金融數學 FM/貸款

學習目標

考生將理解有關貸款的關鍵概念以及如何進行相關計算。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：本金、利息、貸款期限、未償還餘額、最後一次付款（尾款、氣球付款）、攤銷。
• 計算

• 給定以下四個中的任何四個，計算缺失的項：貸款期限、利率、還款金額、還款週期、本金。
• 在任何時間點的未償還餘額。
• 給定還款中的利息和本金償還金額。
• 當涉及再融資時，進行與上述類似的計算。

引言

本章將討論兩種償還貸款的方法，即攤銷法和償債基金法。特別是，對於這兩種方法中的每一種，我們將討論如何確定在任何時間點的未償還貸款餘額，以及借款人每次還款中利息和本金償還的金額。

攤銷法

定義。 (攤銷法)

• 對於攤銷法，借款人透過一系列定期付款償還貸款人。
• 每次還款首先用於支付在每次還款之前立即的未償還餘額所產生的利息，
• 在從每次還款中扣除利息金額後，每次還款中剩餘的金額作為本金償還用於減少貸款餘額（即借款人欠款的金額）。
• 還款用於將貸款餘額精確地降至零。

等額攤銷

在本小節中，借款人進行的還款系列是等額的，並且還款構成我們討論中的即期年金 。為了說明這一點，請考慮以下圖表。

借款人的視角

   L     R     R  ...  R  ...     R
   ↑     ↓     ↓       ↓          ↓
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

貸款人的視角

   L     R     R  ...  R  ...     R
   ↓     ↑     ↑       ↑          ↑  
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

其中

• ↑ 表示金額被接收，↓ 表示金額被支付；
• $L$ 是借款金額（即貸款金額）；
• $n$ 是還款次數；
• $R$ 是借款人支付的等額還款（從貸款人的角度來看是回報）。

• 令$B_{k}$ 為第 $k$ 次還款後（即第 $k$ 次還款之後）的未償還餘額（$B_{0}=L$，即初始餘額）。
• 令$i$ 為每次還款期間的有效利率。

命題。 (確定未償還餘額的遞迴方法（等額還款）) $B_{k+1}=(1+i)B_{k}-R$.

證明。

• 首先，$B_{k}$ 將從時間 $k$ 到 $k+1$ 累積到 $B_{k}(1+i)$。
• 在 $B_{k}$ 上應付的利息是 $iB_{k}$。
• 因此，在時間 $t=k+1$ 支付 $R$ 後，未償還餘額的減少量為 $R-iB_{k}$。
• 因此，時間 $k+1$ 的未償還餘額為 $B_{k}-(R-iB_{k})=B_{k}(1+i)-R$。

$\Box$

命題。 （貸款金額與還款額之間的基本關係）$L=Ra_{{\overline {n}}|i}$。

證明。

• 使用上述遞迴方法，$B_{1}=B_{0}(1+i)-R=L(1+i)-R$；
• $B_{2}=B_{1}(1+i)-R=L(1+i)^{2}-R(1+i)-R$;
• $B_{3}=L(1+i)^{3}-R(1+i)^{2}-R(1+i)-R$;
• ...
• $B_{n}=L(1+i)^{n}-R(1+i)^{n-1}-R(1+i)^{n-2}-\dotsb -R$.
• 由於$B_{n}=0$ 適用於攤銷法（根據定義，貸款餘額在最後會降至零），因此我們有

$${\begin{aligned}&&L(1+i)^{n}-R(1+i)^{n-1}-R(1+i)^{n-2}-\dotsb -R&=0\\&\Rightarrow &L(1+i)^{n}&=R(1+i)^{n-1}+R(1+i)^{n-2}+\dotsb +R\\&\Rightarrow &L(1+i)^{n}v^{n}&=R(1+i)^{n-1}v^{n}+R(1+i)^{n-2}v^{n}+\dotsb +Rv^{n}\\&\Rightarrow &L&=Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n}{\overset {\text{ def }}{=}}Ra_{{\overline {n}}|i}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 由於這種關係，我們可以透過按$-R$ PMT $n$ N $100i$ I/Y CPT PV 來計算 $L$.

• 特別是，$-R$ 是輸入的，因為付款是現金流出（這裡我們使用借款人的視角）。

命題。（確定未償餘額的預期方法（等額付款））$B_{k}=Ra_{{\overline {n-k}}|i}$.

