分形/數學/LIC

線積分卷積 (LIC)

• 透過對積分曲線成像來視覺化密集的流場
• "模擬當細沙區域被強風吹過時會發生什麼" (劉佔平)

方法

• 透過輸入紋理覆蓋域
• 使用指定的濾波器核心沿路徑線模糊（卷積）輸入紋理
• 沿流線塗抹紋理

字典

• 向量場的積分曲線 = 向量場的場線 = 穩定（時間無關）流的流線
• 在數學中，卷積是兩個函式上的一種特殊型別的二元運算。這裡使用了離散卷積

元素

輸入

• 紋理，通常是靜止的白噪聲（隨機紋理）
• 向量場：由對映$v:R^{2}\to R^{2}$定義的靜止向量場

核心：

• 一維矩陣（陣列）權重
• 具有奇數核心大小，以確保影像中心存在有效的整數 (x, y) 座標
• 歸一化。歸一化定義為核心中每個元素除以所有核心元素的總和，因此歸一化核心的元素總和為單位。這將確保修改後的影像中的平均畫素與原始影像中的平均畫素一樣亮。
• 通常是簡單的箱式濾波器
• 通常是對稱的（各向同性的）= 卷積核心在其零點處是對稱的。

卷積公式（當使用核心矩陣時，卷積不是矩陣乘法）

輸出影像 = 輸入向量場的最終 LIC 影像。它是輸入紋理的塗抹版本，其中塗抹的方向由向量場決定。

向量場

來源

• 合成數據
• 實驗資料

方法

• 值陣列
• 定義向量場的函式

演算法

LIC 影像的一般步驟

• 對於輸出 2D 陣列的每個畫素，計算其顏色
• 將完整的輸出陣列儲存為 2D 靜態影像檔案

對 LIC 影像的每個畫素執行的子步驟

• 從輸出陣列中選擇畫素 $p_{0}(x,y)$
• 轉到向量陣列
  • 選擇畫素$p_{0}(x,y)$處的值
  • 找到區域性場線段

維度

• 所有影像（紋理、域）具有相同的尺寸 =

場線段

• 場線是根據向量場計算的
• 位置段 $l(s)=(i,j)+sV(i,j)$ 其中 $s\in \left\{-L,-L+1,...,0,...,L-1,L\right\}$
• 畫素強度段 $I(l(s))$ 長度為 2L + 1

 $I(i,j)\to O(i,j)$

元組

在數學中，元組是元素的有限有序列表（序列）。

屬性 兩個n-元組相同的一般規則是

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ 當且僅當 $a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}$.

因此，元組具有使其區別於集合的屬性。

1. 元組可以包含同一元素的多個例項，因此
   元組 $(1,2,2,3)\neq (1,2,3)$；但集合 $\{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}$.
2. 元組元素是有序的：元組 $(1,2,3)\neq (3,2,1)$，但集合 $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$.
3. 元組具有有限數量的元素，而集合或多重集可能具有無限數量的元素。

加權平均數

輸出畫素的顏色使用加權平均數計算。

非空有限元組資料的加權平均數

• $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$，
• 對應的非負權重 $\left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)$

是

${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$

因此，權重高的資料元素對加權平均數的貢獻大於權重低的資料元素。

權重不能為負。有些權重可以為零，但不能全部為零（因為不允許除以零）。

版本

線積分卷積 (LIC)

• 定向線積分卷積（OLIC）
  • 定向線積分卷積的快速渲染（FROLIC）

實現

• RaymondMcGuire 在 python 中使用 GPU 基於影像處理工具
• LIC（線積分卷積）原理和 Python 實現
• github
• LicPy