金融數學 FM/一般現金流和投資組合

學習目標

考生將理解有關收益率曲線、回報率和久期和凸度度量的重要概念，以及如何執行相關計算。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：收益率/回報率、加權平均收益率、時間加權收益率、現值、久期（麥考利和修正）、凸度（麥考利和修正）、投資組合、即期利率、遠期利率、收益率曲線、股票價格、股票股利。
• 計算

• 加權平均收益率和時間加權收益率。
• 一組現金流的久期和凸度。
• 給定另一個，可以計算麥考利久期或修正久期。
• 由於利率變化引起的現值近似變化，

• 由於利率變化引起的現值近似變化，
• 使用基於麥考利久期的 1 階近似。

• 使用股利折現模型計算股票價格。
• 使用從遠期利率和即期利率推匯出的收益率曲線，計算一組現金流的現值。

折現現金流分析

定義。 （淨現金流） 時間 $t$ 處的淨現金流等於時間 $t$ 處的現金流入減去時間 $t$ 處的現金流出。

備註。 我們使用 $C_{t}$ 表示時間 $t$ 處的淨現金流。

然後，我們可以如下表達一系列現金流

淨現金流	$C_{0}$	$C_{1}$	$C_{2}$	$\cdots$	$C_{n}$
時間	$0$	$1$	$2$	$\cdots$	$n$

在定義淨現金流之後，我們還可以定義淨現值。

定義。 （淨現值）淨現值（NPV），記為 $P(i)$，是所有淨現金流的現值之和，即 $P(i)=\sum _{t}{C_{t}v^{t}}.$

備註。

• 淨現值是 $i$ 的函式。
• 一項投資是有利可圖的當且僅當其淨現值是正的，即投資中的現金流序列等效於時間 0 的一個現金流入。
• 現金流的現值可以解釋為貼現現金流：時間 $t$ 的現金流按因子 $v^{t}$ 折現。

以下是一個說明如何使用淨現值確定投資盈利能力的例子。

練習。

Ivan 給你一個投資他專案的提議。他的專案需要你現在投資 10,000 美元，專案確定在第二年底支付你 3,000 美元，在第三年底支付你 4,000 美元，在第十年底支付你 5,000 美元。在年有效利率為 10% 的情況下，你應該接受他的提議嗎？

	是
	否

除了確定投資是否有利可圖之外，我們有時還想了解投資有多有利可圖。用投資的回報率來衡量投資有多有利可圖的一種自然方法是使用內部收益率。

定義。 （內部收益率）一項投資的內部收益率 (IRR) 是使該投資的淨現值等於零的每個計量期的有效利率。

備註。

• 它也被稱為收益率。
• 等效地，內部收益率是使初始投資，即時間零的現金流，等於未來淨現金流的淨現值的利率。因此，我們可以將初始投資分成幾部分，每部分將在內部收益率下，在現金流對應的時刻積累到對應現金流的金額。(見下面的練習。)
• 內部收益率也是使成本的總現值（即現金流出）等於收益的總現值（即現金流入）的利率。
• 它是“內部”的，因為計算排除了外部因素，例如金融風險、通貨膨脹等。
• 一般來說，用手直接計算內部收益率非常困難。因此，通常使用財務計算器，例如 BA II Plus，來計算它。我們也可以使用利息表中的線性插值來近似它。
• 它可能不存在，也可能不唯一。儘管在實踐中很少見，但可能沒有內部收益率，或者有多個內部收益率。

讓我們在下面的練習中說明備註中提到的初始投資的分割。

考慮以下投資的現金流。

時間	淨現金流
0	-500
1	100
2	0
3	300
4	0
5	500

練習。

參考上面的現金流，已知該投資的內部收益率為 17.05%（精確到小數點後兩位）。將初始投資（金額為 500）分成三部分，這些部分將在內部收益率下（在本例中為 17.05%，請精確使用此百分比進行計算）在現金流對應的時刻積累到對應現金流的金額。將你的答案修正到小數點後兩位。

金額為 的部分將在時間 1 積累到 100。

金額為 的部分將在時間 3 積累到 300。

金額為 的部分將在時間 5 積累到 500。

在 17.05% 的利率下，即內部收益率下。

BA II Plus 計算器用法

TI BA II plus 具有現金流函式來處理不均勻的現金流流。以下是一個現金流的示例。

時間	淨現金流
0	-500
1	100
2	0
3	300
4	0
5	500

kk

您可以使用以下命令來計算每個計量期有效利率為 10% 的淨現值。

2ND CE|C CF 500 +|- ENTER ↓ 100 ENTER ↓ ↓ 0 ENTER ↓ ↓ 300 ENTER ↓ ↓ 0 ENTER ↓ ↓ 500 ENTER NPV 10 ENTER ↓ CPT

您應該得到 NPV=126.76。以下是該命令的一些解釋。

1. 2ND CE|C 將清除計算器中儲存的任何先前工作。
2. CF 進入現金流模式。
3. 接下來，您將看到 CF0=，您需要輸入第一個現金流 -500，它是在時間零發生的。您應該輸入現金流出的負值。這是 BAII Plus 計算器中使用的約定。
4. 輸入 -500 後按 ↓，您將看到 C01，您需要輸入第二個現金流 100，它是在時間一發生的。
5. 再次按 ↓，您將看到 F1，您需要輸入現金流的頻率，即該現金流重複了多少次。預設值為 1，在本例中是正確的。我們稍後將看到一個頻率大於 1 的練習。
6. 然後，我們輸入剩餘的現金流。我們需要輸入所有零現金流以確保後面的非零現金流在正確的時間輸入。
7. 輸入最後一個現金流 500 後，按 NPV 而不是 ↓。然後您將看到 I，需要輸入有效利率（只輸入百分比表示式中的數字）。在本例中應輸入 10。
8. 按 ↓ 和 CPT 後，您應該看到 "NPV=126.76"，即淨現值。

要計算內部收益率，請在輸入最後一個現金流後按 IRR 然後按 CPT。您應該得到 IRR=17.05，即內部收益率為 17.05%。計算器只會顯示百分比表示式中 % 符號之前的數字。(此結果在 關於分割初始投資的練習 中使用。)

以下是另一個現金流的例子。

時間	淨現金流
0	-500
1	200
2	200
3	200
4	200
5	200

按 2ND CE|C CF 500 +|- ENTER ↓ 200 ENTER ↓ 5 ENTER NPV 10 ENTER ↓ CPT 計算每個計量期有效利率為 10% 的淨現值。要計算內部收益率，請在 5 ENTER 之後按 IRR CPT。您應該得到淨現值為 NPV=258.16，內部收益率為 IRR=28.65。