證明。

• 從 $L$ 和 $R$ 之間基本關係的證明中，我們有

$${\begin{aligned}B_{k}&=L(1+i)^{k}-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&=(1+i)^{k}(Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n})-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&={\cancel {R(1+i)^{k-1}+R(1+i)^{k-2}+\dotsb +R(1+i)^{k-(k-1)}+R(1+i)^{k-k}}}+R(1+i)^{k-(k+1)}\dotsb +R(1+i)^{k-n}{\cancel {-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R}}\\&=R(1+i)^{-1}+R(1+i)^{-2}+\dotsb +R(1+i)^{-(n-k)}\\&=Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n-k}\\&=Ra_{{\overline {n-k}}|i}.\end{aligned}}$$.

$\Box$

命題。 （確定未償餘額（等額還款）的回顧法） $$B_{k}=L(1+i)^{k}-Rs_{{\overline {k}}|i}.$$

證明。

• 從 $L$ 和 $R$ 之間基本關係的證明中，我們有

$${\begin{aligned}B_{k}&=L(1+i)^{k}-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&=L(1+i)^{k}-(1+i)^{k}(Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{k})\\&=L(1+i)^{k}-Rs_{{\overline {k}}|i}.\end{aligned}}$$

$\Box$

• 確定未償餘額（以及不同還款中支付的本金和利息）的另一種方法是使用 BA II Plus。
• 步驟

1. 輸入 $-R$ 到 PMT 中（如果 $R$ 未知，則應先確定它）。
2. 輸入 $L$ 到 PV

• 我們也可以在提供足夠資訊的情況下計算 PMT 或 PV。

1. 按 2ND PV
2. 按起始付款期號（對於第 $k$ 次付款，按 $k$）並按 ENTER ↓。
3. 按結束付款期號（對於第 $k$ 次付款，按 $k$）並按 ENTER ↓（對於選擇正好一次付款，請按與起始付款期號相同的數字 ）。
4. 然後，將顯示選定付款後立即的未償還餘額（將顯示 BAL=...）。
5. 按 ↓，將顯示選定付款中支付的貸款（或“本金”）（將顯示 PRN=...）。
6. 按 ↓，將顯示選定付款中支付的利息（將顯示 INT=...）。

示例。

• 假設一筆 2000 的貸款由 15 年期的 $R$ 等額分期償還，分期付款在期末支付。
• 年利率為 10%，$R={\frac {2000}{a_{{\overline {15}}|0.1}}}\approx 262.95$.

練習。

計算年利率為 10%，每半年支付一次的 $R$。

	192.68
	262.95
	266.71
	804.23
	964.35

示例。

• 假設一筆 $L$ 的貸款由 20 個月的 $0.1L$ 等額分期償還，分期付款在期末支付。
• 計算年有效利率 $i$。

解決方案:

• 每月有效利率 $j$ 由 $L=0.1La_{{\overline {20}}|j}\Rightarrow a_{{\overline {20}}|j}=10\Rightarrow j\approx 7.75\%$（使用 BA II Plus）計算得出。
• 因此，年有效利率 $i=(1+j)^{12}-1\approx 145.04\%$。

練習。

如果還有 30 次這樣的月度分期付款，計算 $i$。

	190.93%
	217.56%
	274.23%
	290.93%
	317.56%

示例。

• 一筆 1000 的貸款由 12 年期的等額分期償還，分期付款在期末支付。
• 年利率為 8%。
• 然後，透過按 1000 PV 12 N 8 I/Y CPT PMT 2ND PV 5 ENTER ↓ 5 ENTER ↓，可以計算出第 5 年末的未償還餘額為 690.86，並將顯示未償還餘額。

練習。

計算第 8 年末的未償還餘額。

	42.38
	90.31
	341.97
	439.50
	529.81

練習。

一筆貸款由 10 年期的等額分期償還，分期付款在每年末支付。前 3 年，每年末支付 1000。餘下 7 年，每年末支付 2000。

1 選擇貸款金額的正確表示式。

	$1000a_{{\overline {10}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {3}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {10}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$3000a_{{\overline {10}}|}$
	$2000a_{{\overline {10}}|}-1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$

2 選擇第 3 年未償餘額的正確表示式。

	$1000s_{{\overline {3}}|}$
	$1000s_{{\overline {3}}|}+2000a_{{\overline {7}}|}$
	$2000a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	以上均不正確

3 選擇第 7 年未償餘額的正確表示式。

	$\left(1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {4}}|}\right)$
	$\left(1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {3}}|}\right)$
	$\left(1000a_{{\overline {10}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {3}}|}\right)$
	$1000a_{{\overline {3}}|}$
	以上均不正確

