金融數學 FM/債券

學習目標

考生將瞭解有關債券的關鍵概念，以及如何進行相關計算。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：價格、賬面價值、溢價攤銷、折價累積、贖回價值、票面價值/面值、收益率、息票、息票率、債券期限、可贖回/不可贖回。
• 給出以下列出的專案的部分資訊，計算任何剩餘的專案

• 價格、賬面價值、溢價攤銷、折價累積。（注意，不會涵蓋息票支付日期之間的債券估值）。
• 贖回價值、面值。
• 收益率。
• 息票、息票率。
• 債券期限、債券具有給定賬面價值、溢價攤銷或折價累積的時間點。

債券

債券。

債券是一種債務證券，發行人（通常是公司或公共機構）欠持有人債務，並有義務支付利息（息票）並在以後的日期償還本金。債券是償還借款本金以及在固定時間間隔內支付利息的正式合同。債券主要有兩種：累積債券（零息債券）和帶息票債券。累積債券是指發行人同意在以後的贖回日期支付面值，但以折扣價出售。
例如：20 年期 1000 美元面值的債券，名義年收益率為 3.5%，價格為 502.56 美元。
帶息票債券更常見，發行人會定期支付款項（息票）以及最終付款。
例如：10 年期 1000 美元票面價值的債券，息票率為 8%，每半年可轉換為一次，每 6 個月支付 40 美元的息票，然後在 10 年期結束時支付 1000 美元。

術語和變數命名約定

• $P$ 是債券的價格。債券的價格 P 是購買債券的貸款人（即購買者）支付給發行債券的政府或公司的金額。
• $A$ 是每單位名義的價格，即 $A:={\frac {P}{F}}$.
• $F$ 是債券的面值、面值、票面價值或名義價值，它是用於計算息票的金額，並印在債券正面。
• $C$ 是債券的贖回價值，是指在贖回日期支付給債券持有人的金額。
• $R$ 是每單位名義的贖回價值，即 $R:={\frac {C}{F}}$.

• 如果 $R=1$，該債券按面值贖回
• 如果 $R>1$，該債券按溢價贖回
• 如果 $R<1$，該債券按折價贖回

• $r$ 是息票率（或名義收益率），是指用於確定息票金額的每個息票支付週期的利率。
• $Fr$ 是息票金額
• $g$ 是修正息票利率，其定義為 $g:={\frac {Fr}{C}}$，即每單位贖回價值的息票利率，而不是每單位面值（這是 $r$ 的情況）。
• $i$ 是債券的收益率或到期收益率，即投資者獲得的利率（即有效利率），假設債券持有至贖回。
• $n$ 是從計算日期到贖回日期的息票支付期間數。
• $K$ 是現值，即在收益率下計算的債券在贖回日期的贖回價值的現值，即 $K=Cv^{n}$，其中 $v:={\frac {1}{1+i}}$（$i$ 是債券的收益率）。
• $G$ 是債券的基準金額，其定義為 $Gi:=Fr$，即以收益率 $i$ 投資的金額，其產生的定期利息支付等於債券每個息票的金額。

從現在開始，除非另有說明，債券的贖回價值（$C$）等於債券的面值（面值）（$F$）。這在 SOA FM 考試中也是如此。因此，我們有 $g:={\frac {Fr}{C}}={\frac {Fr}{F}}=r$，即修正息票利率除非另有說明，否則不會'修正'。

四個計算債券價格的公式

沒有稅收的情況

在本小節中，我們討論了在沒有稅收的情況下計算債券價格。我們將討論在存在某些稅收的情況下計算債券價格，即所得稅和資本利得稅。

無論我們使用以下四個公式中的哪一個，我們都會得到相同的價格，因為我們可以使用基本公式推匯出所有其他三個公式。公式的選擇主要取決於給定的資訊，我們選擇最方便使用的公式。

命題。 (基本公式) $$P=Fra_{{\overline {n}}|i}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}.$$

說明

 P   Fr  Fr  Fr  Fr  Fr  Fr C
 ↓   ↑   ↑   ↑   ↑   ↑   ↑↗ 
-|---|---|---|---|---|---|----
 0   1   2   3   4   5   6

證明。 由 事實 可知，債券價格被設定為等於未來票息的現值加上贖回價值的現值（即所有未來支付的現值），因此債券價格是一個“公平價格”。（我們將計算債券價格的時間視為 現在。）

$\Box$

備註。

• 這是直觀的，因為債券的價值（債券價格）應該取決於其票息和贖回價值，而我們考慮的是在計算債券價格時（即現在）的價值。
• 您可以觀察到，與用於確定貸款未償餘額的預期方法的公式相比，該公式具有類似的形式。

• 實際上，這是可以預期的，因為債券本質上是 買方 向 賣方 的貸款，而 $P$ 可以被視為給予賣方的貸款，$Fr$ 可以被視為賣方對貸款的償還，而 $C$ 可以被視為到期時的單筆付款。
• 您可以將此與償債基金方法進行比較。

命題。 (溢價/折價公式) $$P=C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}.$$

證明。 根據基本公式，$${\begin{aligned}P&=Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}\\&={\color {darkgreen}Fra_{{\overline {n}}|i}}+{\color {darkgreen}C}(1-{\color {darkgreen}ia_{{\overline {n}}|i}})\qquad {\text{by }}a_{{\overline {n}}|}={\frac {1-v^{n}}{i}}\Leftrightarrow v^{n}=1-ia_{{\overline {n}}|}\\&={\color {darkgreen}(\underbrace {Fr} _{=Cg}-Ci)a_{{\overline {n}}|i}}+C\qquad {\text{by }}g:={\frac {Fr}{C}}\Leftrightarrow Fr=Cg\\&=C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 該公式等價於 $P-C=C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$