按 200 ENTER ↓ 後，我們會看到 F01，我們需要輸入該現金流的頻率。因為該現金流重複了五次，所以我們輸入 5。

在後面的命令中，將省略 2ND CE|C，並且假設您在輸入現金流之前始終按此命令序列。

讓我們在下面的練習中練習計算器用法。

練習。

從 關於使用淨現值確定盈利能力的練習 繼續，計算專案的內部收益率。將你的答案修正到小數點後兩位。

%

理想化的實際情況

在本小節中，我們假設可以自由地以固定利率借貸。實際上，雖然我們可以借貸，但我們可能不被允許自由地借貸，而且我們通常不能以固定利率長期借貸，因為利率會發生變化，而且借貸的利率通常不同（通常前者高於後者）。

在此假設下，我們可以計算“淨累積值”，它類似於淨現值。這個術語是非標準的，很少使用。我們可以將一個專案的淨現金流與另一個專案聯絡起來，在這個專案中，利息是可支付的（當淨現金流為正時，我們可以把錢投入，就像貸款一樣）或記入（當淨現金流為負時，我們需要取錢，就像借錢一樣）以固定利率$i$。我們也假設我們可以自由地存取錢，金額任意（當然，它們會受到應付或記入利息的影響）。當另一個專案結束（比如在時間$T$）時，累積值將是

$\sum _{t\leq T}C_{t}(1+i)^{T-t}.$

其中$C_{t}$是第一個專案在時間$t$的淨現金流。如果第一個專案在另一個專案結束之前結束，那麼我們可以移除“$\leq T$”，因為$t$總是小於或等於$T$，即累積值將是

$\sum _{t}C_{t}(1+i)^{T-t}.$

如果另一個專案無限期地持續下去，這個值是未定義的（因為它趨於無窮大）。然而，對於一個持續無限期的專案，其中有淨現金流，它的淨現值可能是定義的，就像永續年金一樣。

練習。

專案 A 需要 100 萬的初始投資，並在第二年末帶來 20 萬的現金流入，第三年末帶來 50 萬的現金流入，第七年末帶來 80 萬的現金流入。但是，它需要在第五年末支付 30 萬的維護費。半年實際利率為 5%。

1 計算專案 A 的淨現值。

	-242471.42
	-234803.25
	-53188.09
	125876.53
	416927.61

2 假設我們將與專案 A 相關的現金流與專案 B 連線起來。在專案 B 中，利息以 10% 的固定年利率支付或記入，專案 B 無限期持續。計算第五年末與專案 B 連線的淨現金流的累積值。

	它是未定義的。
	-1039310
	-390505.65
	571200
	1171200

在本小節中，我們還假設內部收益率存在，並且$P(i)$在嚴格小於內部收益率的利率下是正的，而在嚴格大於內部收益率的利率下是負的。實際上，這在實踐中通常是這種情況，除非存在多個內部收益率。然後，我們有以下命題。

命題。（專案盈利的充分必要條件）假設內部收益率存在，並且$P(i)$在嚴格小於內部收益率的利率下是正的，而在嚴格大於內部收益率的利率下是負的。一個專案是有利可圖的，當且僅當每個測量週期的實際利率嚴格小於內部收益率。

證明。 它遵循假設$P(i)$在嚴格小於內部收益率的利率下是正的，以及一個專案是有利可圖的，當且僅當$P(i)$是正的。

$\Box$

備註。

• 一個等價的條件是，內部收益率嚴格大於投資者可以借貸的利率

或借錢。

• 實際上，這個想法也在關於計算內部收益率的練習的答案解釋中提到過。

兩個投資專案的比較

專案 A 和 B 比較的示例。當 $i$ 在橙色區域但不在紅色區域時，$P_{A}(i)<P_{B}(i)$。當 $i$ 在紅色區域但不在橙色區域時，$P_{B}(i)>P_{A}(i)$。當 $i$ 在紅色和橙色區域的交點時，$P_{B}(i)=P_{A}(i)$。

有時，我們希望比較兩個投資專案，以確定哪個專案具有更高的盈利能力，然後我們投資於盈利能力更高的專案。當然，我們可能會認為內部收益率更高的專案應該始終具有更高的盈利能力。但是，情況並非總是如此。

為了確定每個專案的盈利能力，我們應該比較每個專案在時間 $T$ 的利潤，即兩個專案中較晚結束專案的日期。等效地，這是以投資者可以借貸資金的利率 $i_{1}$ 計算的淨現值。如果專案 A 的淨現值，$P_{A}(i_{1})$，嚴格大於專案 B 的淨現值，$P_{B}(i_{1})$，則專案 A 比專案 B 更有利可圖。

由於專案 B 的內部收益率（$i_{B}$）嚴格高於專案 A（$i_{A}$）可能並不意味著 $P_{B}(i_{1})>P_{A}(i_{1})$（不等式是否成立取決於 $i_{1}$ 的值），內部收益率嚴格更高的專案並不一定具有嚴格更高的盈利能力。

練習。

專案 A 需要 1000 的初始投資，並在第一年底向投資者提供初始投資金額的兩倍，專案 B 需要 2000 的初始投資，並在第二年底向投資者提供初始投資金額的兩倍。我們最多隻能投資一個專案。

1 計算專案 A 和 B 的內部收益率。如果答案不精確，請將答案保留兩位小數。

專案 A 的內部收益率為 %.

專案 B 的內部收益率為 %.

2 假設年利率為 10%，我們可以自由地借貸資金。根據它們的盈利能力，我們應該投資專案 A 還是專案 B？

	專案 A
	專案 B
	兩者都不。

3 有人聲稱專案 A 應該具有更高的盈利能力，因為它可以在更短的時間內提供初始投資金額的兩倍，然後投資者可以利用時間差來借貸資金以賺取額外的利息。你同意這個說法嗎？

	是
	否

4 有人聲稱，如果年利率嚴格高於專案 A 和 B 的內部收益率，我們就不應該投資專案 A 和 B。你同意這個說法嗎？

	是
	否

借貸的不同利率

在理想化實際情況的小節中，我們假設投資者可以以相同的利率借入或貸出資金。然而，在實際操作中，投資者可能需要支付比投資收益率更高的借款利率，例如儲蓄賬戶的收益率。（當我們存入資金時，賬戶中的資金可能會被用於貸款。）

在這種情況下，淨現值和收益率的概念通常不再具有意義。我們必須從基本原理計算淨現金流的累積。讓我們透過以下練習來演示計算方法。

練習。

一個專案需要在第一年年底前投資 30000 元，並在第一年年底投資 20000 元。它在第一年年底給投資者 10000 元，在第三年年底給投資者 60000 元。我們只能以 10% 的有效利率借款，以 5% 的有效利率賺取存入儲蓄賬戶的利息，並且我們可以在任何時候償還貸款和存入資金。我們必須為每次需要的付款借款。計算十年年底淨現金流的最大可能累計值。