現在，我們考慮借款人每次償還的利息和本金金額。

命題. （將分期付款拆分為本金和利息償還（等額付款））設 $P_{k}$ 是第 $k$ 次分期付款中償還的本金（即借款人支付的第 $k$ 次付款），$I_{k}$ 是第 $k$ 次分期付款中支付的利息金額。（這個符號在 第 1 章 的上下文中具有不同的含義。）假設借款人支付的分期付款是等額的，並且每個分期付款都等於 $R$。那麼，$$P_{k}=Rv^{n-k+1},\quad I_{k}=R-P_{k}.$$

證明。

• 首先，根據定義，$R=P_{k}+I_{k}$，因為分期付款首先要扣除到期的利息（$I_{k}$），剩下的金額（$R-I_{k}$）用於償還本金。因此，$I_{k}=R-P_{k}$。
• 現在剩下要證明的是 $P_{k}$ 的公式。根據定義，$I_{k}=iB_{k-1}$，因為利息是根據未償還餘額（在第 $k$ 次分期付款之前）計算的。

$$P_{k}=R-I_{k}=R-iB_{k-1}=R-i\underbrace {Ra_{{\overline {n-k+1}}|}} _{\text{prospective}}=R\left({\cancel {1}}-{\cancel {i}}\left({\frac {{\cancel {1}}-v^{n-k+1}}{\cancel {i}}}\right)\right)=Rv^{n-k+1}$$

$\Box$

備註。

• 我們可以使用 BA II Plus 來確定 $P_{k}$ 和 $I_{k}$，這在之前已經討論過了。

在拆分每一期還款後，我們可以製作一個 攤銷表，以表格形式展示每一期還款的拆分。以下是一個 攤銷表 的例子

對一筆總額為 $a_{{\overline {n}}|}$ 的貸款，在 $n$ 期內，按利率 $i$ 的攤銷表

期數	還款	已付利息	已還本金	未償還貸款餘額
0	0	0	0	$a_{{\overline {n}}|}$（預期）
1	1	$i\underbrace {a_{{\overline {n}}|}} _{B_{0}}=\underbrace {1} _{R}-\underbrace {v^{n}} _{P_{1}}$	$\underbrace {v^{n}} _{1(v^{n-1+1})}$	$\underbrace {a_{{\overline {n}}|}} _{B_{0}}-\underbrace {v^{n}} _{P_{1}}=\underbrace {a_{{\overline {n-1}}|}} _{\text{prospective}}$
2	1	$ia_{{\overline {n-1}}|}=1-v^{n-1}$	$v^{n-1}$	$a_{{\overline {n-1}}|}-v^{n-1}=a_{{\overline {n-2}}|}$
...	...	...	...	...
$k$	1	$ia_{{\overline {n-k+1}}|}=1-v^{n-k+1}$	$v^{n-k+1}$	$a_{{\overline {n-k+1}}|}-v^{n-k+1}=a_{{\overline {n-k}}|}$
...	...	...	...	...
$n-1$	1	$ia_{{\overline {2}}|}=1-v^{2}$	$v^{2}$	$a_{{\overline {2}}|}-v^{2}=a_{{\overline {1}}|}$
$n$	1	$ia_{{\overline {1}}|}=1-v$	$v$	$a_{{\overline {1}}|}-v=0$
總計	$n$	$n-a_{{\overline {n}}|}$	$a_{{\overline {n}}|}$	不重要

(您可以使用此表驗證確定未償餘額的遞迴方法，例如 $a_{{\overline {n}}|}(1+i)-1={\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}-1=a_{{\overline {n-1}}|}$)

可以看出，總付款 ($n$) 等於支付的利息總額 ($n-a_{{\overline {n}}|}$) 加上償還的本金總額 ($a_{{\overline {n}}|}$)，並且每次付款都等於相應期間支付的利息加上償還的本金（水平閱讀），正如預期的那樣，因為付款要麼用於支付利息，要麼用於償還本金。

還可以看出，償還的本金總額等於貸款金額（即第 0 期的未償貸款餘額）($a_{{\overline {n}}|}$)，正如預期的那樣，因為整個貸款將在 $n$ 個期間的付款中償還。

示例。

• 一筆 1000 元的貸款透過七次年金付款償還，每次付款 $R$，並在期末支付。
• 年利率為 5%。
• 第三次付款中償還的本金約為 135.41（按 1000 PV 7 N 5 I/Y CPT PMT 2ND PV 3 ENTER ↓ 3 ENTER ↓ ↓）；
• 第三次至第六次付款中支付的利息約為 107.65（按 ↑ ↑ 6 ENTER ↓ ↓ ↓，從上面的按鍵順序繼續）。

