分形/連分數

            "Do not worry about your problems with mathematics, I assure you mine are far greater." Albert Einstein

符號

廣義形式

連分數 是以下形式的表示式：

$a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}$

其中 

• $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 都是整數、有理數、實數或複數。
• $a_{0}$、$a_{1}$ 等被稱為連分數的係數或項

變體或型別 

• 如果 $b_{n}=1$ 對所有 $n$ 成立，則該表示式稱為簡單連分數。
• 如果該表示式包含有限項，則稱為有限連分數。
• 如果該表示式包含無限項，則稱為無限連分數。

因此，以下所有內容都說明了有效的有限簡單連分數

有限簡單連分數的示例

公式	數值	備註
$\ a_{0}$	$\ 2$	所有整數都是退化情況
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}$	$\ 2+{\cfrac {1}{3}}$	最簡單的分數形式
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}$	$\ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}$	第一個整數可以是負數
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$	$\ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}$	第一個整數可以是零

簡化形式

通常假設所有分數的分子 b 都是 1。這種形式被稱為 **簡單** 或 **正則連分數**, 或者說是在 **規範形式** 中。

如果實數是一個分數 ( x < 1), 那麼 $a_{0}$ 是零，並且符號被簡化

  $[0;a_{1},a_{2},a_{3}]=[a_{1},a_{2},a_{3}]$

有限

符號

 $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]$

每個有限連分數代表一個有理數 ${\frac {p}{q}}$

  ${\frac {p}{q}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]$

如果正實分數 x 是有理數，則存在 **兩個不同的** 連分數展開

  $[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}-1,1]$

其中

• $a_{n}>1$
• 通常選擇第一個，較短的形式作為規範表示
• 第二種形式比第一種形式長一個

無限

符號

 $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\ddots }}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

每個無限連分數都是一個無理數 $\alpha$

 $\alpha =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\ddots }}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

透過連分數中有限項得到的 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ 有理數被稱為 **第 n 個收斂**

  ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{{\ddots }+{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]$

因為 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ 有理數序列收斂於無理數 $\alpha$

 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}=\alpha$

換句話說，無理數 $\alpha$ 是收斂序列的極限。

分子 p 和分母 q 可以使用相應的遞迴關係找到

$p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2}$

$q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}$

所以

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {a_{n}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}}}$

關鍵詞

• 無理數$\alpha$的連分數收斂序列${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$
• 收斂序列
• 連分數展開
• 無理數的有理逼近
• 用有理數 p/q 對實數 r 的最佳有理逼近

如何在計算機程式中使用它

• 十進位制數（實數或有理數）到連分數
  • 算盤 CAS
  • Maxima CAS：cf (expr) 將 expr 轉換為連分數。

Maxima CAS

在 Maxima CAS 中，可以使用 cf 和 float(cfdisrep())

(%i2) a:[0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%o2) [0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i3) t:cfdisrep(a)
(%o3) 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))))))))))))))))))))))
(%i4) float(t)
(%o4) 0.618033988957902

計算第 n 個收斂

(%i10) a;
(%o10) [0, 3, 2, 1000, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
(%i11) a3: listn(a,3);
(%o11) listn([0, 3, 2, 1000, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
                                                                         1], 3)
(%i12) a3: firstn(a,3);
(%o12)                             [0, 3, 2]
(%i13) cf3:cfdisrep(a3);
                                       1
(%o13)                               -----
                                         1
                                     3 + -
                                         2
(%i14) r3:ratsimp(cf3);
                                       2
(%o14)                                 -
                                       7
(%i15) 

示例

• 數論
  • 無理數的逼近，參見 旋轉數，在 西格爾圓盤 的情況下
• 基於複平面上的連分數的函式
• “連分數可以看作是一系列莫比烏斯變換” Alan F. Beardone

幫助

• math.stackexchange 上標記為連分數的問題
• mathoverflow 上標記為連分數的問題
• 連分數 - 約翰·巴羅教授
• 數字國度中的混沌：連分數的秘密生活 作者：約翰·D·巴羅

另請參閱

• 二進位制展開（實數的表示）
• 分形迭代
• 連分數的動力學
  • 連分數的動力學和單峰對映的揉捏序列 作者：克勞迪奧·博納諾，卡洛·卡米納蒂，斯特凡諾·伊索拉，朱利奧·蒂奧佐

參考文獻

• 日曆與連分數 作者：安妮·布羅伊斯（法語）
• 連分數的動力學和單峰對映的揉捏序列 作者：克勞迪奧·博納諾，卡洛·卡米納蒂，斯特凡諾·伊索拉，朱利奧·蒂奧佐