分形/康託集

康託集

康託集是實數軸上一個區間的子集 - 通常是 單位區間，[0,1]。它是透過移除區間的中三分之一部分而構建的，但保留端點（見 開區間）。然後，這個迭代步驟被反覆應用於剩餘部分，直到“無限”並將該步驟應用於所有剩餘的線段。最終（在無限長的時間和無限次迭代之後），它將原始集合縮減為一組不同的點。右邊的圖片顯示了源集合

在直線上取一個機率測度（類似於確定在任何給定時間原始直線長度的多少剩餘），我們可以看到每次迭代都乘以 1/3 減少。因此，剩餘的長度隨著迭代次數的增加而呈指數衰減至零。可以透過檢查函式 $f(n)=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}$ 來描述該測度的極限行為，注意它的極限位於零。事實上，康託集，如上所述，在無限次迭代後直線的極限殘差是一組不同的點。由於這些點沒有長度，這被描述為一個零測度集。它也是一個無限集，因為每一步都會建立 2^n 個更多的端點，而這些端點正是集合中剩下的所有東西。它也是一個不可數集，這意味著自然數（“整數”或“計數”數）不能透過允許它們被映射回的過程單一地對映到它。