• $P-C$ 是 *溢價*，如果 $P>C\Leftrightarrow P-C>0$
• $C-P=-(P-C)$ 是 *折價*，如果 $C>P\Leftrightarrow P-C<0$
• 溢價 和 折價 都是正數

• 另一種形式：（證明過程中的一個步驟）$P=C+(Fr-Ci)a_{{\overline {n}}|i}$

命題. （基準金額公式）$$P=G+(C-G)v^{n}.$$

證明. $${\begin{aligned}P&=\underbrace {Fr} _{G{\color {blue}i}}{\color {blue}a_{{\overline {n}}|i}}+Cv^{n}\\&={\color {darkgreen}G}(1{\color {darkgreen}-v^{n}})+{\color {darkgreen}Cv^{n}}\qquad {\text{by }}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}\Leftrightarrow {\color {blue}ia_{{\overline {n}}|i}}=1-v^{n}\\&=G+{\color {darkgreen}(C-G)v^{n}}\end{aligned}}$$

$\Box$

命題. （麥肯公式）$$P=K+{\frac {g}{i}}(C-K).$$

證明. $${\begin{aligned}P&=\underbrace {Fr} _{Cg}a_{{\overline {n}}|}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}\\&=Cg\left({\frac {1-v^{n}}{i}}\right)+K\\&={\frac {g}{i}}(C-\underbrace {Cv^{n}} _{K})+K\\&=K+{\frac {g}{i}}(C-K)\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 麥肯是 19 世紀英國的一位精算師。

在實踐中，股票通常以“百分比”報價。例如，我們以 80% 的價格購買一定數量的股票，贖回價為 100%（按面值），或 105%（高於面值）。有時，債券的面值未指定。在這種情況下，我們應該以百分比（不含百分號）或等效地以每 100 面值的價格表示答案，例如，價格百分比為 110 等於價格為每 100 面值 110。

示例。 （無息債券） 一張10 年期 零息債券 ($n=0$) 的價格 ($P$)，其面值為 1000 美元 ($F=1000$)，收益率 ($i$) 為 4%，半年期 計息（到期還本）為 $$P=\underbrace {C} _{=F}(1+4\%/2)^{-2\times 10}=(1000)(1.02)^{-20}\approx 672.971333$$

示例。 （附息債券） 一張 20 年期的債券，其面值為 5000 美元，票面利率為 8%，半年期計息，在 6% 的收益率下，半年期計息（到期還本）的價格為 $$P=Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=5000(8\%/2)(a_{{\overline {40}}|6\%/2})+5000(1.03)^{-40}=200\cdot {\frac {1-(1.03)^{-40}}{0.03}}+5000(1.03)^{-40}\approx 6155.738599$$ 或者，在計算器上按：2ND FV; 5000 FV; 200 PMT; 3 I/Y; 40 N; CPT PV
第一條指令清除財務計算器。第二條指令將 5000 作為未來值 (FV) 輸入。第三條指令將 200 作為息票支付 (PMT) 輸入。第四條指令將 3 作為利率 (I/Y) 輸入。最後一條指令計算 (CMPT) 現值 (PV)。

練習。

1 選擇所有正確的公式。

	$P-K=Fra_{{\overline {n}}|i}$
	$P-K=K(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$
	$A=ra_{{\overline {n}}|i}+Rv^{n}$
	$P=FR(1-(g-i)a_{{\overline {n}}|i})$
	$Fr=Cg=Gi$

2 選擇所有正確的陳述。假設收益率為正，債券到期還本。

	如果 $C>G$，那麼 $P>G$。
	如果 $P=C$，那麼債券沒有息票。
	如果 $C>P$，那麼債券沒有息票。
	如果債券沒有息票，那麼 $C>P$.
	${\frac {g}{i}}(C-K)>0$.
	給出 $P,F,r,n,i$ 中的任何四個，我們可以在 $P,A,F,C,R,r,g,n,K,G$ 中計算剩餘的未知變數。

存在所得稅和資本利得稅的情況

當存在所得稅時，計算債券價格 ($P$) 的四個公式以類似的方式略微修改。假設所得稅稅率為 $t_{1}$。根據定義，$Fr$ 被計入收入，而 $C$ 不 被計入收入（由於 $P$ 和 $C$ 之差導致的收益則由資本利得稅徵稅）。因此，在所得稅下，債券價格是用 $Fr$ 乘以 $1-t_{1}$ 計算的 ($t_{1}Fr$ 是每次息票支付的所得稅)。此外，我們考慮稅款支付的 現值 來計算 現行 債券價格。因此，在所得稅下，我們有以下修改後的公式

基本公式變為$$P=Fr(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}.$$ 保險費/折價公式變為$$P=\underbrace {Cg} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=C+C(g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})-i)a_{{\overline {n}}|i}.$$

• $P-C$ 如果 $P>C\Leftrightarrow g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})>i$ 則為保險費。
• $P-C$ 如果 $P<C\Leftrightarrow g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})<i$ 則為折價 (同時 存在資本利得）。

• 這提供了一種方便的方法來檢查是否存在資本利得，我們需要注意的是 $g$ 和 $i$ 的計算週期必須相同，以便進行公平有效的比較 (週期不一定是一年)。

基礎金額公式變為$$P=\underbrace {Gi} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})+Cv^{n}=G(1-{\color {darkgreen}t_{1}})+(C-G(1-{\color {darkgreen}t_{1}}))v^{n}.$$ Makeham 公式變為$$P=\underbrace {Cg} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=K+{\frac {g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})}{i}}(C-K)$$

另一方面，資本利得稅是對股票 (或其他資產) 的贖回價值與購買價格之間的差額徵收的稅款，當且僅當贖回價值嚴格低於贖回價值時。當存在資本利得稅時，假設稅率為 $t_{2}$，我們需要在贖回日 減去 購買價格的 現值，即 $t_{2}(C-P)$ (債券支付的資本利得稅的 現值）。

