動力學基礎

什麼是動力學？

dunamis 和 energeia 是亞里士多德使用的術語，通常翻譯為力量和現實性。dunamis 也被翻譯為潛能。energeia 與 ergon 相關，即行為或工作。

潛能和現實性是不可分割的。一切現實都是潛能的現實化。反之，如果沒有現實性，就不會有潛能，因為潛能總是指做某事的潛能。

動力學是研究潛能及其現實化的科學。

存在總是意味著舞蹈。潛能的現實化總是運動。因此，動力學是研究運動及其原因的科學。

現代物理學家所說的勢能類似於亞里士多德所說的 dunamis。

根據現代物理學，功率與勢能密切相關，因為它是單位時間內可以提供的能量量。

動能是運動質量的能量。它類似於亞里士多德的 energeia。

力是導致質量運動變化的原因。它們類似於亞里士多德的驅動原因。

從現代意義上說，動力學既是研究質量運動的科學，也是研究能量或功率及其各種形式的科學，同時也是研究力的科學。

動能比勢能更現實，因為它更明顯，更易於觀察。但我們也可以說勢能是現實的。因為要現實，或者僅僅是存在，就是要能夠對其他存在產生影響。不能對其他存在產生影響的存在不能以物理形式存在。因此，一個存在的實際存在由它能做什麼，由它的潛能來定義。這就是它的存在，即使它還沒有做到，即使它永遠不會做到。

要現實，就要有潛能。潛能總是指對其他現實存在或對自身產生影響的潛能。因此，潛能總是指對其他存在的潛能或對自身潛能產生影響的潛能。

存在的一切都有動量

物理上存在的一切總是具有動量。

證明：物理上存在的一切總是作用於其他物理上存在的物體。一個從未作用於其他物理存在的物體永遠不會有任何影響，也永遠無法被觀察到。它將不存在於物理上。當一個物體作用於另一個物體時，它會改變它的運動，因此它的動量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 對於質量為 $m$ 且速度為 $\mathbf {v}$ 的物體。但總動量總是守恆的。如果一個物體增加了另一個物體的動量，它就會失去動量。如果一個物體減少了另一個物體的動量，它就會獲得動量。因此，沒有動量的物體不能作用於另一個物體，也不能以物理形式存在。

具有動量是物理存在的必要條件。因此，物理量通常由動量定義，特別是力能能量。

• 力是動量的變化率。

• 能量是力在路徑上的功。

什麼是力？

如果一個物體不受任何力的作用，它會保持其質量和速度向量，因此保持其動量。它的運動是直線勻速運動。

牛頓第一定律:

不受任何力作用的物體的運動是勻速直線運動。

這是運動的慣性定律。如果沒有任何因素導致速度向量變化，它就不會變化。

從這個第一定律中，我們推斷出，如果一個物體的動量不恆定，那麼就存在一個力導致它的動量發生變化。

動力學基本定律:

力是動量的變化率。

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

其中 $\mathbf {F}$ 是作用於動量為 $\mathbf {p}$ 的物體的力。

牛頓物理學假設物體的質量與其速度無關，但相對論則不然。對於與光速相比很小的速度，質量的變化可以忽略不計。如果我們忽略 $m$ 作為速度 $\mathbf {v}$ 的函式的變化，我們得到了牛頓第二定律

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

其中 $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ 是質量為 $m$ 的物體的加速度，它受到一個力 $\mathbf {F}$。

什麼是能量？

我們從力的功來定義能量：物體獲得或損失的能量就是作用於它的力的功。當物體克服力運動時，它必須放棄能量。當物體被力推動時，它會獲得能量。

我們可以在冰場上輕鬆地移動重物，因為我們不必克服重力。另一方面，垂直提起重物需要很大的努力，因為我們必須克服重力。在第一種情況下，重力不做功，因為運動是水平的。在第二種情況下，重力做功，因為運動是垂直的。

力 f 對沿直線運動一段距離 d 的物體的功 W 等於力向量 f 和位移向量 d 的數量積

W = f.d = f d cos $\theta$

其中 $\theta$ 是力向量 f 和位移向量 d 之間的夾角。f 和 d 是向量 f 和 d 的長度。

我們可以根據牛頓的理論認為重力是一種力。然後我們理解，我們必須提供能量來提升重物，因為我們必須施加一個力來克服重力。重力是垂直的。它對水平運動不做功，因為重力垂直於運動方向，cos 90° = 0。水平移動重物所需的唯一能量是克服摩擦力的功。

