金融數學 FM/免疫

學習目標

考生將理解有關現金流匹配和免疫的關鍵概念，以及如何執行相關的計算。

學習成果

考生將能夠

• 定義並識別以下術語的定義：現金流匹配、免疫（包括完全免疫）、Redington 免疫。
• 構建投資組合以

• Redington 免疫一組負債現金流。
• 完全免疫一組負債現金流。
• 精確匹配一組負債現金流。

Redington 免疫

定義。 （免疫）免疫是一種 減少甚至 消除利率變動影響的技術。

備註。 有多種 免疫方式。本章將討論幾種免疫方法，並將討論本節中的 Redington 免疫。

考慮一個具有 資產現金流和 負債現金流的基金。我們使用以下符號

• $P_{A}(i)$: 資產在有效利率 $i$ 下的現值
• $P_{L}(i)$: 負債在有效利率 $i$ 下的現值
• ${\overline {v}}_{A}(i)$: 資產現金流的波動性
• ${\overline {v}}_{L}(i)$: 負債現金流的波動性
• ${\overline {c}}_{A}(i)$: 資產現金流的凸性
• ${\overline {c}}_{L}(i)$: 負債現金流的凸性

我們有以下免疫條件定義

定義。 （Redington 免疫條件）在利率 $i_{0}$ 下，如果且僅當 $$P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})\quad {\text{and}}\quad P_{A}(i_{0}+\epsilon )\geq P_{L}(i_{0}+\epsilon ).$$，該基金對利率 $\epsilon$ 的微小變動是 免疫的。

備註。

• 即，利率的微小變化（$\epsilon$），無論是向上還是向下（$\epsilon >0$ 或 $\epsilon <0$），都會增加 $P$
• 實際上，實施這種免疫策略存在困難，例如，需要對投資組合進行持續的再平衡以保持資產和負債的波動率相等，這是不可行的。

• 儘管存在一些問題，但免疫策略仍然可以改善投資策略。

在實際應用中，我們使用一些其他等效條件來檢查基金是否在 Redington 免疫下得到了免疫。我們有以下等效條件。

命題。（Redington 免疫的替代條件）令 $P(i)$ 為盈餘 $P_{A}(i)-P_{L}(i)$。在利率 $i_{0}$ 下，基金對於利率的微小變化 $\epsilon$ 是 免疫的，當且僅當滿足以下三個條件時

• （資產數量足以支援負債）$P(i_{0})=0$ 或 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$
• （資產和負債的利率敏感度相同）$P'(i_{0})=0$，$P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$（或 ${\overline {v}}_{A}(i_{0})={\overline {v}}_{L}(i_{0})$（滿足 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$ 和 $P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$ 的結果））
• $P''(i_{0})>0$, $P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$(, 或者 ${\overline {c}}_{A}(i_{0})>{\overline {c}}_{L}(i_{0})$ (滿足 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$ 和 $P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$ 兩者的結果)

證明。 透過泰勒級數展開，$$P(i_{0}+\epsilon )=P(i_{0})+\epsilon P'(i_{0})+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}P''(i_{0})+\cdots$$

• 根據定義，$P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})\Leftrightarrow P(i_{0})=0.$
• 第二項 $\epsilon P'(i_{0})=0$ 對於每個 $\epsilon$ 當且僅當 $P'(i_{0})=0\Leftrightarrow P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$

• 另外，$\underbrace {P'_{A}(i_{0})/P_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})/P_{L}(i_{0})} _{\because P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})}\Leftrightarrow v_{A}(i_{0})=v_{L}(i_{0})$

• 因為 $\epsilon ^{2}>0$，第三項總是非負的，當且僅當 $P''(i_{0})>0\Leftrightarrow P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$。

• 此外，$\underbrace {P''_{A}(i_{0})/P_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})/P_{L}(i_{0})} _{\because P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})>0}\Leftrightarrow c_{A}(i_{0})>c_{L}(i_{0})$

• 展開式的第四項及後續項（$\underbrace {\epsilon ^{3}} _{\text{small}}\left(P'''(i_{0})\right)/3!,\ldots$）在展開式中非常小，可以忽略，因為 $|\epsilon |$ 很小。

$\Box$

備註。

• 第三個條件保證利率的$\downarrow (\uparrow )$將導致資產價值$\uparrow (\downarrow )$ 比負債價值的$\uparrow (\downarrow )$ 多（少）（可以從泰勒級數展開中觀察到）。