示例。 （債券應納所得稅，但不納資本利得稅）回想一下之前示例中的債券：20 年期債券，面值為 5000 美元，票面利率為 8%，半年付息一次，收益率為 6%，半年付息一次。假設現在所得稅率為 20%，資本利得稅率為 30%。

首先，我們確定債券是否應納資本利得稅。由於（假設債券到期時按面值贖回）$g(1-20\%)=r(0.8)=(8\%/2)(0.8)=0.032>0.03=i$ （我們將半年修正後的票面利率與半年收益率進行比較）。因此，此債券沒有資本利得，因此它不應納資本利得稅。

然後，考慮到所得稅，債券價格變為$$P=Fr(1-20\%)a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=5000(8\%/2)(0.8)(a_{{\overline {40}}|6\%/2})+5000(1.03)^{-40}\approx 5231.147720,$$ 這低於之前示例中的價格，正如預期的那樣（因為它在所得稅下“價值較低”）。

示例。 （債券應納所得稅和資本利得稅）考慮一隻 5 年期債券，贖回價值為$10000$，票面利率為$2\%$，按季度計息，收益率為$3\%$，按半年計息。假設所得稅率為 30%，資本利得稅率為 35%。

由於$g(1-30\%)=2\%(0.7)=0.014<(1.03)^{1/2}-1\approx 0.014889\approx i$，（將季度票面利率與季度收益率進行比較，並且我們只有季度票面利率）購買債券存在資本利得，因此應納資本利得稅。

然後，考慮到所得稅和資本利得稅，債券價格為$${\begin{aligned}&&P&=C+C(g(1-0.3)-i)a_{{\overline {n}}|i}{\color {darkgreen}-0.35(C-P)(1.03)^{-20}}\\&\Rightarrow &(1-0.35(1.03^{-20}))P&=10000+10000(0.02(0.7)-0.014889)\cdot {\frac {(1+0.014889)^{-20}-1}{0.014889}}-0.35(10000)(1.03)^{-20}\\&\Rightarrow &P&\approx 9810.476577\end{aligned}}$$ 如果沒有資本利得稅，那麼債券價格為$$P=10000+10000(0.02(1-0.3)-0.014889)\cdot {\frac {1-(1+0.014889)^{-20}}{0.014889}}\approx 9847.203661$$

練習。

選擇所有正確的陳述。

	當只有資本利得稅時，債券的價格必須嚴格低於沒有資本利得稅時的價格。
	當只有所得稅時，債券的價格必須嚴格低於沒有所得稅時的價格。
	當同時存在所得稅和資本利得稅時，債券的價格必須嚴格低於沒有這些稅時的價格。
	當同時存在所得稅和資本利得稅時，支付的債券價格的現值加上支付的稅款的現值等於沒有這些稅時的債券價格的現值。
	當 $P=C$ 時，債券不受資本利得稅的影響。

分期償還債券

定義。 （分期償還債券）分期償還債券是指透過分期付款的方式償還的債券，即在多個償還日期進行多次償還。

那麼，對於分期償還債券，我們有以下公式： $$F=F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{k}$$ 其中 $F_{i}$ 是在 $n_{i}$ 年後償還的票面金額，其他帶有下標 $i$ 的符號對應於該票面金額。同樣，根據定義， $$C_{j}=RF_{j},\quad C=RF=R\sum _{j}F_{j}=\sum _{j}C_{j},$$ 並且 $$K_{j}=C_{j}v^{n_{j}},\quad K=Cv^{n_{j}}=\sum _{j}C_{j}v^{n_{j}}.$$ 在這種情況下，Makeham 公式非常有用，可以簡化計算。以下將說明其用途。

當沒有稅收時， $$P_{j}=K_{j}+{\frac {g}{i}}(C_{j}-K_{j})\Leftrightarrow \sum _{j}P_{j}=\sum _{j}K_{j}+{\frac {g}{i}}\left(\sum _{j}(C_{j})-\sum _{j}(K_{j})\right)=K+{\frac {g}{i}}(C-K)=P.$$

例：（無稅的系列債券）考慮一個面值為$10000$ 的 10 年期系列債券，該債券可在第 2 年、第 4 年、第 6 年、第 8 年和第 10 年末以$110\%$ （即高於票面價值）贖回，分 5 次等額償還，年息票利率為$3\%$ 。一位既不繳納所得稅也不繳納資本利得稅的投資者以價格$P$ 購買了該系列債券，使他獲得的有效半年期收益率為$10\%$ 。計算$P$ 。

解： 我們將使用 Makeham 公式。根據給定的資訊，$${\begin{aligned}C&=10000(110\%)=11000\\K&=2000(1.1)(v^{2}+v^{4}+\cdots +v^{10})\qquad v{\text{ is computed at }}1.1^{2}-1=21\%\\&=2000(1.1)(1.21^{-2}+\cdots +1.21^{-10})\\&=2000(1.1)((1.21^{2})^{-1}+\cdots +(1.21^{2})^{-5})\\&=2000(1.1)(a_{{\overline {5}}|1.21^{2}-1})\\&=4035.733718\\g&={\frac {10000(0.03)}{C}}={\frac {300}{11000}}\approx 0.0272727\qquad {\text{(annual)}}\end{aligned}}$$ 因此，根據 Makeham 公式，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727}{0.21}}(11000-4035.733718)\approx 4940.182980.$$

令$P'$ 為系列債券在存在所得稅時的價格。當存在所得稅時，假設稅率為$t_{1}$ ，則$$P'_{j}=K_{j}+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}(C_{j}-K_{j})\Leftrightarrow \sum _{j}P'_{j}=\sum _{j}K_{j}+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}\left(\sum _{j}(C_{j})-\sum _{j}(K_{j})\right)=K+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}(C-K)=P'.$$