	12700
	15531.28
	17870.18
	20045.90

折現回收期

在實踐中，淨現金流通常只改變一次符號，並且這種變化是從負值變為正值。在這種情況下，投資者賬戶的餘額將在一個唯一的時間 $t^{*}$ 從負值變為正值。如果餘額始終為負值，則該專案始終不盈利，因此不存在此時間。如果存在此時間 $t^{*}$，則它是折現回收期結束時的點。我們更正式地將其定義如下：

定義。 （折現回收期） 折現回收期是指最小的正整數 $t$，以時間單位計，使得

$A(t)=\sum _{s\leq t}C_{s}(1+i)^{t-s}\geq 0$

其中 $i$ 是淨現金流累積的有效利率。

備註。 假設一個專案在時間 $T$ 結束。如果 $A(T)<0$，則該專案沒有折現回收期，也不盈利。這是因為投資者賬戶的餘額只會在一個唯一的時間從負值變為正值。如果餘額在專案結束時仍為負值，則表明餘額在整個專案期間都為負值，即淨現值為負值。

練習。

一個專案需要在開始時投資 50000 元，並且從第 3 年年底開始，每年年底向其投資者支付 6000 元。如果年有效利率為 10%，則計算折現回收期。

年

特別地，我們需要計算借款投資的專案的折現回收期，當給出借款的有效利率時，例如 $j_{1}$，它可能與存款的有效利率不同，例如 $j_{2}$，如不同利率借貸的小節中所述。然而，$j_{2}$ 不參與也不影響我們的計算。

自然地，我們可能會認為，我們只需在折現回收期定義中用 $j_{1}$ 替換每個 $i$，並用它來計算折現回收期。但是，存在一個問題。雖然我們可以借款用於現金流出，因此在 $j_{1}$ 下累積淨現金流為負值的金額是有意義的，但我們不能“為現金流入借款”。

相反，我們只能用現金流入償還貸款，即減少我們借款的金額。鑑於此，我們需要一個假設，即假設可以在任意時間進行還款。（借款時間越長，累積的利息金額就越高。因此，為了最小化利息支付並最小化淨現金流累積價值為非負的時間，我們應該儘快償還貸款，當我們收到一些現金流入時。）

然後，我們也可以將現金流入或正淨現金流以$j_{1}$ 的利率進行累積，因為它們可以被視為貸款累積價值的減少，而貸款的有效利率為$j_{1}$（累積價值包括未償還的貸款金額和累積的利息）。更準確地說，對於每個正淨現金流$C_{s}$，它用於在時間$s$ 償還貸款，然後償還的貸款將在時間$s$ 後停止累積利息。因此，它在時間$s$ 將貸款減少$C_{s}$，並且還減少了如果貸款不在時間$t$ 之前償還，將繼續累積的未來利息，即減少$C_{s}\left((1+j_{1})^{t-s}-1\right)$。因此，貸款和利息的總減少額為

$\underbrace {C_{s}} _{\text{loan}}+\underbrace {C_{s}\left((1+j_{1})^{t-s}-1\right)} _{\text{interest}}=\underbrace {C_{s}(1+j_{1})^{t-s}} _{\text{total}}.$

然後，在某個現金流入時，其金額足以完全償還貸款（利息也在使用現金流入償還貸款的過程中支付），然後在那個時間點，每個淨現金流之和的累積價值將大於或等於零。因此，該現金流是最後一次償還貸款，並且該現金流發生的時刻是時間$t$（因此未來的利息等於零，因為沒有時間累積）。

因此，我們可以用$j_{1}$ 替換貼現回收期定義中的每個$i$，假設可以任意時間進行還款。

如果專案有利可圖，專案在時間$T$ 結束時的累積利潤為

$\underbrace {A(t^{*})} _{{\text{balance at }}t^{*}}\overbrace {(1+j_{2})^{T-t^{*}}} ^{{\text{ depositing }}A(t^{*})}+\underbrace {\sum _{t>t^{*}}C_{t}(1+j_{2})^{T-t}} _{\text{net cash flows after discounted payback period}}.$

其中 $t^{*}$ 是貼現回收期結束的時間。

如果專案沒有盈利，那麼累計利潤為負（即虧損）或零（那麼我們在投資該專案方面無差別），我們不能使用上述公式。

練習。

繼續從 前一練習。假設還款可以在任意時間進行。借款的年有效利率為10%，存款的年有效利率為6%。

1 計算貼現回收期。

月

2 假設專案在第20年年底結束。計算專案結束時的累計利潤。將您的答案保留兩位小數。如果累計利潤為負數，請鍵入n/a。

3 假設專案在第21年年底結束。計算專案結束時的累計利潤。將您的答案保留兩位小數。如果累計利潤為負數，請鍵入n/a。

再投資率

在 理想化實際情況部分，我們考察了將現金流入與另一個專案連線會發生什麼。本小節的主要思想與這種情況類似，可以解釋為這種情況的廣義版本，因為本小節討論了再投資的更多方式，而不侷限於與另一個專案連線。

假設我們在一個專案上投資1元，該專案在每個時期末以 $i$ 的有效利率支付利息，持續 $n$ 個時期，並且收到的利息以 $j$ 的有效利率進行再投資。那麼，在 $n$ 個時期結束時的累計價值為

$\underbrace {1} _{\text{principal}}+\underbrace {is_{{\overline {n}}|j}} _{\text{accumulated value of interest}}.$

特別是，如果 $i=j$，它等於 $(1+i)^{n}$，這與複利的情況相同，因為這等效於複利的定義：賺取的利息以相同的利率 $i$ 自動再投資到專案中。

                            -|
    -----------------------> |
    |   -------------------> | rate j
    |   |              ----> |
    |   |              |    -|
    |   |              |   
1   i   i              i   i
↓   ↑   ↑    ...       ↑   ↑
|---|---|--------------|---|--- 
0   1   2    ...      n-1  n

假設我們在每個期間末投資 1，持續 $n$ 個期間，有效利率為 $i$，利息以有效利率 $j$ 進行再投資。那麼，在 $n$ 個期間結束時的累計值為

$n+i(Is)_{{\overline {n-1}}|j}=n+i\left({\frac {{\ddot {s}}_{{\overline {n-1}}|j}-(n-1)}{j}}\right)=n+i\left({\frac {s_{{\overline {n}}|}-n}{j}}\right).$