重力 $m\mathbf {g}$ 對質量為 $m$ 的物體從高度 $h$ 提升的功是

$W=-mgh$

在 W = f.d = f d cos $\theta$ 中，如果 $\theta$ > 90°，則 cos $\theta$ < 0 且 W < 0。力的功為負值，因為它是物體在克服力運動時損失的能量。這種損失的能量可能是動能 E = 1/2 mv²。速度 v 減小，因為物體被力制動。如果 $\theta$ < 90°，cos $\theta$ > 0 且 W > 0。力的功為正值，因為它是物體被力推動和加速時獲得的能量。

在國際單位制 (MKSA，米、千克、秒、安培) 中，能量的單位是焦耳 (J)。一焦耳是在一牛頓 (N) 的力作用下移動物體一米的功。

1 J = 1 N. 1 m = 1 N.m

地球表面的重力約為 9.8 N，幾乎為 10 N。因此，一焦耳大約是將 1 千克的物體舉高十釐米所需的能量。

動力學的根本定律$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$以及從力做功得到的能量定義告訴了我們如何尋找能量以及如何利用能量。能量存在於力的作用範圍內。要獲取能量，只需讓力做功。因此$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$為我們揭示了力量的秘密。例如，我們可以從$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$中得到愛因斯坦方程E = m c²，該方程揭示了原子核的能量。

運動質量的動能

考慮兩個由彈簧連線的質量$m_{1}$和$m_{2}$。

當彈簧被壓縮或拉伸時，它會對兩個質量施加兩個力$F_{1}$和$F_{2}$，一個作用在$m_{1}$上，另一個作用在$m_{2}$上。如果彈簧的質量相對於它連線的質量可以忽略不計，那麼我們始終有$F_{1}=-F_{2}$。

我們假設每個質量只受到彈簧力的作用，並且它們在彈簧被拉伸後從靜止狀態相互釋放。

(動畫)

根據動力學的根本定律

$F_{1}={\frac {dp_{1}}{dt}}$

其中$p_{1}=m_{1}v_{1}$是$m_{1}$的動量。 $v_{1}$是它的速度。

作用在質量 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 上的力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 始終與運動方向一致。力 $F_{1}$ 對質量 $m_{1}$ 做一小段位移 $dx_{1}$ 所做的功為

$dW_{1}=F_{1}dx_{1}$

力 $F_{1}$ 在兩個時刻 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 之間所做的功為

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dW_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}dx_{1}$

因此，質量 $m_{1}$ 所獲得或損失的能量為

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}{\frac {dx_{1}}{dt}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}v_{1}dt$

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}v_{1}dt=\mathbf {[} {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}\mathbf {]} _{t_{1}}^{t_{2}}$

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 是質量為 $m$ 的物體以速度 $v$ 運動的動能。

當一個力作用在物體運動方向上時，它透過增加物體的速度來賦予它動能。

當一個力作用在物體運動的反方向上時，它透過減慢物體的速度來消耗它的動能。

當一個力作用在物體運動方向的垂直方向上時，物體保留它的動能，因此速度向量的幅值 $v$ $\mathbf {v}$ 保持不變。

愛因斯坦認識到所有能量都有質量，即使是動能。因此，物體的質量取決於它的速度。上面的計算並不精確。物體運動越快，它的質量就越大，加速它就越困難，因為由力產生的加速度與作用在物體上的質量成反比。物體永遠無法達到光速，因為它需要無限的能量才能做到這一點。

飛輪是一個圍繞其軸線旋轉的大質量輪子。質量特別放在輪緣上，因為那裡是速度最快的地方。如果摩擦力很小，飛輪可以長時間保持其旋轉速度。因此，它充當能量儲存器，因為它保留了旋轉動能。