示例：（僅在所得稅下計算的系列債券）回顧前一個例子中的系列債券：面值為$10000$的10年期系列債券，可在$110\%$（溢價贖回）以5期等額分期償還，分別在第2、4、6、8和10年末償還，年票面利率為$3\%$。

現在，假設另一位投資者，其所得稅率僅為$15\%$，以$P$的價格購買了此係列債券，以使他獲得$10\%$的有效半年期收益率。計算$P$。

解答：根據前一個例子的結果，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727(1-0.15)}{0.21}}(11000-4035.733718)\approx 4804.515591$$

設 $P''$ 為存在利息和資本利得稅時的分期債券價格。如果債券以折價出售（並且有利息稅），即 $g(1-t_{1})<i$，則存在資本利得。假設 時間 $n_{j}$ 的資本利得為 $$C_{j}-\left({\frac {F_{j}}{F}}\right)P'',$$ ($F_{j}/F$ 是債券的比例，按名義價值計算，贖回對應於贖回價值 $C_{j}$)，因此資本利得稅的總現值（假設稅率為 $t_{2}$) 可支付為 $$\sum _{j=1}^{k}\left(t_{2}\left(\underbrace {RF_{j}} _{C_{j}}-{\frac {F_{j}}{F}}P''\right)v^{n_{j}}\right)=t_{2}\left(1-{\frac {P''}{FR}}\right)\sum _{j=1}^{k}RF_{j}v^{n_{j}}=t_{2}\left(1-{\frac {P''}{C}}\right)K=t_{2}\left(C-P''\right)v^{n},$$ 這與計算單次贖回普通債券的資本利得稅方式相同。

示例。（存在利息稅和資本利得稅的分期債券）回憶上例中的分期債券：一張面值 $10000$ 的 10 年期分期債券，以 $110\%$ （高於票面價值贖回）贖回，在第 2 年、第 4 年、第 6 年、第 8 年和第 10 年末分 5 次等額償還，年票面利率為 $3\%$。

現在，假設另一位投資者，其應繳所得稅為$15\%$，資本利得稅為$20\%$，以價格$P$ 購買了此係列債券，使得他獲得了$10\%$ 的有效半年期收益率。計算 $P$。

解答: 基於前例中的結果，由於$g(1-0.1)\approx 0.0245454<0.21=i$，投資者有資本利得，因此投資者應繳資本利得稅。所以，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727(1-0.15)}{0.21}}(11000-4035.733718)-(1-0.2)(11000-P)(1.21)^{-10}\Rightarrow P\approx 3456.373106.$$

練習。

選擇所有正確的陳述。

	在沒有稅收的情況下，具有多個分期付款的零息系列債券必須具有比具有相同$F$，並在比系列債券所有贖回日期都晚的日期單次贖回的債券更低的$P$。
	假設一個期限為 10 年的系列債券，以 10 個相等的金額$k$ 的分期付款贖回，價格為$P$。那麼，對於 10 個期限為 1 年，以金額$k$ 的單次分期付款在債券期限結束時贖回的 1 年期債券，逐個購買，總共持續 10 年，其價格的現值之和也為$P$。
	系列債券的多次贖回金額相同。
	系列債券的多次贖回以規則的間隔進行。
	系列債券的多次贖回的現值不同。

賬面價值

從上一節中，我們可以看到債券的$P$ 通常與$C$ 不同。這意味著債券的價值在債券期限內從購買價格調整到債券的贖回價值。

這種調整的原因是存在息票支付，以及由利率變化引起的價值變化。在上一節中，我們已經確定了債券的初始值 ($P$) 和債券的最終值 ($C$)。在本節中，我們還將確定開始和結束之間的價值，該值由息票支付和利率調整，我們將這些調整後的 值稱為賬面價值。

定義。 （賬面價值）債券在時間 $k$ 的賬面價值是指該債券在時間 $k$ 的價值，經由利息支付和利率調整後的價值。

備註。

• 在這本書中，我們將主要討論債券在付息日時的賬面價值，而不會過多討論付息日 之間 的賬面價值。
• 這類似於貸款的未償餘額（它會因償還本金和利率而進行調整）。

由於賬面價值衡量的是債券的 價值，因此我們使用類似於基本公式（該公式衡量債券的價值，以確定公允價格）的公式來計算它，如下所示。

命題。 （賬面價值的基本公式）在時間 $k$ 的賬面價值（其中 $k$ 是一個非負整數）為 $$B_{k}=Fra_{\overline {n-k|}}+Cv^{n-k},$$ 假設未來還有 $n-k$ 次利息支付。

證明。 這是由於在時間 $k$ 的賬面價值衡量的是在時間 $k$ 的調整後的價值。

$\Box$

備註。

• 此公式也類似於計算貸款未償餘額的預期方法公式。
• 從該公式可以看出，在時間 $0$ 的賬面價值即為債券的購買價格（當 $k=0$ 時，該公式變為 $Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}$，這與基本公式相同。

然後，我們可以使用該基本公式得到計算賬面價值的以下遞迴公式。

命題。 （賬面價值的遞迴公式）在時間 $k$ 的賬面價值（其中 $k$ 是一個非負整數）由以下公式計算：$$B_{k+1}=B_{k}(1+i)-Fr.$$

證明。 首先，我們斷言 $$a_{{\overline {n-k}}|}=v+va_{{\overline {n-k-1}}|},$$ 這是正確的，因為 $$a_{{\overline {n-k}}|}={\frac {1-v^{n-k}}{i}}={\frac {1-v+v-v^{n-k}}{i}}={\frac {(1{\cancel {+i}}-1)/(1+i)}{\cancel {i}}}+v\cdot {\frac {1-v^{n-k-1}}{i}}=v+va_{{\overline {n-k-1}}|}.$$ 然後，$${\begin{aligned}&&B_{k}&=Fra_{\overline {n-k}}+Cv^{n-k}\\&&&=Fr(v+va_{{\overline {n-k-1}}|})+Cv^{n-k}\\&&&=v(Fr+\underbrace {Fra_{{\overline {n-(k+1}}|}+Cv^{n-(k+1)}} _{=B_{k+1}})\\&\Leftrightarrow &B_{k}(1+i)&=Fr+B_{k+1}\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 由此可知 $\Delta B_{k}:=B_{k+1}-B_{k}=iB_{k}-Fr$
• (術語) 如果 $\Delta B_{k}>0\Leftrightarrow B_{k+1}>B_{k}$，那麼存在 遞增 或 折現積累 （回顧一下 $C-P$ 如果 $P<C$ 是折現）