特別地，如果 $i=j$，則它等於 $s_{{\overline {n}}|i}$。

    1   2   3   ...    n-1  n   total investment

    1   1   1   ...     1   1
    ↓   ↓   ↓   ...     ↓   ↓   
|---|---|---|-----------|---|--- 
0   1   2   3   ...    n-1  n
        ↓   ↓           ↓   ↓
        i  2i  ...  (n-2)i (n-1)i

練習。

假設我們在每個季度末投資 $k$，持續 $n$ 年，半年有效利率為 $10\%$，利息以年有效利率 $10\%$ 進行再投資。選擇 $n$ 年結束時的累計值的正確表示式。

	$ks_{{\overline {n}}|0.1}$
	$kn+(1.1^{1/2}-1)k(Is)_{{\overline {n-1}}|1.1^{1/4}-1}$
	$kn+(1.1^{1/4}-1)k(Is)_{{\overline {n-1}}|1.1^{1/2}-1}$
	$4kn+4(1.1^{1/2}-1)k(Is)_{{\overline {4n-1}}|1.1^{1/4}-1}$
	$4kn+4(1.1^{1/4}-1)k(Is)_{{\overline {4n-1}}|1.1^{1/2}-1}$

基金的利息計量

為了計算投資基金的收益率，我們可以使用其已賺取的實際利率。回想一下，實際利率的定義假設本金在整個期間保持不變，整個期間賺取的所有利息都在期末支付。這些假設在實踐中通常不滿足，因為通常有不定期的本金存款和取款（它們是淨現金流量），以及整個期間不定期的利息收入（每個區間的實際利率可能不同）。（也可能在某些時間段內沒有賺取利息，即實際利率為零。）為了說明這一點，請考慮下圖。

↓ ↑ ↑↑   ↓   ↓  ...  ↓↑   ↑    irregular principal deposits and withdrawals
|---|---|---|---------|---|---
0   1   2   3   ...  n-1  n
 |--------| |----|    |---|      irregular interest earning
 rate i_1  rate i_2 ... rate i_k

有兩種方法可以計算這種複雜情況下的合理實際利率，即美元加權收益率（或利息）和時間加權收益率（或利息）。這兩種方法可以簡化計算。

美元加權收益率

目標是找到一個基金在一個計量週期內賺取的實際利率 $i$。為簡單起見，我們使用以下符號

• $A$ 是期初基金中的金額
• $B$ 是期末基金中的金額
• $I$ 是該期間賺取的利息總額
• $C_{t}$ 是時間 $t\in [0,1]$ 貢獻的本金淨額。該值可以為正、負或零。（這是淨現金流量）
• $C$ 是該期間貢獻的本金總淨額，即 $\sum _{t}C_{t}$.
• $_{a}i_{b}$ 是時間 $b$ 以 1 投資，在隨後的長度為 $a$ 的期間內（即到時間 $a+b$），其中 $a,b$ 是正實數，使得 $a+b\leq 1$（因為我們正在考慮一個計量週期）。

     rate _{a}i_b 
     |---------|

-----|---------|-----
     b        a+b

然後，根據定義，

$\underbrace {B} _{\text{end}}=\underbrace {A} _{\text{start}}+\underbrace {C} _{\text{contribution}}+\underbrace {I} _{\text{interest}},$

並且如果我們假設所有賺取的利息，$I$，是在期末收到，以符合有效利率的定義，那麼$I$ 的精確方程是

$I=\underbrace {i} _{_{1}i_{0}}A+\sum _{t}{C_{t}}(_{1-t}i_{t}).$

為了求解上述方程中的$i$，我們需要用更復雜的方式計算的項是$_{1-t}i_{t}$。沒有任何假設，直接計算它非常困難甚至不可能。因此，我們需要一個假設來簡化計算並近似它的值。

如果我們假設從時間$t$ 到$1$（每個時期對應一個淨現金流量）的整個時期內都採用複利，

$_{1-t}i_{t}=(1+i)^{1-t}-1$

因為所涉及的時間長度是$1-t$。如果我們將此代入$I$ 的精確方程中，可以使用計算機或金融計算器透過迭代求解該方程。這不是本小節的重點。相反，以下才是重點。

如果我們想簡化我們的計算，我們可以假設從時間$t$ 到$1$（每個時期對應一個淨現金流量）的整個時期內都採用單利，那麼

$_{1-t}i_{t}=\underbrace {(1-t)} _{\text{time length}}i.$

將它代入 $I$ 的精確公式，我們可以解出 $i$，然後

$I=iA+\sum _{t}C_{t}(1-t)i\iff i={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-t)}}$.

這被稱為**美元加權收益率**（或利息）。讓我們正式地定義如下：

定義。 （美元加權收益率）美元加權收益率是收益率 （或有效利率）的簡單利息率近似值，其計算公式為：

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-t)}}.$

備註。

• 如果 $C_{t}$ 相對於 $A$ 很小，那麼這種近似值就非常接近於精確的有效利率。

• 這是因為當 $C_{t}$ 很小時，$\sum _{t}^{}C_{t}(1-t)\approx 0$，因此 $i^{DW}\approx {\frac {I}{A}}$。
• 另一方面，根據定義，有效利率 $i={\frac {I}{A}}$。因此，$i^{DW}\approx i$。

• 之所以稱之為美元加權收益率，是因為所涉及的術語大多與美元有關 ($A,C_{t},I$)

由於計算分子項可能很繁瑣，我們還可以進一步假設每個淨本金貢獻發生在時間 $t=0.5$，那麼我們有

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-0.5)}}={\frac {I}{A+0.5C}}={\frac {I}{A+0.5(B-A-I)}}={\frac {2I}{A+B-I}}$

   A                       B = A+C+I
---|-----------|-----------|---
   0          0.5          1
               +C

除了計算更簡單的優點外，另一個優點是，我們只使用 $A,B,I$ 就可以計算出 $i$，而無需知道 $C_{t}$ 的值。

練習。

考慮一個基金，在第 1 年初的金額為 20000。

在第 1 年中，基金賺取了 1000 的利息，並且有 2000、3000、4000 的淨現金流

分別在時間 $t=0.2,0.3,0.4$ 為該基金。

1 假設所有淨本金貢獻都發生在時間 $t=0.5$，計算美元加權收益率。

	3.33%
	3.83%
	4%
	4.08%
	5%

2 不假設所有淨本金貢獻都發生在時間 $t=0.5$，計算美元加權收益率。

	3.33%
	3.83%
	4%
	4.08%
	5%

3  

假設所有淨本金貢獻都發生在時間 $t=$ 的美元加權收益率 等於

不假設淨本金貢獻發生時間的美元加權收益率。（將您的答案保留兩位小數。）

練習。 證明假設所有淨本金貢獻都發生在時間 $t=k\in [0,1]$ 的美元加權收益率為

${\frac {I}{kA+(1-k)B-(1-k)I}}.$

證明

在這種假設下，美元加權收益率為

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-k)}}={\frac {I}{A+(1-k)C}}={\frac {I}{A+(1-k)(B-A-I)}}={\frac {I}{A+(1-k)B-(1-k)A+(1-k)I}}={\frac {I}{kA+(1-k)B+(1-k)I}}.$$\Box$

