電磁學/E = m c²

光對反射或吸收它的表面施加壓力。我們可以用麥克斯韋方程組（1865）來計算這種輻射壓力，因為它是由入射波對它所激發的電荷產生的磁力。勒貝德夫在 1900 年觀察並測量了這種光壓。

光所施加的壓力錶明它具有質量。我們可以利用麥克斯韋方程組來計算光子的質量。我們發現 $m={\frac {E}{c^{2}}}$ 其中 $E$ 是它的能量。

人們常常認為 $E=mc^{2}$ 是相對論的一個定律，但這是錯誤的。本章從麥克斯韋和牛頓方程組推匯出光的 $E=mc^{2}$ 的證明。

相對論（1905）表明，所有能量都有質量，甚至包括運動的物體的動能，而不僅僅是光。動能的質量在牛頓方程中沒有被考慮。

光的質量

光有質量。

證明：讓我們考慮兩個相同能量的光子，它們在一個靜止的盒子裡水平地來回彈射。每次彈射時，光子都會對鏡子施加壓力。這就是輻射壓力，可以從麥克斯韋方程組計算出來。如果我們透過施加一個力 $F$ 使盒子運動，盒子的加速度為 $a={\frac {F}{m}}$，根據牛頓物理學。盒子的速度改變了光子對盒壁施加的壓力。如果盒子的速度是從左到右，那麼從右到左的光子對左邊的壓力要大於從左到右的相同能量的光子對右邊的壓力。當盒子加速時，它會失去一部分動量，這些動量傳遞給從盒壁彈回來的光子。因此，它會被它包含的光子暫時減速。因此，裝滿光子的盒子比在相同力的作用下相同的空盒子加速度更小。因此，裝滿光子的盒子比相同的空盒子具有更大的質量。因此，光子具有質量。

如果我們用 1 公斤的光子裝滿一個盒子，我們會給它一個能量，大約等於一顆核彈爆炸時釋放的能量。當一顆核彈爆炸時，它很大一部分初始質量轉化為光，特別是 X 射線。

光速 $c$ 近似等於 $300$ $000$ $km/s=3.10^{8}$ $m/s$。所以 $c^{2}=(3.10^{8})^{2}m^{2}/s^{2}$ 近似等於 $10^{17}m^{2}/s^{2}$。 $10$ $MJ=10^{7}$ $J$ 大致相當於每天食用的麵包提供的能量。這只是一個物理學家對數量級的估算，並非營養學醫生的建議。對於物理學家來說，一和二幾乎相等，但對於醫生來說則並非如此。一枚核彈釋放的能量，大約為 $1$ $kg.10^{17}m^{2}/s^{2}=10^{17}J$，因此大致相當於所有人類一天所消耗的食物能量。此計算適用於鈾彈。氫彈的威力遠大於鈾彈。

人們有時會說光子沒有質量，但這是錯誤的，因為它們的能量就是質量。我們還會說它們的靜止質量為零，但這也錯誤，因為沒有參考系可以使它們處於靜止狀態，因此它們的靜止質量是無法定義的。在方程 $E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$ 中，$m_{0}=0$ 適用於光子，因為 $E=pc</math>but<math>m_{0}$ 沒有物理意義。

宇宙中不存在靜止或運動的零質量粒子。宇宙中存在的一切都有質量。所謂零質量粒子，例如光子，並非無質量粒子，而是無靜止狀態的粒子。對於任何觀察者來說，它們都永遠不會處於靜止狀態。

人們有時會說希格斯玻色子賦予了粒子質量，沒有它，粒子將是無質量的。但這錯了。它賦予了粒子靜止狀態，沒有它，粒子將永遠無法找到靜止狀態。

靜止質量

所有粒子的質量，無論是有靜止狀態還是無靜止狀態，都取決於測量它們的參考系。但有靜止狀態的粒子具有特權參考系，即它們處於靜止狀態的參考系。在這些參考系中，它們始終具有相同的靜止質量 $m_{0}$。它是一個特定於粒子的常數，在其整個存在期間保持不變。對於所有觀察者來說，它都是相同的，前提是他們使用以下公式進行測量

$m=\gamma m_{0}$

其中 $m$ 是測量到的質量，$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，$v$ 是粒子的速度，$c$ 是光速。 ${\frac {1}{\gamma }}$ 是長度在運動方向上的收縮係數。