練習。

一筆貸款正在透過一系列每月期末支付償還，持續 5 年，每次支付金額為 100 元。年利率為 10%。

1 選擇第二筆付款中償還的本金金額的正確表示式。

	$100(1.1)^{-4}$
	$100(1.1)^{-3}$
	$100(1.1)^{-59/12}$
	$100(1.1)^{-29/6}$
	以上均不正確

2 計算第三筆付款和此付款後的付款中償還的本金金額的總和。

	63.09
	124.68
	126.68
	4629.17
	4691.76

3 選擇第四年底未償餘額的正確表示式。

	$100a_{{\overline {13}}|1.1^{1/12}-1}$
	$100a_{{\overline {2}}|0.1}^{(12)}$
	$100a_{{\overline {1}}|1.1^{1/12}-1}^{(12)}$
	$100a_{{\overline {60}}|1.1^{1/12}-1}(1.1)^{4}-100s_{{\overline {48}}|1.1^{1/12}-1}$
	$100a_{{\overline {5}}|1.1}^{(12)}(1.1)^{48}-100s_{{\overline {4}}|1.1}^{(12)}$

非等額還款的攤銷

在本節中，我們將考慮非等額還款的攤銷。所涉及的思路和概念與等額還款的攤銷非常相似。 借款人 的視角

   L    R_1   R_2 ... R_k  ...   R_n
   ↑     ↓     ↓       ↓          ↓
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

貸款人的視角

   L    R_1   R_2 ... R_k  ...   R_n
   ↓     ↑     ↑       ↑          ↑  
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

其中 $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ 是非等額付款，在等額還款的攤銷中使用的其他相關符號具有相同的含義。

由於付款現在是非等額的，我們需要不同於等額還款攤銷的公式來確定不同時間的貸款金額和未償餘額，以及將付款分成利息支付和本金償還。它們列在下面。

命題。 (貸款金額與付款之間的關係 (非等額付款)) $$L=R_{1}v+R_{2}v^{2}+\cdots +R_{n}v^{n}.$$

證明。 省略，因為主要思路與等額還款版本的證明相同。

$\Box$

命題。 (確定未償餘額的預計方法 (非等額付款)) $$B_{k}=R_{k+1}v+R_{k+2}v^{2}+\cdots +R_{n}v^{n-k}.$$

證明。 省略，因為主要思路與等額還款版本的證明相同。

$\Box$

命題。 (確定未償餘額的回顧方法 (非等額付款)) $$B_{k}=L(1+i)^{k}-R_{1}(1+i)^{k-1}-R_{2}(1+i)^{k-2}-\cdots -R_{k}.$$

證明。 省略，因為主要思路與等額還款版本的證明相同。

$\Box$

命題。 (確定未償餘額的遞迴方法 (非等額付款)) $$B_{k}=B_{k-1}(1+i)-R_{k}.$$

證明。 省略，因為主要思路與等額還款版本的證明相同。

$\Box$

備註。 遞迴方法對於非等額付款比等額付款更有用。

命題。 (將分期付款分成本金和利息償還 (非等額付款)) $$I_{k}=iB_{k-1},\quad P_{k}=R_{k}-I_{k}.$$

證明。

• $I_{k}=iB_{k-1}$: 這直接來自於 $I_{k}$ 的定義。
• $P_{k}=R_{k}-I_{k}$: 這是從 $R_{k}=P_{k}+I_{k}$ 推匯出來的，根據定義，該公式是正確的。

$\Box$

練習。

貸款償還從第 1 年的 100 開始，每年遞增 100，直到支付 1000，之後不再支付。年有效利率為 5%。

1 選擇一個正確的表示式來表示第 4 年末的未償餘額。

	$400a_{{\overline {5}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$400a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {5}}|}$
	$500a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$400a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$500a_{{\overline {5}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$

2 選擇一個正確的表示式來表示第 7 年末的本金償還金額。

	$700-i(700a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {2}}|})$
	$700-i(700a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(700a_{{\overline {3}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(800a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(800a_{{\overline {3}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$

按不同於利息計息頻率的頻率支付的款項的攤銷

在這種情況下，我們可以透過計算等效利率（以與付款頻率相同的頻率可轉換）來獲得貸款金額、未償餘額以及付款中償還的本金和支付的利息。然後，可以使用先前公式在該等效利率下直接進行計算。此方法類似於在支付頻率不同於利息可轉換頻率的情況下計算年金的方法。

