視覺物理與數學/萬有引力

導致球體落到地面的力與使月球保持在軌道上的力相同。衛星和彈丸都服從同一規律，即萬有引力定律。

行星的軌道

萬有引力使行星圍繞太陽執行。

自由落體物體的軌跡取決於其初始速度向量

但受到萬有引力作用且具有相同速度向量並透過同一點的質量始終具有相同的軌跡

這就是土星有光環的原因

萬有引力定律

兩個質量相互之間施加的萬有引力與其質量乘積成正比，與其距離的平方成反比。這兩個力，即 A 對 B 施加的力和 B 對 A 施加的力，都沿著連線兩個質量 A 和 B 的中心線的方向，並且始終是吸引力。

兩個球體之間的萬有引力

兩個球體由於萬有引力相互吸引而相互彈開。

引力場

場是在空間中每個點每個時刻都可能變化的物理量。例如，溫度就是一個場。萬有引力定律指出，質量 $m$ 不斷在整個空間中產生一個引力場 $\mathbf {g}$

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{\frac {m}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是從質量 $m$ 到所考慮點的向量， $r$ 是其長度， $\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ 是 $\mathbf {r}$ 方向上的單位長度向量， $G$ 是一個取決於測量單位選擇的常數。

重力場 $\mathbf {g}$ 對質量 $m'$ 所施加的力為 $\mathbf {F} =m'\mathbf {g}$。

因此，質量 $m$ 對質量 $m'$ 所施加的力為 $-G{\frac {mm'}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$。

在地球上，物體的重量是地球對它施加的重力。

重力場 $\mathbf {g}$ 就像一個數學中介，用於計算一個質量對另一個質量施加的力。

兩個質量對第三個質量施加的重力是它們各自單獨施加的力的總和。

兩顆恆星相互繞轉。

根據牛頓的理論，萬有引力無處不在。它是一個充滿整個空間的力場。該場可以從一個標量場中推匯出來，即重力勢場，這裡用顏色的漸變表示。白線是力線，始終沿著重力的方向。

慣性質量和引力質量的相等性

根據相對論，不存在瞬時超距作用。因此，一個質量不能瞬時對另一個質量施加重力。必須考慮力的傳播時間。這就是萬有引力定律只是一個近似的原因。為了更精確地計算重力的影響，我們需要廣義相對論。

**愛因斯坦在 1908 年的偉大想法：**如果一個電梯自由落體，它的乘客在墜落過程中會處於失重狀態，直到電梯撞到地面。

史蒂芬·霍金乘坐模擬自由落體的飛機

為了理解這個偉大想法，需要了解以下定理。

如果一個物體只受重力作用，它的加速度不依賴於它的質量。

證明：根據萬有引力定律，重力場 $\mathbf {g}$ 對質量 $m$ 所施加的力為 $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$。根據牛頓運動定律，該力 $\mathbf {F}$ 產生加速度 $\mathbf {a}$，使得 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$。因此，$\mathbf {a} =\mathbf {g}$，無論質量 $m$ 為何。

在 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 中，$m$ 是慣性質量，或慣性系數。它是單位力產生的加速度的倒數。在 $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$ 中，$m$ 是萬有引力質量，或引力電荷。它等於單位引力場施加的力。

牛頓物理學並沒有強加慣性質量和重質量的相等。它們可能是不同的。與電場一樣，如果引力質量（引力場中電荷的等效量）不同於慣性質量，那麼引力場可能對不同物體的同一位置產生不同的加速度。

慣性質量和萬有引力質量相等意味著自由落體電梯由於萬有引力引起的加速度始終等於乘客的加速度。這就是為什麼乘客在自由落體電梯中無法觀察到重力的影響。一切就像沒有受到任何力的作用，就像失重一樣。

我們感覺到自己的重量，因為我們感覺到地面對我們腳部的力。我們感覺到我們攜帶的物體的重量，因為我們感覺到它對我們手部或背部的力。但這些地面和我們腳部之間，或我們手部和它們所攜帶的重物之間的排斥力不是重力，而是在相互排斥的物體接觸表面產生的電力。

根據廣義相對論，我們無法感覺到重力，因為它不是一種力。萬有引力不存在。正如牛頓所認為的那樣，並沒有任何力將我們向下拉。只有地面向上推我們的力。

自由落體電梯的地板對乘客的腳部沒有施加任何力，因此乘客沒有受到任何力的作用，就像失重一樣。

參考系的選擇

根據牛頓，自由落體電梯中的乘客受到重力的作用。根據愛因斯坦，它不受任何力的作用。區別在於參考系的選擇。

參考系是一個岩石，或任何固體物體，我們可以相對於它定位自己並進行距離測量。透過在岩石上放置三個垂直平面，我們可以用三個數字 x、y、z 來識別空間中的所有點，這些數字測量它們與這三個平面的距離。假設事件在岩石上發生一次。此事件定義時間 t = 0。然後，我們可以用從時間 t = 0 開始的持續時間來識別所有事件的時間 t。因此，參考系使得可以用四個數字 t、x、y、z 來識別時空中的所有事件。

速度和加速度的測量取決於參考系的選擇。如果我們在一個正在移動的旋轉木馬上測量加速度，那麼結果是否相同取決於參考系是地面還是旋轉木馬。

有些參考系比其他參考系更好。地面參考系比旋轉木馬的參考系更適合研究力。相對於恆星不旋轉的岩石比旋轉的岩石更好。我們可以不看恆星就能分辨出自身旋轉的岩石和不旋轉的岩石。我們只需要放置兩個由彈簧連線的質量。如果岩石自身旋轉，並且其旋轉軸不平行於彈簧，那麼這兩個質量會由於旋轉而分開。

測量力的良好參考系是所有自身不旋轉且不受任何力的作用的岩石。它們被稱為慣性系。

不受任何力作用的運動質量

根據牛頓物理學，慣性系相對於彼此處於靜止或勻速直線運動狀態，因為萬有引力被認為是一種力。如果運動的軌跡是直線並且速度恆定，則該運動是勻速直線運動。

根據愛因斯坦的廣義相對論，慣性系是所有自身不旋轉的岩石，並且相對於彼此處於自由落體狀態，因為萬有引力不被認為是一種力。

月球繞地球的運動是一種自由落體運動。更一般地說，所有彼此之間不施加任何力的物體都處於相對於彼此的自由落體狀態，因為萬有引力不被認為是一種力。空氣中的墜落不是自由落體運動，因為有空氣阻力。真空中的墜落是自由落體運動。

牛頓物理學和廣義相對論之間的區別在於慣性系的選取。

根據廣義相對論，地面參考系不是慣性系，因為它沒有處於自由落體狀態。它等效於加速火箭的參考系。

我們感覺到重力，因為我們相對於自由落體參考系正在加速。

一個自身不旋轉的岩石，在穿過地球中心的隧道中自由落體，是一個測量地球內部力的良好參考系。

參見

相對論

E = m c²