無靜止質量的粒子，因為它們沒有靜止的參照系。

所有存在的事物都具有動量。

所有物理上存在的事物都具有動量。

證明：物理上存在的事物總是在其他物理存在的物體上發生作用。 一個從未在其他物理物體上發生作用的物體，將永遠不會產生任何影響，也永遠無法被觀察到。 它將不存在物理意義上的存在。 當一個物體作用於另一個物體時，它會改變其運動狀態，因此它的動量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$，其中 $m$ 為物體的質量，$\mathbf {v}$ 為其速度。 但總動量總是守恆的。 如果一個物體增加了另一個物體的動量，它就會失去動量。 如果一個物體減少了另一個物體的動量，它就會獲得動量。 因此，一個沒有動量的物體不能作用於另一個物體，也不能存在物理意義上的存在。

光子和任何無靜止質量的粒子的動量可以用公式 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 計算，就像其他所有粒子一樣

$\mathbf {p} =m\mathbf {c}$

其中 $m$ 是粒子的質量，$\mathbf {c}$ 是其速度向量。 速度向量 $\mathbf {c}$ 的大小 $c$ 對所有無靜止質量的粒子來說都是一樣的，在所有參照系中。 它就是光速。

由於所有存在的事物都具有動量，因此所有存在的事物都具有質量。

E = pc

如果我們接受愛因斯坦（1905）提出的光子的基本方程，這些方程是量子物理學的第一個方程

$E=h\nu$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

其中 $h$ 是普朗克常數，

我們立即得到

$E=pc$

因為

$c=\lambda \nu$

其中 $\lambda$ 是光子的波長，而 $\nu$ 是它的頻率。

我們也可以直接從麥克斯韋方程組中證明 $E=pc$，而無需藉助量子物理，可以透過計算電磁場的能量和動量。這種計算在本節末尾給出，使用了電磁波的坡印廷向量。

愛因斯坦如果沒有首先理解麥克斯韋，他就不會提出他的基本方程。

E = mc²

如果我們承認光子的動量是 $p=mc$，其中 $m$ 是它的質量，我們立即從 $E=pc$ 中得到

$E=mc^{2}$

是質量為 $m$ 的光子的能量。

計算被困在盒子中的光子的質量表明，實際上

$m={\frac {p}{c}}$

是動量為 $p$ 的光子的質量。

多普勒效應

要理解光子質量的計算，需要了解多普勒效應。

我們可以透過聽警笛聲來判斷警察是正在靠近還是正在遠離。他們靠近時聲音更尖銳，而遠離時聲音更低沉。這就是聲波的多普勒效應。

假設有一挺機關槍，每秒發射 $f$ 顆子彈，子彈速度為 $V$。 $f$ 代表發射頻率。假設有一個紙靶，相對於機關槍以速度 $v$ 運動。子彈擊中紙靶的頻率 $f'$ 與發射頻率 $f$ 不一樣，因為如果 $v$ 朝向機關槍方向，子彈到達目標的時間越來越短，反之，如果 $v$ 朝著相反方向，子彈到達目標的時間越來越長。這就是機關槍的多普勒效應。

$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$

證明：在持續時間 $T$ 內，目標移動的距離為 $|v|T$，其中 $|v|$ 是 $v$ 的絕對值。彈丸之間的間距為 $L={\frac {|V|}{f}}$。因此，在距離 $|v|T$ 上有 ${\frac {|v|T}{L}}=|{\frac {v}{V}}|fT$ 個彈丸。在持續時間 $T$ 內，機槍發射了 $fT$ 發彈。如果目標瞄準彈丸，則 ${\frac {v}{V}}<0$，它將遇到 $fT+|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ 個彈丸。如果目標遠離彈丸移動，則 ${\frac {v}{V}}>0$，它將遇到 $fT-|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ 個彈丸。

$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$ 是非相對論多普勒效應的公式。其證明預設了牛頓物理學中的速度疊加定理。相對論計算更為精確，但即使 $V=c$，只要 $v$遠小於 $c$，也能得到幾乎相同的結果。