時間加權收益率

對於美元加權收益率，它對不同子期間投資的金額很敏感。為了說明這一點，考慮以下基金情況。

情況 1

        +50            contribution
   100   50    200     balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整個時期的美元加權收益率為

${\frac {\overbrace {200} ^{B}-\overbrace {50} ^{C}-\overbrace {100} ^{A}}{\underbrace {100} _{A}+\underbrace {50} _{C_{0.5}}(1-\underbrace {0.5} _{t})}}=40\%.$

情況 2

   100   50    100      balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整個時期的美元加權收益率為 $0\%$，因為 $I=\underbrace {100} _{B}-\underbrace {100} _{A}-\underbrace {0} _{C}=0$.

情況 3

        -25            contribution
   100   50    50      balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整個時期的美元加權收益率為

${\frac {\overbrace {50} ^{B}-(\overbrace {-25} ^{C})-\overbrace {100} ^{A}}{\underbrace {100} _{A}\underbrace {-25} _{C_{0.5}}(1-\underbrace {0.5} _{t})}}\approx -28.57\%.$

每種情況下，資金的美元加權回報率都大不相同。但是，在每種情況下，資金在每個子週期的有效利率都是相同的，整個週期的有效利率為 $(1-50\%)(1+100\%)-1=0\%$，它衡量的是資金的“表現”。 在兩種情況下，美元加權回報率與 $0\%$ 相差很大。 因此，這無法準確地衡量資金的表現。 更準確的方法是使用時間加權回報率，它不受繳款金額和餘額的影響。

定義。 （時間加權回報率） 考慮以下圖表。

            C_{t_1} C_{t_2}   C_{t_3}  ... C_{t_{m-1}}  Net contribution to the fund
----|----------|-----|---------|---------------|-----|
  t_0=0       t_1   t_2       t_3    ...     t_{m-1} t_m=1
  B'_0       B'_1   B'_2      B'_3    ...    B'_{m-1} B'_m    Fund value 
     \       / \   /  \       /                 \   /
      \    /    \ /    \    /                    \ /
       \ /      j_2     \  /          ...        j_m       Yield rate
       j_1               j_3

其中

• $C_{t_{n}}$ 是時間 $t_{n}\in [0,1]$ 對資金的淨繳款。
• $C_{t_{0}}=C_{t_{m}}=0$，因為時間 $t_{0}$ 和 $t_{m}$ 沒有淨繳款。
• $B'_{n}$ 是第 $n$ 次繳款之前的資金價值，並且 $n\in [1,m-1]$，因為只有 $m-1$ 次淨繳款。 對於 $B'_{0},B'_{m}$，它們的定義如下，是為了使以下時間加權回報率公式對每個 $k\in 1,2,\ldots ,m$ 都有效。
• $B'_{0}$ 是期初的資金價值。
• $B'_{m}$ 是期末的資金價值。
• $j_{n}$ 是第 $n$ 個子區間的時間加權回報率。

假設基金總共有 $m-1$ 個淨貢獻，並且它們並不發生在期初或期末。那麼，就有 $m$ 個子區間對應於這 $m-1$ 個淨貢獻，如上圖所示。在第 $k$ 個子區間（即從時間 $t_{k-1}$ 到時間 $t_{k}$）的時間加權收益率定義如下：

$1+j_{k}={\frac {\overbrace {B'_{k}} ^{{\text{Balance just before }}k{\text{th contribution}}}}{\underbrace {B'_{k-1}+C_{t_{k-1}}} _{{\text{Balance at time }}t_{k-1}}}},$

整個期間的收益率（$i^{TW}$）由時間加權收益率定義如下：

$1+i^{TW}=(1+j_{1})(1+j_{2})\cdots (1+j_{m}).$

備註。

• 由於本金在整個期間發生變化，此收益率與複利假設不一致。
• 它是時間加權的，因為時間加權收益率受淨貢獻發生時間點的影響。
• 第 $k$ 個子區間的時間加權收益率是第 $k$ 個子區間的有效利率，因為時間 $t_{k-1}$ 的餘額按有效利率累積到第 $k$ 個淨貢獻之前的餘額，並且在累積過程中沒有淨貢獻。
• 整個期間的收益率是整個期間的有效利率。

可以觀察到，前面三種情況中的時間加權收益率分別是

$(1-50\%)(1+100\%)-1=0\%$

不受餘額和貢獻的影響。因此，在這種情況下，它比加權收益率更準確。雖然它更準確，但它需要比加權收益率更多的資訊，因為我們需要關於不同時間點的貢獻資訊以及每個時間點對應的餘額資訊來計算總體收益率。另一方面，加權收益率只需要關於期初和期末的餘額資訊，以及貢獻資訊。因此，有時無法使用時間加權收益率計算總體收益率，但使用加權收益率就可以。

練習。

假設一個基金在年初的金額為 10000，第一季度末的金額為 15000，當年 7 月 31 日的金額為 17000，年末的金額為 22000。第一季度末，基金額外存入 3000 元，當年 7 月 31 日，從基金中提取 1000 元。

1 使用一年內的美元加權收益率計算全年的收益率。如果無法計算，請輸入 n/a。答案保留兩位小數。

%

2 使用時間加權收益率計算全年的收益率。如果無法計算，請輸入 n/a。答案保留兩位小數。

%

股票

在本節中，我們將討論兩種型別的股票：優先股（或優先股）和普通股（或普通股）。

一般來說，優先股是一種固定收益證券，定期支付固定股利。然而，它不同於債券，債券也提供固定收益，因為優先股是一種所有權證券，而不是債務證券（債券是一種債務證券），而且優先股的安全性排名低於債券和其他債務工具。這是因為所有債務的支付必須在優先股獲得股利之前進行。

命題。（沒有到期日的優先股價格）沒有到期日的優先股價格，每期股利金額等於$D$ 為$$P={\frac {D}{i}}.$$

證明。為了設定一個反映其價值的“公平”股票價格，該價格被設定為所有定期未來股利的現值，這些股利永遠持續下去，即$$P=Da_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {D}{i}}.$$

$\Box$

普通股也是一種所有權證券。但是，它沒有獲得固定股利率。相反，普通股股利只有在支付完所有債券和其他債務的利息以及優先股的股利後才會支付。因此，普通股的安全性比優先股更低。此外，普通股價格通常波動很大。

我們可以根據股利折現模型計算普通股的理論價格（這通常不是現實中的價格），即價格應該代表未來股利的現值，類似於優先股。

命題。（股利按幾何級數變化的普通股價格）設$D$ 為本期末的普通股股利。假設預計股利將以公比$1+k$ 的幾何級數無限期變化，其中$-1<k<i$。那麼，理論價格為$${\frac {D}{i-k}}.$$

證明。理論價格為$$Dv+\underbrace {D(1+k)v^{2}} _{Dv[v(1+k)]}+\cdots ={\frac {Dv}{1-v(1+k)}}={\frac {Dv(1+i)}{1+i-v(1+i)(1+k)}}={\frac {D}{i-k}}.$$

$\Box$

股利支付的說明

       D  D(1+k)  ...
---|---|---|------------
   0   1   2      ...