彈簧的勢能

彈簧可以作為能量儲備。例如，16 毫米攝像機在沒有電的情況下工作，並且只需使用彈簧就可以連續拍攝幾分鐘，彈簧可以透過曲柄上弦。

要拉伸或壓縮彈簧，作用在其上的兩個力與彈簧兩端的運動方向相同，因此我們必須將能量傳遞給彈簧。我們必須消耗能量，因此我們必須努力拉伸或壓縮彈簧。

在平衡位置附近的剛度為 $k$ 的彈簧在彈簧的左側和右側分別對物體施加兩個力 $F_{1}=-F$ 和 $F_{2}=F$，壓縮或拉伸它

$F=-kx$

其中 $x$ 表示彈簧長度相對於其平衡長度 $l_{0}$ 的變化。這是胡克彈性定律。它對所有固體都適用，前提是它們受到的力使它們變形很小。彈簧的設計即使在被大幅度變形的情況下也遵守胡克定律。

如果 $dx_{1}$ 和 $dx_{2}$ 是彈簧兩端的小位移，則壓縮或拉伸彈簧必須提供的功 $dW$ 為

$dW=-F_{1}dx_{1}-F_{2}dx_{2}=-F(dx_{2}-dx_{1})=-Fdx$

$dx=dx_{2}-dx_{1}$ 因為 $x=x_{2}-x_{1}-l_{0}$.

為了將彈簧延伸或壓縮長度 $x$，因此需要為其提供能量

$W=\int _{0}^{x}dW=-\int _{0}^{x}Fdx=\int _{0}^{x}kx$ $dx={\frac {1}{2}}kx^{2}$

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$ 是一個剛度為 $k$ 的彈簧的彈性勢能，其中 $x$ 是其相對於平衡長度的長度變化。

物質的內聚力是電的。彈性勢能是電勢能。它是彈簧電子和原子核產生的電場能量的差異。當我們壓縮或拉伸彈簧時，我們增加了儲存在其電子和原子核產生的電場中的電勢能。

能量守恆

當彈簧使質量運動時，它的彈性勢能轉化為質量的動能。當質量的運動壓縮或拉伸彈簧時，它們的動能轉化為彈簧的彈性勢能。

令 $E=E_{c1}+E_{p}+E_{c2}$ 為兩個質量的動能和彈簧的彈性勢能之和。

${\frac {dE}{dt}}={\frac {d}{dt}}[{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}]={\frac {1}{2}}[2m_{1}v_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}+2kx{\frac {dx}{dt}}+2m_{2}v_{2}{\frac {dv_{2}}{dt}}]$

現在

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}=v_{2}-v_{1}$

所以

${\frac {dE}{dt}}=-Fv_{1}-F(v_{2}-v_{1})+Fv_{2}=0$

因此，彈簧和兩個質量之間共享的總能量 $E$ 是守恆的。

能量守恆定律:

物理系統獲得或損失的能量始終等於它從另一個物理系統接收或釋放的能量。

我們也可以這樣說：

當兩個物理系統相互傳遞能量時，它們的總能量不會改變。

動量守恆

物體的動量 $\mathbf {p}$ 始終是其質量 $m$ 和其速度 $\mathbf {v}$ 的乘積。

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

設 $p$ 為兩個質量 $m_{1}$ 和 $m_{1}$ 的總動量。

$p=p_{1}+p_{2}$

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dp_{1}}{dt}}+{\frac {dp_{2}}{dt}}=F_{1}+F_{2}=0$

所以兩個質量的總動量是守恆的。

透過彈簧，質量為 $m_{1}$ 的物體對質量為 $m_{2}$ 的物體所施加的力 $F_{2}$ 等於且方向相反於質量為 $m_{2}$ 的物體對質量為 $m_{1}$ 的物體所施加的力 $F_{1}$，如果我們忽略彈簧的質量。 $m_{1}$ 對 $m_{2}$ 的作用等於且方向相反於 $m_{2}$ 對 $m_{1}$ 的反作用力。因此，總動量守恆等效於作用力與反作用力的相等。

作用力與反作用力相等定律

如果兩個物體 A 和 B 相互作用，則 A 對 B 施加的力等於且方向相反於 B 對 A 施加的力。

定理：我們不能透過拉扯自己的靴子去月球。

證明：手對靴子施加向上的力，該力的大小等於且方向相反於靴子對手的向下力。兩者的合力為零，因此無法產生向上的加速度。

作用力與反作用力相等定律是牛頓第三定律。只有當 A 和 B 接觸時，它才是嚴格精確的。然後，兩個相等且方向相反的力在同一點施加，即接觸點。但是如果 A 和 B 相距很遠，它們就不能立即對彼此運動的變化做出反應，因為不存在瞬時超距作用。資訊和物理實體總是以有限的速度運動，永遠不會以無限的速度運動。

