形式邏輯/謂詞邏輯/目標
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命題邏輯處理完整的句子及其之間的真值函式關係。謂詞邏輯處理更細粒度的邏輯特徵。本頁將非正式地描述謂詞邏輯捕獲的英語邏輯特徵。
我們區分謂詞和項。最簡單的項是簡單的名稱，例如“一”，“蘇格拉底”或“珀伽索斯”。簡單的謂詞將屬性歸因於命名的物件。在
- 蘇格拉底是禿頭的。
“蘇格拉底”是一個名字，“是禿頭的”是謂詞。我們可以非正式地用以下方式展示它的邏輯結構
- 禿頭(蘇格拉底)
還有一些更復雜的項，例如“3減2”，“蘇格拉底的父親”和“3除以0”。可以非正式地用以下方式展示這些的邏輯結構
- 減(3, 2)
- 父親(蘇格拉底)
- 商(3, 0)
這些更復雜的項可以用來構建句子，例如
- 3減2是偶數。
- 蘇格拉底的父親是禿頭的。
- 3除以零是奇數。
它們的邏輯結構可以非正式地用以下方式展示
- 偶數(減(3, 2))
- 禿頭(父親(蘇格拉底))
- 奇數(商(3, 0))
還有一些複雜的謂詞，通常稱為關係。使用此類謂詞的句子包括
- 3大於2
- 蘇格拉底是蘇格拉底的父親和蘇格拉底的母親的孩子。
- 珀伽索斯踢了布塞法洛斯。
它們的邏輯結構可以非正式地展示為
- 大於(3, 2)
- 孩子(蘇格拉底, 父親(蘇格拉底), 母親(蘇格拉底))
- 踢(珀伽索斯, 布塞法洛斯)
名稱和其他項是指特定物件。我們也可以一般性地談論所有物件或某些（至少一個）物件。以下是一些例子
- 所有數字都是質數。
- 有些數字是質數。
- 有些數字不是質數。
- 沒有數字是質數。
前三個的邏輯結構可以非正式地展示為
- 所有x（如果數字(x)，那麼質數(x)）。
- 一些x（數字(x)和質數(x)）。
- 一些x（數字(x)和非(質數(x))）。
第四個可以將它的邏輯結構展示為
- 所有x（如果數字(x)，那麼非質數(x)。
或者，等效地，
- 非（一些x（數字(x)和質數(x))）。
請注意，我們計算
- 所有獨角獸都有角
因為沒有獨角獸，所以是微不足道的真理。此外，我們認為“一些”意味著至少一個（而不是像預期的那樣，至少兩個）。因此，我們認為
- 一些質數是偶數
是正確的，即使兩個是唯一的偶數質數。
諸如'x'和'y'之類的變數有助於我們保持以下內容的清晰。
- 所有x所有y（如果人(x)和人(y)，那麼愛(x, y)）
- 所有x所有y（如果人(y)和人(x)，那麼愛(y, x)）
- 這些是等效的，兩者都表明每個人都愛每個人。
- 一些x一些y（人(x)和人(y)和愛(x, y)）
- 一些x一些y（人(y)和人(x)和愛(y, x)）
- 這些是等效的，兩者都表明有人愛某人。
- 所有x（如果人(x)，那麼一些y（人(y)和愛(x, y)））
- 一些y（人(y)和所有x（如果人(x)，那麼愛(x, y)））
- 第一個說每個人都愛某人（或其他人——他們不一定要愛同一個人）。第二個說有人被每個人愛。因此，第二個，但不是第一個，要求一個被普遍愛的人。
- 所有x（如果人(x)，那麼一些y（人(y)和愛(y, x)））
- 一些y（人(y)和所有x（如果人(x)，那麼愛(y, x)））
- 第一個說每個人都被某人（或其他人——不一定是同一個人）愛。第二個說這個人愛每個人。因此，第二個，但不是第一個，要求一個普遍的愛人。
按照慣例，我們可以暫時限制正在考慮的物件的範圍。例如，可以採用只談論人們的政策。這樣的慣例將使我們有希望樂觀地認為
- 所有x一些y愛(y, x)
而不希望杯子和碟子因此被愛。句子的真假可以在此類慣例或政策的背景下進行評估。在不同的背景下，不同的慣例可能被證明更方便。例如，只談論人們的政策會阻止我們說
- 愛(亞歷山大大帝, 布塞法洛斯)
但是，將領域擴大到包括馬和人，確實允許我們這樣說。
我們將討論的物件範圍稱為域，有時稱為論域。在一種域的背景下為真的句子在另一種域的背景下可能為假。
按照慣例開發的謂詞邏輯，以及這裡將要開發的謂詞邏輯，有兩個限制。
- 首先，謂詞邏輯假設至少存在一個事物。例如，我們不能將論域限制為獨角獸。
- 其次，名稱和複雜項必須是指域中的物件。因此，我們不能使用諸如
- 珀伽索斯
- 3除以0
此外，如果我們將域限制為自然數，我們就不能使用諸如
- 2減3
失去“3除以0”反過來要求謂詞邏輯避免使用“除以”形成任何項。失去“2減3”要求謂詞邏輯避免使用“減”形成任何項，除非是在包含負數的域的背景下。