金融數學 FM/利率決定因素

利率掉期

金融數學 FM
利率決定因素

隨機利率

學習目標

考生將瞭解有關利率決定因素、利率組成部分的關鍵概念，以及如何進行相關計算。

學習成果

考生將能夠

定義和識別利率的組成部分，包括：實際無風險利率、通貨膨脹率、違約風險溢價、流動性溢價和期限風險溢價。
解釋利率的組成部分如何在各種環境中應用，例如商業貸款、抵押貸款、信用卡、債券和政府證券。
解釋美聯儲和 FOMC 在執行財政政策和貨幣政策中的作用，以及美聯儲和 FOMC 使用的工具，包括設定聯邦基金利率目標、設定準備金率和設定貼現率。
解釋利率按期限差異的理論，包括流動性偏好（機會成本）、預期、偏好棲息地和市場分割。
解釋利率如何在不同國家之間有所不同（例如，美國與加拿大）。
在有和沒有通貨膨脹保護的貸款背景下識別實際利率和名義利率，並計算通貨膨脹變化對有通貨膨脹保護的貸款的影響。

利率的組成部分

與通貨膨脹相關的組成部分

在本小節中，我們假設沒有風險（可能存在通貨膨脹）。在此假設下，利率的組成部分包括實際（無風險）利率和通貨膨脹率。我們在金融數學 FM/貨幣的時間價值章節中討論過這些內容。

與風險相關的組成部分

在現實中，貸款存在風險，特別是，一些借款人可能無法按時全額償還借款金額和要求的利息。這種行為被稱為違約。由於違約的可能性，利率包含違約風險溢價。因此，在年通貨膨脹率為 $j$ 、年違約風險溢價為 $\beta$ 和年實際無風險利率為 $r$ 的情況下，年名義利率 $i=(1+r)(1+\beta )(1+j)-1\Rightarrow i\approx r+\beta +j$ .

如果利率和溢價是連續複利的，則名義利率 $i$ 由 $e^{i}=e^{r}e^{\beta }e^{j}\Rightarrow i=r+\beta +j$ 計算。在這種情況下，近似符號被等號替換。

除了違約風險溢價之外，還有期限風險溢價（或期限溢價），這種溢價通常存在於長期證券中，因為長期持有證券存在不確定性。類似地，如果這種溢價也包含在利率中，那麼它將被新增到名義利率的表示式中。

流動性溢價

除了風險和通貨膨脹之外，還有流動性溢價，因為證券有時可能流動性低，這意味著它不能輕易地買入或賣出，因此需要對這種流動性低進行補償。類似地，如果這種溢價也包含在利率中，那麼它將被新增到名義利率的表示式中。

美國央行的（簡化）作用

這裡的討論是簡化的，因為美國央行的實際運作非常複雜，超出了本書的範圍。

首先，由於銀行需要向中央銀行存入一定數量的資金（由於存款準備金率），即使某些參與方無法履行交易義務，中央銀行也可以介入並允許交易。因此，中央銀行對於支付系統的執行至關重要。

其次，中央銀行可以充當最後貸款人，這意味著銀行可以在緊急情況下向中央銀行借款（例如，許多客戶提取資金，而銀行的儲備無法應對提取金額）。除了中央銀行，銀行也可以在需要時向同行借款，但同行可能不願意或無法這樣做，在這種情況下，銀行仍然可以向中央銀行借款，這就是它被稱為最後貸款人的原因。

第三，美國中央銀行由理事會、區域儲備銀行和聯邦公開市場委員會（FOMC）組成。特別是，FOMC 制定有關央行資本市場活動的（貨幣）政策。此類政策常用的工具包括目標聯邦基金利率、設定存款準備金率和設定貼現率（這與金融數學 FM/貨幣的時間價值中的貼現率不同）。

定義。 （聯邦基金利率）聯邦基金利率是指擁有超額準備金的銀行將其資金貸給其他銀行的利率。

定義。 （貼現率）貼現率是指銀行可以直接從聯邦儲備系統借款的利率。

對於存款準備金率，它表示每家銀行需要維持的最低準備金金額。

貨幣政策的影響

當（目標）聯邦基金利率或貼現率上升（下降）時，銀行執行準備金不足的成本會更高（更低），因此它們有動力在準備金中保留更多（更少）資金。結果，提供的貸款減少（增加），導致貨幣供應減少（增加）。隨著貨幣供應減少（增加）（假設貨幣需求保持不變），貸款利率會上升（下降）（瞭解宏觀經濟學可以幫助理解這種推理）。

當存款準備金率下降（上升）時，銀行執行準備金不足的成本會更高（更低），因此它們有動力在準備金中保留更多（更少）資金。結果，提供的貸款減少（增加），導致貨幣供應減少（增加）。隨著貨幣供應減少（增加）（假設貨幣需求保持不變），貸款利率會上升（下降）（瞭解宏觀經濟學可以幫助理解這種推理）。

解釋利率隨期限變化的原因的理論

預期理論

根據預期理論，短期和長期投資的相對吸引力將根據未來利率變動的預期而變化。

對未來利率下降（上升）的預期使得短期投資減少（增加^[1]）吸引力，而長期投資增加 ^[2] （減少）吸引力。

因此，由於需求的變化，短期投資的收益率將上升（下降），而長期投資的收益率將下降（上升）。

流動性偏好理論

根據流動性偏好理論（或機會成本理論），期限較長的債券比期限較短的債券對利率變動的敏感度更高，因為投資者偏好流動性，因此在將資金鎖定在長期債券之前，會對長期債券的回報更加敏感。此外，假設風險厭惡型投資者將要求對長期債券更大的風險和損失進行補償（以更高的收益率的形式）。這可以解釋長期債券相對於短期債券提供的部分額外回報。

市場分割理論

根據市場分割理論，不同期限的債券對不同投資者具有吸引力，他們選擇在期限上與其負債相似的資產。也就是說，如果投資者的負債主要是短期（長期），那麼投資者將選擇短期（長期）債券。

因此，對債券的需求在不同期限上會有所不同。此外，債券的供應也會因期限而異，這是由於債券發行者（例如公司和政府）採用的策略造成的。

結果，由於供求力量的不同，有效利率將隨期限而變化。

偏好棲息地理論

該理論類似於市場分割理論，但對於該理論，市場中的每個貸方和借方只是偏好特定期限的債券，並且願意購買或出售其他期限的債券，前提是存在足夠的激勵措施，並且

練習。我們已經提到，有效利率通常在期限更長時會上升。

美國和加拿大利率之間的差異

報價基礎

美國國庫券和加拿大國庫券有不同的傳統報價基礎。

定義。 （美國國庫券的報價利率）美國國庫券的報價利率為 ${\frac {360}{\text{days to maturity}}}\times {\frac {\text{dollar amount of interest}}{\text{maturity value of the treasury bill}}}.$

備註。

"到期天數" 指的是到期日剩餘的天數。特別是，對於 $n$ -天國庫券，計算報價利率時的到期天數發行時為 $n$ 天。

定義。 （加拿大國庫券的報價利率）加拿大國庫券的報價利率是 ${\frac {365}{\text{days to maturity}}}\times {\frac {\text{dollar amount of interest}}{\text{current price of the treasury bill}}}.$