如果光線的頻率降低，其顏色會向紅色偏移。如果頻率升高，顏色會向藍色偏移。多普勒效應會改變光的顏色。

星系離我們越遠，其光線紅移越明顯，這意味著它們離我們運動得越快。哈勃對這種紅移的觀測是宇宙膨脹的證明。

輻射壓

光線會對吸收或反射它的表面施加壓力。如果我們考慮到它的質量，就很容易理解這一點，因為它就像一個被我們接住的球，如果它被吸收，或者一個反彈的球，如果它被反射。

考慮一個質量為 $m$，速度為 $v$ 的球，它在一個靜止的牆上彈跳。我們假設速度垂直於牆壁。如果球是完全彈性的，它反彈後的速度與它反彈前的速度大小相等，方向相反。其動量的變化為

$p_{1}-p_{2}=mv_{1}-mv_{2}=mv+mv=2mv$

在時間 $dt$ 內，動量的變化為 $Fdt$，其中 $F$ 是作用在球上的力。

$F={\frac {dp}{dt}}$

所以

$p_{2}-p_{1}=\int dp=\int Fdt$

牆壁對粒子的作用力 $F$ 與粒子對牆壁的作用力 $-F$ 相反。所以

$p_{1}-p_{2}=2mv=\int -Fdt$

是球作用在牆壁上的力的積分。這個積分與球作用在牆壁上的壓力的積分成正比。因此，球作用在牆壁上的壓力與它的質量和速度的乘積成正比。

球體施加的壓力效果僅取決於其動量。如果我們在不改變其乘積的情況下改變其質量和速度，則壓力的積分是相同的。動量為 $p$ 的光子與速度為 $v$ 且質量為 $m={\frac {p}{v}}$ 的球體具有相同的效果。這表明給光子一個質量 $m={\frac {p}{c}}$ 使得

$p=mc$

如果我們朝一個球體移動，當我們接收到它或當它反彈時，我們感受到的壓力比我們靜止時更大。同樣地，光對錶面的壓力取決於接收壓力的表面的速度。

鏡子上的輻射壓力取決於鏡子的速度，這與反彈質量對運動壁施加的壓力相同。

證明

設 R 為壁靜止的參考系，R' 為相對於 R 以速度 $-V$ 運動的參考系。在 R' 中，壁的速度為 $V$，球體的速度為 $u=v+V$（反彈前）和 $-v+V$（反彈後）。

因此，其動量變化始終為

$p1-p2=m(v-V-(-v-V)=2mv=2m(u-V)$

對於相同的反彈球速度 $u$，壁感受到的壓力隨著 $u-V=u(1-{\frac {V}{u}})$ 的增加而增加。

光子施加的壓力取決於其動量 $p$，這與反彈球相同。根據光子的基本方程

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h\nu }{c}}$

根據多普勒效應公式，如果 $\nu _{0}$ 是光子的頻率，$\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})$ 是它在以速度 $V$ 遇到它的鏡子的參考系中的頻率。

$p={\frac {h\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})}{c}}$

如果光子的動量固定為$p={\frac {h\nu _{0}}{c}}$，它對以速度$V$ 與之相遇的牆壁所施加的壓力會隨著$1-{\frac {V}{c}}$ 而變化，就像速度為$u$ 的彈跳球所施加的壓力隨著$1-\ frac{V}{u}$ 變化一樣。

這個證明是用牛頓物理學方程和非相對論多普勒效應公式給出的。相對論計算更精確，並導致相同的定理。

計算困在盒子裡的光子的質量

從左到右施加一個水平力$F$，作用時間為$\Delta$，作用於一個最初靜止的盒子，盒子中包含兩個光子，最初具有相同的能量$E$，它們在盒子的牆壁上水平反彈。

我們假設力是在時間$t=0$ 時施加的，此時兩個光子在盒子中間相遇，遠離牆壁，並且持續時間$\Delta t$ 足夠短，以至於光子在$\Delta t$ 內沒有時間到達鏡子。當它被施加時，力$F$ 因此使盒子運動，就好像它是空的，因為光子遠離牆壁。

設$m$ 為空盒子的質量。它在施加力$F$ 之後的速度為

$v(\Delta t)=\int _{0}^{\Delta t}dv=\int _{0}^{\Delta t}adt=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt$