• 實際上，當且僅當 $P<C$ 時，存在折現積累

• (術語) 如果 $\Delta B_{k}<0\Leftrightarrow B_{k+1}<B_{k}$，那麼存在 攤銷 或 溢價累積（回顧一下，如果 $P-C$ 為正數，則為溢價）。

• 實際上，當且僅當 $P>C$ 時，才會出現溢價累積。

示例。 考慮一個債券，其引數為 $P=1000,F=1500,C=908.65,r=5\%,i=3\%$。 由於 $B_{0}=P=1000,B_{1}=B_{0}(1+i)-Fr=1000(1.03)-1500(0.05)=955,B_{2}=955(1.03)-1500(0.05)=908.65=C$，我們知道 $n=2$。 此外，由於 $\Delta B_{1}<0$ 和 $\Delta B_{2}<0$，在 $1$ 時刻和 $2$ 時刻存在攤銷，或者說是溢價累積。

或者，我們可以使用基本公式來確定$n$: $${\begin{aligned}&&1000&=P=B_{0}=1500(0.05)a_{{\overline {n}}|}+908.65(1.03)^{-n}\\&\Rightarrow &1000&=75(1-1.03^{-n})/0.03+908.65(1.03)^{-n}\\&\Rightarrow &1591.35(1.03)^{-n}&=1500\\&\Rightarrow &-n&={\frac {\ln(1500/1591.35)}{\ln 1.03}}\\&\Rightarrow &n&=2.\end{aligned}}$$

練習。

選擇所有正確的陳述。假設利率為正數。

	$B_{n}$是$n$年期債券在第$n$年結束時的一次性贖回是$C$.
	如果有折現累積，那麼$\Delta B_{k}<0$.
	如果債券沒有息票，則必須有溢價累積。

債券攤銷表

由於債券的性質與貸款非常相似，我們可以構建一個債券攤銷表，它類似於貸款攤銷表.

回想一下，在貸款攤銷表中，各列對應於支付（或分期付款）、支付的利息、償還的本金以及未償還的餘額。因此，為了構建類似的攤銷表，我們需要確定債券中哪些術語對應於這些術語。

• 對於未償還的餘額，我們已經提到債券的對應術語是賬面價值 ($B_{k}$)
• 對於分期付款，我們已經提到債券的對應術語是息票支付 ($Fr$)
• 對於償還的本金，類似的術語是$\Delta B_{k}:=B_{k+1}-B_{k}$，但由於我們正在構建攤銷表，因此賬面價值預計會下降（溢價債券），因此$\Delta B_{k}<0$，並且我們通常不想處理負號，因此我們定義了一個替代術語，如下所示

定義。 （本金調整）本金調整 是在息票支付期結束時發生的賬面價值的減少（或攤銷）。也就是說，在第$k$個息票支付期結束時，本金調整，記為 $P_{k}$，是$$P_{k}=B_{k-1}-B_{k}=-\Delta B_{k-1}.$$

然後，對於支付的利息，我們可以用類似於貸款中計算利息的方式來確定（將前一個期末的未償餘額乘以利率），即用前一個期末的賬面價值乘以利率，即

命題。 （支付的賬面價值利息）在第$k$個期初支付的賬面價值利息是$$I_{k}=iB_{k-1}.$$

證明。 由利息的定義得出。

$\Box$

然後，我們有一個類似的公式，將$P_{k}$ 和$I_{k}$ 聯絡起來，與貸款情況相比。

命題。 （本金調整加支付利息等於息票）第 $k$ 個息票（$k$ 是一個使得第 $k$ 個息票存在的數字）是 $$k{\text{th coupon}}=P_{k}+I_{k}.$$

證明。 由於根據賬面價值的遞迴公式，$P_{k}=-\Delta B_{k-1}=Fr-iB_{k-1}$，並且$I_{k}=iB_{k-1}$，$$P_{k}+I_{k}=Fr{\cancel {-iB_{k-1}+iB_{k-1}}}=Fr=k{\text{th coupon}},$$ 因為每個息票的金額都相同，為$Fr$.

$\Box$

現在，我們開始構建攤銷表。

為了提高攤銷表的使用效率，我們希望確定不同時期賬面價值、本金調整等的公式。

為此，我們從$B_{0}$ 開始。回顧賬面價值的基本公式。由於它與債券價格的基本公式形式相同，因此我們有一個類似的溢價/折價公式用於賬面價值，如下所示

命題。 （賬面價值的溢價/折價公式）時間為$k$ 時的賬面價值，其中$k$ 是一個非負整數，為$$B_{k}=C+C(g-i)a_{{\overline {n-k}}|i}$$

證明。 證明與債券價格的溢價/折價公式的證明相同，只是$n$ 被替換為 $n-k$。

$\Box$

根據定義，息票支付額為 $Cg=Fr$。

然後，使用這些，我們可以確定 $I_{k}$ 和 $P_{k}$ 如下

推論。 （確定每個息票的利息支付和本金調整）在第$k$ 個息票支付的利息，用 $I_{k}$ 表示，為$$iB_{k-1}=i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right),$$，而第$k$ 個息票的本金調整（或累積的溢價/折價金額（取決於債券是溢價債券還是折價債券））用 $P_{k}$ 表示，為$$C(g-i)v^{n-k+1}.$$