動量守恆定律比作用力與反作用力相等定律更好，因為它避免了瞬時超距作用的問題。

動量守恆定律:

一個物理系統獲得或損失的動量總是等於它從另一個物理系統接收或釋放的動量。

我們也可以這樣說：

當兩個物理系統相互傳遞動量時，它們的總動量不會改變。

角動量

一個繞自身旋轉且不受任何外力作用的物體，將保持其旋轉運動。旋轉軸和旋轉速度不會改變。這就是在自由落體情況下旋轉陀螺所發生的情況。車輪的旋轉慣量使運動中的腳踏車保持平衡。靜止的腳踏車會倒下，因為不再存在旋轉慣量。

角動量是一種旋轉動量。它對於恆定的旋轉運動就如同動量對於均勻直線運動一樣。與動量一樣，在沒有外力作用的情況下，它總是守恆的。一個物體損失或獲得的角動量總是另一個物體獲得或損失的角動量。

動量和能量傳遞定律

一個物體不能傳遞超過它所擁有的動量、角動量和能量。如果它傳遞了所有的能量，它就不復存在，因為它的質量是能量。

要傳遞動量和角動量，它必須施加力。要傳遞能量，它也必須施加力，因為能量的變化伴隨著動量的變化。

當一個力垂直於一個質量的速度時，它不做功。它改變了動量向量，但沒有改變動量向量的長度，因此它不會增加它施加的力的物體的動能。施加此力的物體在不損失其能量的情況下改變了動量。

物理學的基本定律決定了物體可以互相施加的力。因此，它們是動量、角動量和能量傳遞定律。

場的能量和動量

場是在時空中的每個點定義的物理量。

不存在瞬時超距作用。兩個相距很遠的相互作用的物體總是透過力場來相互作用，其中資訊以有限的速度傳播，該速度總是等於或小於光速。例如，兩個由彈簧連線的質量透過彈簧中的壓力場相互作用。在壓力場中，資訊以聲速傳播。

基本力是粒子之間的力。當一個物體 A 對一個物體 B 施加力 F 時，F 是所有粒子 x 對所有粒子 y 施加力的向量和，其中所有粒子 x 屬於 A，所有粒子 y 屬於 B。

粒子之間的力場是電磁場，它對粒子施加電磁力，以及核力場，它解釋了原子核的穩定性和不穩定性。放射性是核不穩定性的結果：不穩定的原子核會自發衰變，沒有任何力作用導致它們破裂。

根據牛頓物理學，萬有引力是所有質量之間的一種力場，但資訊的傳播速度是無限的，因為萬有引力定律要求瞬時超距作用。根據愛因斯坦的廣義相對論，引力不是一種力，而是一種時空扭曲的場，其中資訊傳播速度永遠無法超過光速。

像其他任何物理存在的物體一樣，力場也具有能量、動量和角動量。當對粒子施加力時，它總是會改變其動量，也可能改變其能量和角動量。這些變化是由力場與作用於其上的粒子之間的動量、能量和角動量轉移引起的。

物理系統的能量或動量始終是構成該系統的粒子的能量或動量的總和，加上這些粒子產生的場的能量或動量的總和。

我們通常透過將勢能分配給受其力作用的粒子來計算場的能量。例如，我們將電勢能歸因於帶電體。它是所有帶電粒子的電勢能之和。但是，這種勢能不是粒子攜帶的能量，因為它不會改變它們的質量。它是電場的能量，集中在粒子周圍的空間中。計算粒子的勢能只是計算它們產生的場能量的一種方法。

質量的能量

當且僅當不存在一個慣性參考系，粒子在該參考系中靜止，粒子才處於運動狀態。

當且僅當存在一個慣性參考系，粒子在該參考系中靜止，粒子才處於靜止狀態。

靜止的粒子具有靜止質量。

任何物理存在的物體都具有質量，因為任何物理存在的物體都具有動量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$。運動的粒子具有質量，就像靜止的粒子一樣，但它們沒有靜止質量，因為它們沒有靜止狀態。