示例。假設一隻普通股每年支付$10$ 的股利，永遠持續下去。預計普通股股利每年將增長$5\%$。

一位投資者以$200$ 的價格購買了這隻普通股。計算收益率$i$。

解決方案： $$200=10v+10(1.05)v^{2}+\cdots \Rightarrow 200={\frac {10v}{1-1.05v}}\Rightarrow 200-210v=10v\Rightarrow v\approx 0.90909\Rightarrow i=0.1$$

練習。

1 假設現在對普通股的看法更加悲觀，因此普通股股息預計每年僅增長 $3\%$。那麼，收益率將

	增加。
	減少。
	保持不變。
	變化不確定。

2 假設普通股現在每年支付固定股息 $5$，並且預計每年增長 $x\%$，使得收益率保持不變。那麼，$x$ 是

	$\geq 5$ 並且 $<6$。
	$\geq 6$ 並且 $<7$。
	$\geq 7$ 並且 $<8$。
	$\geq 8$ 並且 $<9$。
	$\geq 9$ 並且 $<10$。

選修主題：賣空

一些證券投資者使用 賣空（或賣空交易）當他們認為證券的 價格可能 下跌。在賣空交易中，賣出發生在 先，而 買入發生在後（理想情況下，價格低於賣出價格）。

由於這種術語，我們稱正常交易（先買後賣）為 做多交易。

通常，在賣空交易中，投資者會從第二方 借入（而不是購買）證券，然後將其出售給市場上的第三方。之後，投資者會從市場 買回證券（理想情況下，價格低於賣出價格），並將證券返還給第二方。買回證券的過程被稱為“回補空頭”。

實際上，當 賣出時，賣空者需要支付一定比例的價格，這個比例被稱為 保證金，並且在賣空頭寸回補（即完成“回補空頭”）之前，賣空者 無法取回保證金。賣空者將獲得保證金存款的利息。

此外，如果證券支付股息，則賣空者需要將這些股息支付給證券的買方，而不能從證券的賣方（例如公司）那裡獲得。也就是說，賣空者暫時扮演了公司出售證券的角色，需要將股息支付給第三方。

示例. 一位投資者以$10000$ 的價格賣空了一支股票，並在第一年結束時以$9500$ 的價格回購。這支股票在當年支付了$700$ 的股息。已知保證金要求為$30\%$，保證金利率為$10\%$。計算投資者的收益率（即${\frac {\text{淨利潤}}{\text{保證金存款}}}$，因為保證金存款可以看作是投資金額，收益率是投資回報率）。

解答

• 賣空盈利為$10000-9500=500$
• 保證金利息為$0.1(10000(0.3))=300$
• 股票股息為$700$

因此，淨利潤為$$500+300-700=100.$$ 收益率為$${\frac {100}{10000(0.3)}}\approx 0.033333.$$

練習。

1 假設股票在當年支付了$D$ 的股息，使得收益率為零。計算$D$。

	$500$.
	$600$.
	$700$.
	$800$.
	$900$.

2 假設投資者對股票價格的預測錯誤，而股票價格實際上在第一個月（或在第一個年中的第$1/12$月結束時）投資者賣空股票後上漲至$10500$。因此，投資者以$10500$的價格回購股票以避免賣空造成進一步損失。在其他條件不變的情況下，投資者的收益率為

	$\geq -0.4$ 且 $<-0.3$.
	$\geq -0.3$ 且 $<-0.2$.
	$\geq -0.2$ 且 $<-0.1$.
	$\geq -0.1$ 且 $<0$.
	$\geq 0$ 且 $<0.1$.

利率期限結構

實際利率根據投資期限而變化，這由收益曲線顯示。

定義。（收益曲線） 收益曲線是顯示實際利率與投資期限之間關係的曲線。

備註。

• 通常，實際利率在期限較長時增加。
• 如果利率隨期限增加，則收益曲線為正常或向上傾斜。
• 如果利率隨期限降低，則收益曲線為倒置或向下傾斜。
• 如果利率先增加後降低，或先降低後增加，則收益曲線為彎曲 </ref>。
• 如果利率在每個期限都相同，則收益曲線為平坦 。

有一些理論解釋了期限長度變化時實際利率的變化，這些理論將在金融數學 FM/利率決定因素章節中進行解釋。

即期利率

當我們在任意給定日期計算任意組固定收益證券的收益率時，利率會根據投資的期限而變化，如上一節所示。因此，我們需要考慮這種變化。

如果除了期限之外還有其他因素髮生變化，例如息票支付頻率，那麼比較不同組證券就會變得複雜。因此，為了避免複雜性，我們將短期利率和長期利率與零息債券進行比較，將每個證券視為（名義）零息債券的組合，如果我們假設不存在套利（即無風險交易利潤）（這稱為無套利假設）。

在假設不存在套利的情況下，固定收益證券和複製該證券的零息債券組合不可能具有兩個不同的價格（這稱為單一價格法則），否則投資者可能會能夠利用價格差異獲得無風險的交易利潤。我們不會在這本書中討論套利策略。但是，這種套利機會在現代金融市場中很少見，即使存在，也會在被一些投資者發現和利用後迅速消失。

實際上，即期利率與零息債券密切相關。

定義。 （即期利率）n 年期即期利率 是期限為 $n$ 的零息債券的年收益率，用 $i_{n}$ 表示。

備註。

• 由於利率會隨著投資期限的變化而變化，因此 $i_{n}$ 對於不同的 $n$ 值通常不同。
• 利率期限結構 是指即期利率向量 $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ （括號內的數字是即期利率）。
• $n$ 通常是正整數，單位為年，但在一些罕見的情況下，它可能是帶小數點的正數，單位不同。

示例。 （將固定利率債券視為零息債券的組合）考慮一隻 10 年期債券，每年年底支付 $20$ 的息票，並在第 10 年年底贖回，贖回價值為 $500$ 。假設 $k$ 年期即期利率為 $0.01k$ ，計算 $P$ 。