練習。

一筆貸款以每季度末支付 2000 元的等額付款方式償還，持續 10 年。半年有效利率為 5%。計算第三次付款中支付的利息。將您的答案保留兩位小數。

償債基金法

在討論攤銷法之後，我們討論另一種償還貸款的方式，即償債基金法。

定義。 （償債基金法）對於償債基金法，借款人將在到期日以單筆付款償還所有本金（即貸款金額）。本金應付利息將在每個期間結束時支付，並在每個期間結束時存入償債基金（每個時間點的存款金額相同），以便償債基金的累計價值在到期日等於本金金額。

借款人的視角

Loan repayment:
   L     Li    Li     ...         Li    L
   ↑     ↓     ↓                  ↓     ↓
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     i      i                        i       rate

Sinking fund:
         D     D      ...         D     D  L
         ↓     ↓                  ↓     ↓ ↗
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     j      j                        j       rate

貸款人的視角：（貸款人不知道借款人如何償還貸款，所以償債基金沒有顯示）

Loan repayment:
   L     Li    Li     ...         Li    L
   ↓     ↑     ↑                  ↑     ↑ 
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     i      i                        i       rate

其中

• $L$ 是借款金額
• $n$ 是付款期間數
• $i$ 是借款人向貸款人支付的有效利率
• $j$ 是償債基金的有效收益率（在實踐中通常嚴格小於 $i$）
• $D$ 是等額償債基金存款

令 $R$ 是借款人每個期間結束時支付的等額付款，等於 $D+$ 支付給貸款人的利息，即 $R=Li+D$。

根據償債基金法的定義，$L=Ds_{{\overline {n}}|j}$，因為償債基金的累計價值在到期日等於貸款金額。

利用這兩個方程，我們可以得到以下定理。

命題。 （償債基金法中借款人每次付款與貸款金額之間的關係） $$R=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\right).$$

證明。 因為 $L=Ds_{{\overline {n}}|j}\Rightarrow D={\frac {L}{s_{{\overline {n}}|j}}}$ $$R=Li+D=Li+{\frac {L}{s_{{\overline {n}}|j}}}=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\right).$$

$\Box$

回顧一下 ${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}$。我們可以觀察到，與等式右側類似的表示式出現在上面的等式中 ($i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}$)。鑑於此，我們定義 $${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}.$$（我們使用 '$i\&j$' 因為右側同時包含 $i$ 和 $j$。）那麼，如果貸款金額為 1，則借款人在每個期末支付的款項為 ${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}$。

Naturally, we would like to know what $a_{{\overline {n}}|i\&j}$ equals. We can determine this as follows: $${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}&=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\\&=\left({\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}-j\right)+i\qquad {\text{because }}{\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}={\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}+j\\&={\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}+(i-j)\\&={\frac {1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j}}{a_{{\overline {n}}|j}}}\\\Rightarrow a_{{\overline {n}}|i\&j}&={\frac {a_{{\overline {n}}|j}}{1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j}}}.\end{aligned}}$$ (The right hand side also involve $i$ and $j$, as expected, because the reciprocal of an expression involving $i$ and $j$ should also involve $i$ and $j$) In particular, if $i=j$, $a_{{\overline {n}}|i\&j}=a_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|j}$ as expected, and $$R=Li+D=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}\right)={\frac {L}{a_{{\overline {n}}|i}}}.$$ Therefore, each level payment made by borrower in the sinking fund method is the same as the levelpayment in the amortization method, because $L=Ra_{{\overline {n}}|i}$ in amortization method of level payment.

使用此符號，我們可以將 $R$ 和 $L$ 之間的關係表示如下：$$R={\frac {L}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}={\frac {L(1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j})}{a_{{\overline {n}}|j}}}$$

練習。

一位借款人以沉沒基金法借款 1000 元，期限為十年。貸款的年有效利率為 5%，沉沒基金的年有效利率為 3%。

1 選擇正確表示式以表示每年期末支付的金額。

	$1000\left(3\%+{\frac {1}{s_{{\overline {10}}|5\%}}}\right)$
	${\frac {1000}{a_{{\overline {10}}|3\%\&5\%}}}$
	$1000\left(5\%+{\frac {1}{a_{{\overline {10}}|5\%\&3\%}}}\right)$
	$1000(5\%)+{\frac {1000(3\%)}{1.03^{10}-1}}$
	$1000a_{{\overline {10}}|5\%\&3\%}$

如果我們假設 沉沒基金的餘額可以用來減少貸款金額，那麼在第$k$次還款後的貸款淨額為$$L-Ds_{{\overline {k}}|j},$$ 第$k$期支付的利息淨額為$$Li-j(Ds_{{\overline {k-1}}|j}),$$ 第$k$期償還的本金為$$Ds_{{\overline {k}}|j}-Ds_{{\overline {k-1}}|j}=D(1+j)^{k-1}.$$

練習。

TODO