光子是運動的粒子。光子的質量是

$m_{p}={\frac {p}{c}}={\frac {E}{c^{2}}}$

其中 $E$ 是它的能量，$p$ 是它的動量，$c$ 是光速。

即使靜止的質量也是一種場的能量，是使它靜止的力場。粒子的靜止質量類似於力在使粒子從非靜止狀態變為靜止狀態的路徑上所做的功。對於電中性粒子，這項功等於

$E=m_{0}c^{2}$

其中 $m_{0}$ 是粒子的靜止質量。

對於靜止質量為 $m_{0}$ 的帶電粒子，我們必須將使它靜止的力的功加上它在其周圍產生的電場的能量，才能得到 $E=m_{0}c^{2}$。

令 $m_{n}c^{2}$ 是使帶電粒子靜止的力的功。令 $m_{C}$ 是該電荷如果孤立所產生的庫侖場的質量。

$m_{0}=m_{n}+m_{C}$

一般情況下，我們測量的是 $m_{0}$，而不是 $m_{n}$ 和 $m_{C}$ 分別，因為我們無法脫掉帶電粒子的衣服，要求它在測量其質量 $m_{n}$ 之前將庫侖場留在更衣室裡。

當帶電粒子與其反粒子（例如電子和正電子）完全重疊時，它們共同產生的電場在空間的任何地方都等於零。如果它們處於靜止狀態，那麼對的質量$m$ 因此將是

$m=2m_{n}$

因為粒子和反粒子的庫侖場的能量$m_{C}c^{2}$ 相等，它們的靜止質量$m_{0}$ 也是。

產生一對粒子-反粒子對所需的最小能量等於$2m_{0}$ 而不是$2m_{n}$。當產生一對時，差值$m_{0}-m_{n}$ 是粒子或反粒子的最小動能，以便產生該對。

產生後，帶電粒子及其反粒子彼此遠離。因此它們產生偶極電場。它們在失去部分動能的同時，將能量傳遞給該場。

粒子的動能$E_{c}$ 始終是其質量乘以 c² 與其靜止質量乘以 c² 之差

$E_{c}=(m-m_{0})c^{2}$

粒子的動能取決於測量它的參考系，因此它的質量也是如此。

粒子的質量，包括其動能，始終是能量的某個或多個場，如果它是有靜止質量的粒子，則為使它靜止的場的能量，加上它在其周圍產生的能量場。

當我們計算物理系統的能量時，我們必須將與之相關的所有場的能量加起來，包括使粒子靜止的力場。粒子不可能沒有它們產生的場或產生它們的場而存在，因為它們是場的量子。只有場及其量子，即粒子。

因此，物理學的基本定律始終是一個場到另一個場的動量、能量和角動量傳遞定律。當帶電粒子的動能轉換為電勢能時，使粒子靜止及其動能的場將其部分能量傳遞給電磁場。

動能的傳遞

具有靜止質量的電中性物體的質量是使它靜止的場的質量。它是其靜止質量與其動能質量的總和。當一個質量將動能傳遞給另一個質量時，它會失去一部分質量。使它靜止的場的能量的一部分轉移到使另一個質量靜止的場。

假設兩個相等的質量$m_{1}$ 和$m_{2}$，$m_{1}=m_{2}=m$，以速度$v_{1}=v$ 和$v_{2}=-v$ 相等且相反，在參考系 R 中測量。

如果質量是完全彈性的，則它們在反彈後保持其動能

$v_{1out}=-v_{1}$

所以

${\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1out}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}$

$m_{2}$ 也是一樣。

在一個相對於 R 以速度 $v$ 運動的參考系 R' 中，$m_{1}$ 最初處於靜止狀態。反彈後，它獲得的動能等於 ${\frac {1}{2}}m_{1}(2v)^{2}=2mv^{2}$，這是由質量 $m_{2}$ 放棄的。

在一個相對於 R 以速度 $-v$ 運動的參考系 R'' 中，$m_{2}$ 最初處於靜止狀態。反彈後，它獲得的動能等於 $2mv^{2}$，這是由質量 $m_{1}$ 放棄的。

從 R' 的角度來看，$m_{1}$ 將動能傳遞給了 $m_{2}$。從 R'' 的角度來看，$m_{2}$ 將動能傳遞給了 $m_{1}$。從 R 的角度來看，$m_{1}$ 和 $m_{2}$ 都保留了它們的動能。這是怎麼發生的？