那麼，我們可以將這筆債券視為以下零息債券的組合：

• 對於十年的年度息票，我們用十隻零息債券複製它們，在第 1 年、第 2 年、……、第 10 年年底的贖回價值為 $20$ 。
• 對於贖回款項，我們用一隻零息債券複製它，在第 10 年年底的贖回價值為 $500$ 。

因此，債券價格為 $$P=20(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{10}}^{10})+500v_{i_{10}}^{10}=20(1.01^{-1}+1.02^{-2}+\cdots +1.1^{-10})+500(1.1)^{-10}\approx 644.759{\text{ (by direct computation)}}$$

遠期利率

定義。 (遠期利率) 遠期利率 $f_{t\to t+r}$ 代表在時間 $t$ 進行的無風險投資在時間 $t+r$ 到期時所支付的 年化 利率。

遠期利率可以從即期利率計算得出，反之亦然。這是因為，在 $t$ 年期零息債券上投資 $k$，然後將贖回價值（即 $k(1+i_{t})^{t}$，因為 $k=Cv_{i_{t}}^{t}$) 投資到一個 $r$ 年期零息債券上，與在 $(t+r)$ 年期零息債券上投資 $k$ 具有相同的價值。也就是說，$$k(1+i_{t})^{t}(1+f_{t\to t+r})^{r}=k(1+i_{t+r})^{t+r}\Rightarrow (1+i_{t})^{t}(1+f_{t\to t+r})^{r}=(1+i_{t+r})^{t+r}.$$

示例。 考慮一個期限為 3 年的債券，票面利率為 $10$，在第一年和第三年年末支付，其贖回價值為 $50$。 假設 1 年期即期利率為 $5\%$，1 年期延遲 2 年期遠期利率（即 $f_{1\to 3}$）為 $7\%$，計算 $P$。 解： 3 年期即期利率為 $\left((1.05)(1.07)^{2}\right)^{1/3}-1\approx 0.063291360$。 $$P=10(1.05)^{-1}+10(1.063291360)^{-3}+50(1.063291360)^{-3}\approx 59.43459.$$

平價收益率

定義。 （平價收益率） $n$ 年期 平價收益率，用 $i_{p_{n}}$ 表示，是指在當前期限結構下，期限為 $n$ 年的債券，其當前價格為 $1$ 每單位面值（即 $A=P/F$），假設債券以平價贖回（即 $C=1$）時所應付的 每單位面值 的票面利率（即 $Fr/F=r$）。 也就是說，$$i_{p_{n}}\left(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{n}}^{n}\right)+v_{i_{n}}^{n}=1.$$ （根據公式 $P/F=Fr/F\left(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{n}}^{n}\right)+Cv_{i_{n}}^{n}$)

備註。

• 平價收益率是衡量收益率和投資期限之間關係的另一種指標
• n 年期國債收益率與 n 年期即期利率之間的差值稱為 n 年期息票偏差。

國債收益率的說明

   1  ipn ipn                 ipn 1
   ↓   ↑   ↑                   ↑↗ 
---|---|---|-------------------|---
   0   1   2                   n

示例。 假設年期利率的期限結構為 $(0.01,0.02,0.03,\ldots ,)$，計算 3 年期國債收益率。

解： 由於 $${\begin{aligned}&&i_{p_{3}}(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+v_{i_{3}}^{3})+v_{i_{3}}^{3}&=1\\&\Rightarrow &i_{p_{3}}(1.01^{-1}+1.02^{-2}+1.03^{-3})&=1\\&\Rightarrow &i_{p_{3}}\approx 0.3488685.\end{aligned}}$$

練習。

1 計算 3 年期即期利率。

	$0.01$
	$0.02$
	$0.03$
	$1.02$
	$1.03$

2 計算 3 年期息票偏差。

	$0.049$.
	$0.149$.
	$0.319$.
	$0.349$.
	$0.489$.

3 計算 2 年期延期 1 年期遠期利率。

	$0.00980$.
	$0.00985$.
	$0.01980$.
	$0.00489$.
	$0.00494$.

麥考利久期、修正久期、修正凸度和麥考利凸度

麥考利久期衡量金融交易的平均長度或期限。

還有一種方法可以衡量平均到期期限，即等值時間法。該指標計算為不同付款的加權平均值，其中權重為支付的金額。例如，如果在時間$t=k$支付了$s_{k}$，則平均到期期限為$${\overline {t}}={\frac {\sum _{}^{}ts_{t}}{\sum _{}^{}s_{t}}}.$$ 然而，它沒有考慮利率的影響，而麥考利久期考慮了利率的影響，因此通常是一個更好的指標。

定義。 （麥考利久期）麥考利久期$\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)$為$${\frac {t_{1}v_{i}^{t_{1}}C_{t_{1}}+\cdots +t_{n}v_{i}^{t_{n}}C_{t_{n}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}$$，其中現金流$C_{t_{k}}$在時間$t_{k}$支付。

示例

      Ct1 Ct2        Ctk     Ctn
---|---|---|----------|-------|---    
   0  t_1 t_2   ...  t_k ... t_n

備註。

• 麥考利久期是現金流的平均期限，按其現值（而不是等值時間法中使用的金額）加權。
• 麥考利久期是$i$的函式，即隨著$i$的變化而變化。
• 麥考利久期的其他名稱包括折現平均期限。
• 除非另有說明，“久期”指麥考利久期。

示例。 一張面值為$10$的20年期債券，具有$3\%$的半年期票面利率。假設其贖回價值為$20$，半年期收益率為$i=5\%$。計算其麥考利久期。

解： 它的麥考利久期為$${\frac {10(0.03)(Ia)_{{\overline {40}}|0.05}+40(20)(1.05)^{-40}}{10(0.03)a_{{\overline {40}}|0.05}+20(1.05)^{-40}}}\approx 23.4893.$$

練習。

1 使用 等時法 計算其平均到期期限。

	$20.5$
	$23.2857$
	$32.6183$
	$32.6875$
	$32.7647$

2 如果 $i=0\%$，計算久期。

	$20.5$
	$23.2857$
	$32.6183$
	$32.6875$
	$32.7647$

衡量一系列現金流對利率變動的敏感性被稱為 波動率。

定義. (修正久期) 考慮一系列現金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$. 令 $P(i)$ 為該現金流在利率 $i$ 下的現值，即 $$P(i)=C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}.$$ 修正久期 為 $$\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)={\color {darkgreen}-}{\frac {P'(i)}{P(i)}}={\frac {C_{t_{1}}t_{1}v_{i}^{t_{2}}+\cdots +C_{t_{n}}t_{n}v_{i}^{t_{n+1}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}={\frac {\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)}{1+i}}$$