證明。 對於$I_{k}$ 的公式，根據關於$I_{k}$ 公式和賬面價值的溢價/折價公式的命題，我們有 $$I_{k}=iB_{k-1}=i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right).$$

對於公式 $P_{k}$，根據 $P_{k}$ 和 $I_{k}$ 之間關係的命題，我們有 $${\begin{aligned}P_{k}&={\text{coupon}}-I_{k}=Cg-i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right)\\&=Cg-Ci-Ci(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\\&=(g-i)\left(C-Cia_{{\overline {n-k+1}}|i}\right)\\&=(g-i)\left(C-C{\cancel {i}}\cdot {\frac {1-v^{n-k+1}}{\cancel {i}}}\right)\\&=C(g-i)\left(1-(1-v^{n-k+1})\right)\\&=C(g-i)v^{n-k+1}.\end{aligned}}$$

$\Box$

之後，我們可以構建如下攤銷表

債券攤銷表

$k$	利息	$I_{k}=iB_{k-1}$	$P_{k}={\text{coupon}}-I_{k}$	$B_{k}$
$0$	N/A	N/A	N/A	$C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$
$1$	$Cg$	$iB_{0}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {n}}|i}$	$Cg-I_{1}=C(g-i)v^{n}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-1}}|i}$
$2$	$Cg$	$iB_{1}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {n-1}}|i}$	$Cg-I_{2}=C(g-i)v^{n-1}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-2}}|i}$
$\vdots$
$m$	$Cg$	$i{B}_{}$	$Cg-I_{m}=C(g-i)v^{n-m+1}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-m}}|i}$
$\vdots$
$n-1$	$Cg$	$iB_{n-1}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {2}}|i}$	$Cg-I_{n-1}=C(g-i)v^{2}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {1}}|i}$
$n$	$Cg$	$iB_{n}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {1}}|i}$	$Cg-I_{n}=C(g-i)v$	$C+\underbrace {C(g-i)a_{{\overline {0}}|i}} _{0}$
總計	$nCg$	${\text{total coupon}}-{\text{total principal adjustment}}=nCg-C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$	$C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$

備註。

• 我們可以看到，當債券以溢價購買（即 $P>C\Rightarrow C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}>0$），賬面價值將逐漸下降，因為每個本金調整都是正的，即賬面價值在一個時期到另一個時期之間會下降（攤銷）
• 我們可以看到，當債券以折價購買（即 $P<C\Rightarrow C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}<0$），賬面價值將逐漸上升，因為每個本金調整都是負的，即賬面價值在一個時期到另一個時期之間會增加

例如。 考慮一個期限為 5 年的債券，票面利率為 $3\%$ 半年付，面值為 $F=150$。它以溢價購買，收益率為 $10\%$，按半年複利計算。假設 $C=100$。計算第 1、2 和 3 個半年期的本金調整總和，即 $P_{1}+P_{2}+P_{3}$。因此，使用 $P_{1},P_{2},P_{3}$ 計算第 3 個半年期的賬面價值。

解決方案: 有效的半年期收益率 $i=5\%$. 此外，5 年 $\Rightarrow$ 10 個半年期票息，每個半年期票息為 $Fr=Cg=150(0.03)=4.5\Rightarrow g=4.5/100=0.045$. 因此，$${\begin{aligned}P_{1}+P_{2}+P_{3}&=100(0.045-0.05)(1.05)^{-10}+100(0.045-0.05)(1.05)^{-9}+100(0.045-0.05)(1.05)^{-8}&\approx -0.96768.\end{aligned}}$$ 因此，$$B_{3}=B_{0}-P_{1}-P_{2}-P_{3}\approx 100+100(0.045-0.05)a_{{\overline {10}}|0.05}-(-0.96768)\approx 97.10681.$$

示例.（使用間接資訊進行債券攤銷）考慮一隻期限為 10 年、每年付息的債券。它以溢價買入，以每年 $10\%$ 的收益率計息。已知 溢價累積（即攤銷金額）在 最後 一個票息為 $10$. 計算從第 2 年到第 9 年的溢價累積，即 $P_{2}+\cdots +P_{9}$.

解決方案: 共有 10 個票息。由於最後一個（即第 10 個）票息的攤銷金額為 $10$，$$C(g-i)v_{0.1}=10\Rightarrow C(g-i)=10(1.1)=11$$。計算從第 1 年到第 10 年的總溢價累積，然後減去不需要的溢價累積更方便：$$P_{2}+\cdots +P_{9}=P_{1}+\cdots +P_{10}-P_{1}-P_{10}=C(g-i)a_{{\overline {10}}|0.1}-C(g-i)v_{0.1}^{10}-10=11a_{{\overline {10}}|0.1}-11(1.1)^{-10}-10\approx 53.349264.$$

練習。

選擇所有正確的陳述。假設利率為正。

	在每次支付票息的時間，該票息支付的利息加上該票息調整後的本金等於該票息的金額
	如果 $P_{k}>0$ 對於每次支付票息的時間 $k$，則存在溢價累積。
	如果債券票息的支付時間點越靠後，則該票息的本金調整額越小。

可選主題：直線法

我們將介紹一種非常簡單的債券攤銷方法：直線法。在這種方法中（假設有$n$次利息支付），每次利息支付的本金調整是恆定的，即${\frac {P-C}{n}}$，對於溢價債券（$P>C$的債券）為正，對於折價債券（$P<C$的債券）為負。每次利息支付的利息也是恆定的，即$Fr-{\frac {P-C}{n}}$。因此，實質上，債券的賬面價值在這種方法中呈直線變化（折價債券向上傾斜，溢價債券向下傾斜），因此被稱為“直線法”。