能量始終具有質量。質量始終是場量子化的質量。如果粒子從一個參考系的 A 點運動到 B 點，那麼從所有參考系的角度來看，它們都從 A 點運動到 B 點，因為粒子在 A 點或 B 點的存在與視角無關。因此，動能的傳遞似乎不應該依賴於視角。

不安分的粒子以光速傳遞能量。它們的能量 $E=pc$ 取決於參考系，因為它們的動量 $p$ 取決於參考系，這是由多普勒效應造成的。當這兩個質量相互反彈時，存在兩個粒子流，一個從 $m_{1}$ 流向 $m_{2}$，另一個從 $m_{2}$ 流向 $m_{1}$。從 R 的角度來看，這兩個能量流完全相等。這就是為什麼這兩個質量都保持其動能的原因。但是，從 R' 或 R'' 的角度來看，這兩個流由於多普勒效應而不會傳遞相同的能量。差異是能量從一個質量轉移到另一個質量。

最小作用原理

我們可以透過以下三個原理的推理來找到所有物理系統動力學的基底方程

• 動能 $E_{c}$ 是每單位時間的開支。

• 相互作用能 $E_{i}$ 是每單位時間的收入。

• 所有物理系統自然遵循的路徑都是最小損失或最大收益的路徑，即總收入與總支出之差最大的路徑。

物理系統遵循的路徑 AB 是最小損失的路徑，如果它是這樣的：從 A 到 B 的所有數學上可能的路徑都有更高的損失。它是最大收益的路徑，如果它是這樣的：從 A 到 B 的所有數學上可能的路徑都有更低的收益。

差值 $E_{c}-E_{i}=L$ 被稱為系統的拉格朗日量。積分 $\int _{A}^{B}L$ $dt=\int _{A}^{B}E_{c}$ $dt-\int _{A}^{B}E_{i}$ $dt=S$ 被稱為作用量。它具有能量乘以時間的量綱。它是損失的類比：總支出減去總收入。它的相反數 $-S$ 是收益的類比。最小損失或最大收益的原理被稱為最小作用原理。

時間是可逆的。自然界不區分過去和未來。

證明：如果 AB 是最大收益的路徑，則在相反方向上相同的路徑 BA 也是自然可能的，因為它是最小損失的路徑。

這個定理對於微觀運動的基本方程幾乎總是正確的。時間的箭頭，從過去到未來，不會出現在這些方程中，而只會出現在由統計物理學和熱力學給出的宏觀運動方程中。

最小作用原理並沒有規定所有自然可能的路徑都朝著增加收益的方向發展，因為時間是可逆的，它只規定所有自然可能的路徑都最大限度地提高收益或最小限度地減少損失。

我們可以從最小作用原理中找到牛頓的三個基本定律，前提是我們選擇了合適的拉格朗日量。

考慮兔子和烏龜之間從 A 到 B 的比賽。烏龜以恆定的速度前進，而兔子則停下來小睡。為了與烏龜同時到達，兔子必須彌補失去的時間。所以他氣喘吁吁地到達，而烏龜則平靜地到達。我們可以計算出烏龜為拉格朗日量 $L=E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 選擇了最小作用的路徑，而兔子並沒有將損失降到最低。因此，我們找到了牛頓的第一定律：在沒有力的作用下，運動總是勻速直線運動。沒有力反映在拉格朗日量中沒有相互作用能量。

A 點和 B 點是配置空間中的點。配置由系統中所有物體的運動位置定義。如果只有一個運動點，則配置空間是真實的、三維空間。如果有 n 個運動點，則配置空間有 3n 個維度。

最佳路徑由兩個點 A 和 B 以及從 A 開始到達 B 的延遲時間決定。最小作用的路徑是在具有相同端點和相同延遲時間的所有路徑中最佳的路徑。A 就像一個固定時間的起點，而 B 是一個會面點，同樣也是固定時間的。最小作用的路徑是在約定的時間到達會面點的最佳路徑。

當我們知道最小作用路徑時，就可以計算出整個路徑上的速度，從而得到A點和B點的速度。因此，我們獲得了B點最終速度和A點初始速度之間的函式關係。這樣，我們就可以根據初始速度計算出經過一定延遲後的最終速度。透過讓延遲趨於零，我們就可以找到系統各點速度的變化率，從而得到它們動量變化率，也就是作用在它們身上的力。