備註。

• 它衡量的是 變化率 的 $P(i)$ 與 $i$ 之間的，並且與現值的大小是 無關 的（由於分母的存在）。
• 它類似於 利息力，負號是為了確保波動性為正數，因為 $P'(i)<0$，考慮到對於每一個 $t$，${\frac {d}{di}}v^{t}<0$。
• 麥考利久期和修正久期之間存在密切關係，因此得名 修正 久期。
• 其他名稱包括波動性。

定義。（修正凸性）考慮一系列現金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$。令 $P(i)$ 表示這些現金流在利率 $i$ 下的現值，即 $$P(i)=C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}.$$ 修正的 凸性 是 $$\operatorname {C} _{\text{mod}}(i)={\frac {P''(i)}{P(i)}}={\frac {C_{t_{1}}(t_{1})(t_{1}+1)v_{i}^{t_{3}}+\cdots +C_{t_{n}}(t_{n})(t_{n}+1)v_{i}^{t_{n+2}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}.$$

備註。

• 除非另有說明，"凸性" 指的是修正凸性。
• 在數學中，一個函式是否為"凸" 與其二階導數有關，因此得名"凸性"。

• 與麥考利凸性相比，凸性是修正後的。

定義。 （麥考利凸度）考慮一系列現金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$。 麥考利凸度 為 $$\operatorname {C} _{\text{mac}}(i)={\frac {t_{1}^{2}C_{t_{1}}v^{t_{1}}+\dotsb +t_{n}^{2}C_{t_{n}}v^{t_{n}}}{C_{t_{1}}v^{t_{1}}+\dotsb +C_{t_{n}}v^{t_{n}}}}$$

備註。

• 由於此凸度表示式與麥考利久期的表示式相似（分子中的時間項僅平方），並且與（修正）凸度表示式相似，因此稱為 麥考利凸度。

凸度 的用法如下：考慮利息從 $i$ 到 $i+\epsilon$ 的微小變化。根據泰勒級數展開，$$P(i+\epsilon )=P(i)+\epsilon P'(i)+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}P''(i+\delta )$$，其中 $0<|\delta |<|\epsilon |$。因此，使用 波動率 和 凸度 可以得到 $P(i)$ 隨著利息率微小變化的 近似值。這在 免疫 章節中非常有用。

例如。 假設在第 2、3 和 4 年末分別有 $100$、$200$ 和 $300$ 的現金流入，並且年利率為 $5\%$。它的 久期 為 $$\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)={\frac {100(2)v_{0.05}^{2}+200(3)v_{0.05}^{3}+300(4)v_{0.05}^{4}}{100v_{0.05}^{2}+200v_{0.05}^{3}+300v_{0.05}^{3}}}={\frac {200(1.05)^{-2}+600(1.05)^{-3}+1200(1.05)^{-4}}{100(1.05)^{-2}+200(1.05)^{-3}+300(1.05)^{-4}}}\approx 3.30593.$$ 它的 修正久期 為 $$\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)={\frac {d(i)}{1.05}}\approx 3.1485.$$ 它的 凸度 為 $$\operatorname {C} _{\text{mod}}(i)={\frac {100(2)(3)v_{0.05}^{4}+200(3)(4)v_{0.05}^{5}+300(4)(5)v_{0.05}^{6}}{100v_{0.05}^{2}+200v_{0.05}^{3}+300v_{0.05}^{4}}}\approx 13.4267$$

練習。 令 $P(i)$ 為本例中現金流的淨現值。

1 計算 $P(0.05)$。

	$-535.80$
	$-510.28$
	$510.28$
	$535.80$
	$1686.95$

2 計算 $P'(0.05)$.

	$-1686.95$
	$-1606.62$
	$3.15$
	$1606.62$
	$1686.95$

3 計算 $P''(0.05)$.

	$-7194.03$
	$-6851.38$
	$13.43$
	$6851.38$
	$7194.03$

利率微小變化導致的現值變化的近似值

我們可以用麥考利久期或修正久期來 近似 利率 微小 變化導致的現值變化。

命題. （現值變化的一階麥考利近似）令 $P(i)$ 表示利率為 $i$ 時的現值。那麼，當利率從 $i_{0}$ 微小變化到 $i$ 時，新的現值為 $$P(i)\approx P(i_{0})\left({\frac {1+i_{0}}{1+i}}\right)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}$$ ，前提是利率變化很小。

證明。

• 首先，$P(i)\approx P(i_{0})\left({\frac {1+i_{0}}{1+i}}\right)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\Leftrightarrow P(i)(1+i)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\approx P(i_{0})(1+i_{0})^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}$.
• 定義函式$Q_{t}(i)=P(i)(1+i)^{t}$.
• 然後，由於對於每個$i$，

$${\begin{aligned}&&Q_{t}'(i)&=0\\&\Leftrightarrow &P(i)t(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}P'(i)&=0\\&\Leftrightarrow &t&={\frac {-P'(i)(1+i)^{t}}{P(i)(1+i)^{t-1}}}\\&&&=\underbrace {\frac {-P'(i)}{P(i)}} _{=\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)}(1+i)\\&&&=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i),\end{aligned}}$$

• 使用一階泰勒近似（因為利率變化很小）來近似$Q_{t}(i)$ 關於$i_{0}$，其中$t=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})$，我們有

$${\begin{aligned}&&Q_{t}(i)&\approx Q_{t}(i_{0})+(i-i_{0})\underbrace {Q_{t}'(i_{0})} _{=0{\text{ when }}t=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\\&&&=Q_{t}(i_{0})\\&\Leftrightarrow &P(i)(1+i)^{D_{\text{mac}}(i_{0})}&\approx P(i_{0})(1+i_{0})^{D_{\text{mac}}(i_{0})},\end{aligned}}$$

• 結果隨之得出。

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命題. (現值變化的一階修正近似) 設 $P(i)$ 是利率為 $i$ 時的現值。 那麼，當利率從 $i_{0}$ 變為 $i$ 時，新的現值為 $$P(i)\approx P(i_{0}){\big (}1-(i-i_{0})\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0}){\big )}$$，假設利率變化很小。

證明。

• 對 $P(i)$ 關於 $i_{0}$ 使用一階泰勒近似（因為利率變化很小）

$$P(i)\approx P(i_{0})+(i-i_{0})P'(i_{0})=P(i_{0}){\color {darkgreen}-}{\color {blue}P(i_{0})}(i-i_{0})\cdot \underbrace {\frac {{\color {darkgreen}-}P'(i_{0})}{\color {blue}P(i_{0})}} _{\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0})}=P(i_{0}){\big (}1-(i-i_{0})\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0}){\big )},$$ 如預期。

$\Box$