示例：考慮一隻期限為8年的債券，$P=1000,C=1300$，$g=10\%$。這是一隻折價債券，使用直線法，每次利息支付的本金調整為${\frac {1000-1300}{8}}=-37.5$，每次利息支付的利息為$1300(0.1)-(-37.5)=167.5$。

備註。

• 這種方法對本金調整和利息支付給出了一個非常粗略的數字，得到的數字往往沒有意義，因此很少使用。

選修內容：利息支付之間的賬面價值

國庫券以美元價格報價，價格單位為${\frac {1}{32}}$的$1\%$面值，面值取為100。

示例：

• $94{\text{-}}16$的報價意味著價格為$94$和${\frac {16}{32}}$，即$94.5$

• 當引號後出現“$+$”符號時，就會新增半個單位，即 ${\frac {1}{64}}$，例如 $94{\text{-}}16+$ 表示價格為 $94$ 和 ${\frac {33}{64}}$，即 $94.515625$

備註。 使用這種引號方式，可以節省空間。

投資者可以在兩次付息之間購買國債。 由於時間位於兩次付息之間，我們不能使用之前提到的方法來確定購買價格，我們還沒有討論在這種情況下如何計算價格。 處理這種情況有不同的方法，我們將討論國債的處理方法。

對於國債，投資者需要補償債券賣方從上次付息時間到債券結算日期（即交易完成的日期）所獲得的利息，這部分金額稱為應計利息，計算方法為 $${\text{coupon}}\cdot {\frac {\text{no. of days from last coupon payment to settlement date}}{\text{no. of days in coupon period}}}.$$ 因此，債券買方支付給賣方的總金額等於買賣雙方商定的價格（可能是之前確定的“公平價格”，也可能不是）加上應計利息。

示例。 假設國債的付息週期為每年一次，每次付息金額為$100$。假設每年有 360 天，每個月有 30 天，如果買方以 $2000$ 的價格從賣方手中購買債券，結算日期為 3 月 1 日，那麼買方需要支付的總價格為 $$2000+100\cdot {\frac {2\cdot 30}{360}}\approx 2016.667.$$

可贖回債券

定義。 （可贖回債券）可贖回 債券是指借款人（或發行人）有權在到期日之前贖回的債券。

備註。

• 當借款人在到期日之前贖回債券時，我們說借款人贖回了債券，因此被稱為“可贖回債券”。
• “贖回”在其他一些情況下也有類似的含義，例如銀行“贖回”貸款。

可贖回債券的說明

     possible redemption dates
           |-----^----|
-|---------|----------|----
 0         t          n

由於這種債券的可贖回性質，債券期限不確定。 因此，計算價格、收益率等存在問題。

為了解決這個問題，我們假設對投資者最不利的最壞情況。 也就是說，借款人將選擇對投資者最不利的選擇，如下所示

• 如果所有贖回日期的贖回價值（$C$）相等，那麼如果$i<g\Leftrightarrow P>C$，則假設贖回日期將是最早可能的日期，否則（即 $i>g\Leftrightarrow P<C$），假設贖回日期將是最晚可能的日期。

• 這是因為如果 $i<g\Leftrightarrow P>C$，債券以溢價購買，因此贖回時會有 損失，所以對投資者來說最不利的狀況是 損失 發生在 最早 的時間
• 如果 $i>g\Leftrightarrow P<C$，債券以折價購買，因此贖回時會有 收益，所以對投資者來說最不利的狀況是 收益 發生在 最晚 的時間

• 如果所有贖回日期（包括到期日）的贖回價值 ($C$) 不相同，那麼我們需要計算不同可能的贖回日期的債券價格，以檢查哪個是 最低 的，因此對投資者來說是最 不利的

特別是，可贖回債券的贖回價值通常會隨著債券期限的 延長 而 降低，即贖回時間越晚，贖回價值越低，如果債券沒有被贖回，則債券將以贖回價值贖回。我們對贖回價值（透過回購）和麵值之間的差額有一個特殊的名稱

定義。 （回購溢價）回購溢價 是回購債券時贖回價值超過面值的差額。

示例。 （可贖回溢價債券）投資者以 $100$ 面值購買了 5 年期債券，年息票利率為 $5\%$，債券價格為 $P$。該債券可在第 3 年末到第 5 年末的任何息票支付日以 $90$ （等於其贖回價值）贖回。假設年利率為 $10\%$，計算 $P$。

解： 由於 $g={\frac {100(0.05)}{90}}\approx 0.05555<i=0.1$，該債券為折價債券，因此我們假設贖回日期將是 最晚 可能的日期，即第 5 年末。

所以，$$P=Fra_{{\overline {5}}|0.1}+Cv_{0.1}^{5}=5a_{{\overline {5}}|0.1}+90(1.1)^{-5}\approx 74.836849.$$

備註。 如果贖回日期是 最早 可能的日期，即第 3 年末，那麼 $$P=5a_{{\overline {3}}|0.1}+90(1.1)^{-3}\approx 80.05259.$$

示例。 （可贖回貼現債券，可贖回溢價）投資者購買面值為$1000$ 的10年期債券，$10\%$ 的半年付息率，債券價格為$P$。該債券可在第10次付息日至第15次付息日的任何付息日以$1100$ 的價格贖回，並在第16次付息日至第20次付息日的任何付息日以$1050$ 的價格贖回。已知年利率為$10.25\%$，計算$P$。

解決方案： 半年利率為$i=1.1025^{1/2}-1=0.05$。由於不同贖回日期的贖回價值不同，我們需要計算不同贖回日期的債券價格，以確定哪個價格最低。

當$10\leq n\leq 15$（$n$ 表示第$n$ 次付息日），債券價格為$$P=1100+1100(1000(0.1)/1100-0.05)a_{{\overline {n}}|0.05}=1100+45a_{{\overline {n}}|0.05}$$，根據溢價/折價公式。當$16\leq n\leq 20$，$$P=1050+1050(1000(0.1)/1050-0.05)a_{{\overline {n}}|0.05}=1050+47.5a_{{\overline {n}}|0.05}$$，根據溢價/折價公式。