完全免疫

完全免疫是一種比Redington免疫更強的免疫技術，從某種意義上說，如果一個基金是完全免疫的，那麼它就是Redington免疫的，但反過來不一定成立。特別是，Redington免疫只適用於利率的小幅變化，而完全免疫適用於利率的任意幅度變化。

定義。（完全免疫）設 $P(i)$ 是基金現金流的現值。如果 $P(i)>0,\quad P(i_{0})=0{\text{ and }}i\neq i_{0}$，則該基金是完全免疫的。

備註。

• 也就是說，除了現值為零的利率 $i_{0}$ 外，其他每個利率下的現值都是正的。這意味著現值始終是非負的。

命題。（完全免疫的條件）設 $P(i)$ 是基金現金流的現值。如果滿足以下條件，則該基金是完全免疫的

• 對於每個負債現金流出，都有兩個對應的資產現金流入，其中一個在負債現金流之前發生，另一個在負債現金流之後發生；
• $P(i)=0$;
• $P'(i)=0$.

證明。

• 由於 $P(i)=0$ 是其中一個條件，只需要從剩餘的兩個條件中證明 $P(i')>0,\quad i'\neq i$ 。
• 首先，考慮一個金額為 $L$ 的負債現金流出，假設在負債現金流出前 $a$ 個時間單位，進行了金額為 $A$ 的現金流入，並在負債現金流出後 $b$ 個時間單位進行了金額為 $B$ 的現金流入。
• 那麼， $P(i)=0\Rightarrow {\color {blue}A(1+i)^{a}+B(1+i)^{-b}-L=0}$ 。
• 同時， $P'(i)=0\Rightarrow Aa(1+i)^{a}\ln(1+i)-Bb(1+i)^{-b}\ln(1+i)=0\Rightarrow Aa(1+i)^{a}=Bb(1+i)^{-b}$ 。
• 那麼，對於每個 $i'\neq i$ ，

$${\begin{aligned}P(i')&=A(1+i')^{a}+B(1+i')^{-b}-{\color {blue}L}\\&=A(1+i')^{a}+B(1+i')^{-b}-({\color {blue}A(1+i)^{a}+B(1+i)^{-b}})\\&=A(1+i')^{a}-A(1+i)^{a}-B(1+i)^{-b}+B(1+i)^{-b}\cdot {\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}\\&=A(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{a}}{(1+i)^{a}}}-1\right)+B(1+i)^{-b}\left({\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}-1\right)\\&=A(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{a}}{(1+i)^{a}}}-1\right)+{\frac {Aa}{b}}(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}-1\right)\\&=A(1+i)^{a}\left(\left({\frac {1+i'}{1+i}}\right)^{a}-1+{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {1+i'}{1+i}}\right)^{-b}-{\frac {a}{b}}\right).\\\end{aligned}}$$

• 令 $x={\frac {1+i'}{1+i}}$。那麼，$P(i')=A(1+i)^{a}\left(x^{a}+{\frac {a}{b}}x^{-b}-1-{\frac {a}{b}}\right)$。
• 由於 $A(1+i)^{a}>0$（$A$ 和 $(1+i)^{a}$ 都是正數），要確定 $P(i')>0$，只需考慮函式 $f(x)=x^{a}+{\frac {a}{b}}x^{-b}-1-{\frac {a}{b}}$。
• 由於 $f'(x)=ax^{a-1}-ax^{-b-1}=a(x^{a-1}-x^{-b-1})$，並且 $a-1>-b-1$（因為 $a>-b,\quad a,b>0$）
• $f(x){\begin{cases}>0,&x>1;\\=0,&x=1;\\<0,&x<1.\end{cases}}$.
• 這是因為當 $x>1$ 時，$f(y)=x^{y}$ 嚴格遞增，當 $x=1$ 時，始終等於 1，而當 $x<1$ 時，嚴格遞減。
• 這表明 $f(x)$ 在 $x=1$ 處具有全域性最小值，值為零（根據一階導數檢驗），因此當 $x\neq 1$ 時，$f(x)>0$，這意味著當 $i'\neq i$（等同於 $x\neq 1$）時，$P(i')>0$。

$\Box$

精確匹配

精確匹配 現金流是一種簡單的免疫策略。顧名思義，在這種策略中，每個負債現金流出都與現金流入精確匹配，這意味著現金流入的金額等於負債現金流出的金額，並且現金流入發生在與負債現金流出相同的時間。

使用合適的零息債券來精確匹配負債是精確匹配的一種常見方法。然而，這不是唯一的方法，有時合適的零息債券可能不可用。使用合適的息票債券是精確匹配的另一種方法。

由於精確匹配，用於精確匹配的現金流入的現值等於負債現金流出的現值。