金融數學 FM/隨機利率

隨機利率

在這本書中，我們主要討論了確定性（即非隨機）利率，我們將簡要介紹隨機（即隨機）利率，透過將利率視為一個隨機變數。我們使用以下符號

• $I_{t}$: 從$t-1$到$t$的期間的利率隨機變數
• $\mu _{t}$: $I_{t}$的均值
• $\sigma _{t}^{2}$: $I_{t}$的方差

單筆投資的積累

示例. （一些簡單的公式）對於從$t-1$到$t$的期間內，一筆單位資金的積累，

• 均值 為 $\mathbb {E} [1+I_{t}]=1+\mathbb {E} [I_{t}]=1+\mu _{t}$（對於非隨機利率，它是$1+i_{t}$）
• 方差 為 $\operatorname {Var} (1+I_{t})=\operatorname {Var} (I_{t})=\sigma _{t}^{2}$
• 第二矩為 $\mathbb {E} [(1+I_{t})^{2}]=\operatorname {Var} (1+I_{t})+(\mathbb {E} [1+I_{t}])^{2}=\sigma _{t}^{2}+(1+\mu _{t})^{2}$

單筆支付在多個時間段內的累計

Assume that $I_{t}$ are independent for $t=1,\ldots ,n$. Let $S_{n}$ be the accumulation of a single unit sum of money invested for $n$ years, i.e. $$S_{n}=(1+I_{1})\cdots (1+I_{n}).$$ Then, by independence, $${\begin{aligned}\mathbb {E} [S_{n}]&=(1+\mu _{1})\cdots (1+\mu _{n})\\\mathbb {E} [S_{n}^{2}]&=\mathbb {E} [(1+I_{1})^{2}\cdots (1+I_{n})^{2}]\\&=\mathbb {E} [(1+I_{1})^{2}]\cdots \mathbb {E} [(1+I_{n})^{2}]\\&=\left(\sigma _{1}^{2}+(1+\mu _{1})^{2}\right)\cdots \left(\sigma _{n}^{2}+(1+\mu _{n})^{2}\right)\\\operatorname {Var} (S_{n})&=\mathbb {E} [S_{n}^{2}]-(\mathbb {E} [S_{n}])^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}+(1+\mu _{1})^{2}\right)\cdots \left(\sigma _{n}^{2}+(1+\mu _{n})^{2}\right)-(1+\mu _{1})^{2}\cdots (1+\mu _{n})^{2}\end{aligned}}$$ For simplicity, further assume that $I_{t}$'s are i.i.d. (identically and independently distributed), with mean $\mu$ and variance $\sigma ^{2}$. Then, $${\begin{aligned}\mathbb {E} [S_{n}]&=\underbrace {(1+\mu )\cdots (1+\mu )} _{n{\text{ copies}}}=(1+\mu )^{n}\\\mathbb {E} [S_{n}^{2}]&=(\sigma ^{2}+(1+\mu )^{2})^{n}=(1+2\mu +\mu ^{2}+\sigma ^{2})^{n}\\\operatorname {Var} (S_{n})&=\mathbb {E} [S_{n}^{2}]-(\mathbb {E} [S_{n}])^{2}=(1+2\mu +\mu ^{2}+\sigma ^{2})^{n}-(1+\mu )^{2n}\end{aligned}}$$

對數正態分佈投資的累計

關於對數正態分佈的一些資訊

如果 $Y=\ln X$ 服從均值為 $\mu$ 方差為 $\sigma ^{2}$ 的正態分佈，那麼 $X$ 服從 對數正態 分佈，其 引數（並非 通常意義上的均值/方差）為 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$。以下是引數為 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$ 的對數正態分佈隨機變數的一些性質：

• 機率密度函式 (pdf)：$f(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)$
• 均值：$\mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
• 方差：$\operatorname {Var} (X)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)=(\mathbb {E} [X])^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)$