由於 $n$ 越大，$a_{{\overline {2n}}|0.05}$ 的值越大，當 $10\leq n\leq 15$ 時，價格在 $n=10$ 時為 最低；當 $16\leq n\leq 20$ 時，價格在 $n=16$ 時為 最低。

接下來需要比較這兩個價格，以確定當 $10\leq n\leq 20$ 時，哪個價格最低。

• 當 $n=10$ 時，$P=1100+45a_{{\overline {10}}|0.05}\approx 1447.478$
• 當 $n=16$ 時，$P=1050+47.5a_{{\overline {16}}|0.05}\approx 1564.794$

因此，最低價格出現在 $n=10$ 時，為 $1447.478$。

練習。

1 計算 $P$ 當 $n=20$ 時。

	$1610.80$
	$1624.05$
	$1641.95$
	$1660.80$
	$1691.95$

2 假設半年期利率現在是 $20\%$。計算 $P$（當 $n$ 是一個合適的值時）。

	$465.65$
	$514.35$
	$538.94$
	$564.35$
	$638.94$

可選主題

可選主題：實際回報率

通貨膨脹可以用一個代表某些商品和服務成本的 指數 來衡量。常見的指數之一是消費者價格指數 (CPI)。

實際 回報率，與 內部回報率 或者收益率相比，考慮了由 CPI 或其他合適的指數衡量的 貨幣價值 的變化。

如果我們令 $i$ 為內部收益率，$r$ 為實際收益率，$j$ 為恆定的通貨膨脹率，那麼我們有 $$(1+i)=(1+r)(1+j)$$ 令 $j$ 為從 $A$ 年到 $B$ 年的通貨膨脹率。那麼，$${\text{CPI at year }}B={\text{CPI at year }}A(1+j)\Rightarrow 1+j={\frac {{\text{CPI at year }}B}{{\text{CPI at year }}A}}$$ 因此，我們有 $$(1+i)=(1+r)\cdot {\frac {{\text{CPI at year }}B}{{\text{CPI at year }}A}}$$ 用於從 $A$ 年到 $B$ 年的收益率。

在本書中，我們涉及的所有關於價格、收益率等的計算，理論上都可以使用 實際購買力 單位而不是 貨幣 單位進行，前提是使用用於這些計算的指數。然而，本書將不會這樣做，以下是一些在 實際 意義上進行不同計算的例子。

示例。（債券實際收益率）假設有一隻期限為 2 年的債券，面值為 $100$，每年支付的票面利率為 $10\%$，到期還本。

一位投資者在 2020 年初以 $100$ 的價格買入該債券。鑑於 2020 年、2021 年、2022 年的消費者物價指數分別為 $230,250,260$，計算實際收益率 $r$。

$${\begin{aligned}&&100&=100(0.1)\left(\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}\right)^{-1}+\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}(1+r){\frac {260}{250}}\right)^{-1}\right)+100\left((1+r)\cdot {\frac {260}{250}}\right)^{-1}\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}\right)^{-1}\\&\Rightarrow &1&=0.1\left({\frac {230}{250}}(1+r)^{-1}+{\frac {230}{260}}(1+r)^{-2}\right)+{\frac {230}{260}}(1+r)^{-2}\\&\Rightarrow &(1+r)^{-1}&\approx 0.9676{\text{ or }}(1+r)^{-1}\approx -1.0621{\text{ (rejected)}}\\&\Rightarrow &r&\approx 0.033485.\end{aligned}}$$

對於一些證券，它們是指數掛鉤的，例如指數掛鉤息票會根據消費者物價指數給出不同的息票。

示例。 （指數掛鉤債券）2018年6月1日發行了幾筆面值為200的指數掛鉤債券，並在2020年6月1日到期償還。每筆債券的票面利率為$5\%$，每年支付兩次，在每半年期結束時支付（即到期支付）。實際的息票和贖回價值支付根據消費者物價指數的變化進行指數化，該變化來自債券發行日期前一年和息票或贖回支付日期前6個月（即息票和贖回乘以後者併除以前者）。以下是部分消費者物價指數：

• 2017年6月：95
• 2017年12月：99
• 2018年6月：100
• 2018年12月：105
• 2019年6月：107
• 2019年12月：103
• 2020年6月：110
• 2020年12月：106
• 2021年6月：112
• 2021年12月：115

計算$P$，即購買$10$筆債券的價格，以獲得$5\%$的半年實際收益率，前提是這些債券一直持有到贖回。

解決方案： $$P=200(10)(0.05)\left({\frac {100}{95}}\cdot {\frac {100}{105}}(1.05)^{-1}+{\frac {105}{95}}\cdot {\frac {100}{107}}(1.05)^{-2}+{\frac {107}{95}}\cdot {\frac {100}{103}}(1.05)^{-3}+{\frac {103}{95}}\cdot {\frac {100}{110}}(1.05)^{-4}\right)+200(10){\frac {103}{95}}\cdot {\frac {100}{110}}(1.05)^{-4}\approx 1986.507$$

練習。

1 哪些給定的消費者物價指數對於計算來說是不必要的？

	2017年6月：95
	2017年12月：99
	2018年6月：100
	2018年12月：105
	2019年6月：107
	2019年12月：103
	2020年6月：110
	2020年12月：106
	2021年6月：112
	2021年12月：115

2 如果2017年6月的消費者物價指數增加到100，那麼$P$

	增加。
	減少。
	保持不變。
	變化不確定。

備註。 分母為$95$的分數是指數掛鉤調整。