其中$a={\frac {dv}{dt}}$ 是盒子的加速度。

當光子從鏡子上反彈時，它們會減慢盒子的速度，因為多普勒效應對它們中的每一個都以相反的方向起作用。從右到左運動的光子比從左到右運動的光子施加更大的壓力。

能量和動量守恆定律使得能夠計算出盒子在不再被它包含的光子減速時的速度$v(\infty )$。

設 $E_{b}(t)$ 為空盒子的動能，$p_{b}(t)$ 為其動量。設 $E_{l}(t)$ 為兩個光子的總能量，$p_{l}(t)$ 為其總動量。

$E_{b}(0)=0$, $p_{b}(0)=0$

$E_{l}(0)=2E$, $p_{l}(0)=0$

$E_{b}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)$, $p_{b}(\Delta t)=mv(\Delta t)$

$E_{l}(\Delta t)=2E$, $p_{l}(\Delta t)=0$

能量守恆要求

$E_{b}(\infty )+E_{l}(\infty )=E_{b}(\Delta t)+E_{l}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)+2E$

動量守恆要求

$p_{b}(\infty )+p_{l}(\infty )=p_{b}(\Delta t)+p_{l}(\Delta t)=mv(\Delta t)$

假設 $p'_{0}$ 是箱子中光子在參考系 R' 中的動量，在該參考系中，光子在完成制動時處於靜止狀態。該光子在箱子運動的參考系 R 中的動量為

$p_{0}=p'_{0}(1+{\frac {v(\infty )}{c}})$ 或 $p_{0}=-p'_{0}(1-{\frac {v(\infty )}{c}})$

取決於光子是從右到左移動還是從左到右移動。

所以

$p_{l}(\infty )=2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}$

$p_{b}(\infty )=mv(\infty )$

所以

$mv(\infty )+2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}=mv(\Delta t)$

設 $m'$ 為箱子及其兩個光子的質量。

$v(\infty )=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m'}}dt={\frac {m}{m'}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt={\frac {m}{m'}}v(\Delta t)$

$m'-m$ 是箱子中兩個光子的質量。

$m'-m=m({\frac {v(\Delta t)}{v(\infty )}}-1)={\frac {mv(\Delta t)-mv(\infty )}{v(\infty )}}=2{\frac {p'_{0}}{c}}$

$E=pc$ 因此

$m'-m={\frac {2E'}{c^{2}}}$

其中 $E'$ 是光子在 R' 中的能量，在制動箱子之後。

如果 $v(\infty )$ 趨於零，$E'$ 趨於 $E$。因此，光子的質量 $m_{p}$ 為

$m_{p}={\frac {E}{c^{2}}}$

其中 $E$ 是它的能量。

當 $v(\infty )$ 不是無窮小量時，這種非相對論性計算會導致一個錯誤且荒謬的結果：光子的初始質量取決於作用在盒子上的力。但是，這種計算忽略了盒子動能的質量。這就是為什麼我們必須取動能趨於零的極限，才能得到正確的結果。

電磁場的動量

當電磁場對電荷施加洛倫茲力時，它會改變電荷的動量。總動量守恆要求場的動量同時且與粒子的動量相反方向改變。因此，我們可以從麥克斯韋方程組計算出，場的動量密度是由坡印廷向量獲得的

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

$\mathbf {E}$ 是電場，$\mathbf {B}$ 是磁場，$\mu _{0}$ 是一個取決於單位選擇的常數。 $\mu _{0}={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

電磁場 $\mathbf {E}$，$\mathbf {B}$ 的動量密度 ${\frac {\mathbf {p} }{v}}$ 為

${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {S} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

對於電磁波，$B={\frac {E}{c}}$ 且 $\mathbf {B}$ 垂直於 $\mathbf {E}$ ，所以

${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c}}\epsilon _{0}E^{2}$

根據麥克斯韋方程組、洛倫茲方程組和能量守恆定律，可以計算出電磁場的能量密度為

$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2})$

對於電磁波

$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}+{\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}})E^{2}=\epsilon _{0}E^{2}$

所以

$u={\frac {pc}{v}}$

其中 $p$ 是場在體積 $v$ 中動量 $\mathbf {p}$ 的大小。

如果現在 $E$ 是相同體積內的場能

$E=vu=pc$

偶極子輻射的電場強度用顏色表示。箭頭表示坡印廷向量。

另請參閱

相對論

引力