使用對數正態分佈的動機

讓我們將對數正態分佈應用於隨機利率。如果$1+I_{t}$ 遵循引數為$\mu$ 和$\sigma ^{2}$的對數正態分佈，則 $\ln(1+I_{t})$ 將服從均值為$\mu$ 方差為$\sigma ^{2}$的正態分佈。

然後，考慮一個單位投資在$n$ 個時間單位內的累積的自然對數，我們有 $$\ln S_{n}=\ln((1+I_{1})\cdots (1+I_{n}))=\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n}).$$ 假設 $I_{t}$ 是獨立的，$\ln(1+I_{t})$ 也將是獨立的。如果我們進一步假設 $1+I_{t}$ 也服從對數正態分佈，引數為 $\mu _{t}$ 和 $\sigma _{t}^{2}$，則 $\ln(1+I_{t})$ 服從正態分佈，均值為 $\mu$，方差為 $\sigma ^{2}$x，而獨立正態隨機變數的和 $\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n})$ 服從正態分佈 均值為 $\mu _{1}+\cdots +\mu _{n}$，方差為 $\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}$ （這是關於正態分佈的一個眾所周知的結果）。也就是說，$$\ln S_{n}=\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n})\sim N(\mu _{1}+\cdots +\mu _{n},\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}).$$ 因此，如果我們將對數正態分佈應用於隨機利率，我們可以得到這個很好的結果（$\ln S_{n}$ 服從簡單的正態分佈）。

示例

示例。 (a) 已知 $1+I$ 服從對數正態分佈，引數為 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$，$\mathbb {E} [I]=0.1$ 且 $\operatorname {Var} (I)=0.005$。計算 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$。

解： (a) 根據給定的均值和方差，我們有 $\mathbb {E} [1+I]=1+0.1=1.1$ 和 $\operatorname {Var} (1+I)=0.005.$ 因此，$${\begin{aligned}&&&{\begin{cases}e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}=1.1\\e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)=0.005\\\end{cases}}\\&\Rightarrow &1.1^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)&=0.005\\&\Rightarrow &\sigma ^{2}&=\ln \left(1+{\frac {0.005}{1.1^{2}}}\right)\approx 0.004124\\&\Rightarrow &e^{\mu +0.004124/2}&=1.1\\&\Rightarrow &\mu &\approx \ln(1.1)-0.004124/2\approx 0.09325.\end{aligned}}$$

(b) 進一步假設 $I_{t}$ 是第 $t$ 年的年收益率，$I_{t}$ 相互獨立同分布，且服從上述分佈。計算 $100$ 在 $10$ 年後的累計值的均值和方差，以及累計值小於 $220$ 的機率。

解決方案： (b) 由於 $\ln(1+I_{t})\sim N(0.09325,0.004124)$，$$\ln(S_{1}0)\sim N(10(0.09325)+10(0.004124))=N(0.9325,0.04124).$$ 所以，$S_{1}0$ 服從 對數正態 分佈，引數為 $\mu =0.9325$ 和 $\sigma ^{2}=0.04124$。因此，其均值和方差如下：

• 均值：$\mathbb {E} [100S_{10}]=100e^{0.9325+0.04124/2}\approx 259.3790$
• 方差：$\operatorname {Var} (100S_{10})=100^{2}e^{2(0.9325+0.04124)}(e^{0.04124}-1)\approx 2832.5273$

然後，我們可以透過 $${\begin{aligned}\mathbb {P} (100S_{10}<220)&=\mathbb {P} (\ln S_{10}<\ln 2.2)\\&=\mathbb {P} \left(Z<{\frac {\ln 2.2-0.9325}{\sqrt {0.04124}}}\right)\qquad {\text{in which }}Z\sim N(0,1)\\&=\mathbb {P} (Z<-0.709303)\\&\approx 0.23885\qquad {\text{from standard normal table}}\end{aligned}}$$ 計算機率。