現金流入的負值（因為有因子 $v^{n}$），如果我們把 $P+{\frac {D}{i}}$ 視為現金流入。

• 如果 $D$ 為負數，則付款按算術序列遞減。
• 根據該定理，具有相同屬性（即僅年金期限變化）的算術遞增 永續年金 的現值是

$$\lim _{n\to \infty }\left(\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}\right)=\left(P+{\frac {D}{i}}\right)\cdot {\frac {1}{i}}={\frac {P}{i}}+{\frac {D}{i^{2}}}.$$

• 特別地，$\lim _{n\to \infty }nv^{n}=0$，可以透過洛必達法則證明。直觀地說，極限等於零，因為 $n\mapsto v^{n}$ 遞減速度“遠快於” $n\mapsto n$。

• 當 $P=D=1$ 時，即時年金被稱為 遞增年金，其現值用 $(Ia)_{{\overline {n}}|}$ 表示。

• 其在第 $n$ 期末的累積值為 $(Is)_{{\overline {n}}|}$，等於 $(Ia)_{{\overline {n}}|}(1+i)^{n}$。

• 當 $P=n$ 且 $D=-1$ 時，即時年金被稱為 遞減年金（付款從 $n$ 遞減到 1，公差為 1），其現值用 $(Da)_{{\overline {n}}|}$ 表示。

• 其在第 $n$ 期末的累積值為 $(Ds)_{{\overline {n}}|}$，等於 $(Da)_{{\overline {n}}|}(1+i)^{n}$。

• 對於到期年金和年金支付$m$thly，支付金額以算術級數變化，我們可以使用之前討論過的類似方法，以及這個定理，來計算它們的現值。

例子。

• 一個年金在第 1、2、3、4、5、6 和 7 年末分別支付 100、120、140、160、180、200、200。
• 年有效利率為10%。
• 考慮時間圖

   100   120   140   160   180   200|  200
----*-----*-----*-----*-----*-----*-|---*----
    1     2     3     4     5     6 |   7     t

• 對於前六次付款，它們以算術級數遞增，首項為 100，公差為 20，並且它們在年末支付。
• 因此，我們可以應用上述定理 ($P=100,D=20,n=6,{\text{ and }}i=0.1$) 來獲得它們的現值，大約為 629.21。
• 對於第七次付款，它的現值是 $200v_{0.1}^{7}\approx 102.63$.
• 因此，這七次付款的現值約為 731.84。

練習。

1 假設年金從第 6 年末開始，每年繼續支付 200。計算該年金的現值。

	11289.48
	11918.69
	19370.79
	20000
	20629.21

2 假設年金在第 8、9、10、11 和 12 年末分別支付 220、240、260、280、300。計算該年金的現值。

	1177.43
	1548.86
	1559.12
	1661.75
	1693.95

幾何遞增年金

• 由於年金現值表示式本質上是幾何級數，即使支付金額以幾何級數變化，表示式仍然是幾何級數，因此我們可以使用幾何級數公式來計算現值。
• 因此，一般來說，對於幾何遞增年金，我們使用“第一原理”來計算它們的現值，從某種意義上說，我們使用幾何級數公式來評估現值的展開形式。

例子。

• 一個年金在每年的年初支付，永續支付，從第一年的年初開始支付 100，然後每年增加 10%。
• 假設利率為 20%，每季度支付一次。
• 計算該年金的現值。

解答:

• 20% 的名義利率意味著季度有效利率為 5%。
• 因此，年有效利率為 $1.05^{4}-1\approx 21.551\%$.
• 考慮時間圖

100     100(1.1)  100(1.1)^2   100(1.1)^3
*---------*---------*------------*------
0         1         2            3

• 由此得出，該年金的現值為

$$100+100(1.1)(1.21551)^{-1}+100(1.1)^{2}(1.21551)^{-2}+\dotsb =100+100\cdot {\frac {1.1}{1.21551}}+100\cdot \left({\frac {1.1}{1.21551}}\right)^{2}+\dotsb ={\frac {100}{1-{\frac {1.1}{1.21551}}}}\approx 1052.33.$$

練習。

1 假設給定的利率是固定的，年金的支付金額每年增加 $x\%$ ($x$ 為正數)。計算 $x$ 的最大值，使得該年金的現值為有限值。

	20
	21.55
	120
	121.55
	對於每個正的 $x$，現值都是有限的。

2 假設年金只支付 10 年。計算該年金的現值。

	564.61
	578.92
	601.45
	623.90
	664.61