分形/數學/根

求解方程的根

根

名稱

• 根
• 零點
• 方程的解
• x截距

多項式根與係數的關係

• math.stackexchange 問題：標準二次函式的固定點及其原像的引數平面動力學
• 單值性 是研究物件在“繞過”奇點時的行為。

方法

• 牛頓法
• "視覺化複函式根的一種有用方法是繪製實部和虛部的 0 等值線。也就是說，在一個合理密集的網格上計算 z = Dm(...)，然後使用 matplotlib 的 contour 函式繪製 z.real 為 0 和 z.imag 為零的等值線。函式的根是這些等值線相交的點。" Warren Weckesser

論文

• Eunice Y. S. Chan 對類 Mandelbrot 多項式的解法進行比較

程式

• 免費線上多項式根查詢器（因式分解）
• gsl  : 多維求根示例程式
• mpsolve
• Leo C. Stein 的復多項式根玩具
• Dario A. Bini 2023 年關於 Mandelbrot 多項式根的數值計算：實驗分析

示例

• 
  包含程式碼的示例影像，展示了求解方程時精度的重要性

二次方程

一般二次方程根的求根公式

二次方程（來自拉丁語 quadratus，意為“平方”）是指具有以下形式的任何方程

$ax^{2}+bx+c=0$

其中 x 表示未知數，a、b 和 c 表示已知數，使得 a 不等於 0。如果 a = 0，則該方程為線性方程，而不是二次方程。數字 a、b 和 c 是方程的係數，可以透過分別稱它們為二次係數、線性係數和常數或自由項來區分。

儘管二次公式提供了精確解，但如果在計算過程中近似使用實數（如數值分析中通常那樣，其中實數由浮點數（在許多程式語言中稱為“實數”）近似），則結果不精確。在這種情況下，二次公式並非完全數值穩定。

當出現以下情況時：

• 根具有不同的數量級，或者等效地，當 b² 和 b² − 4ac 在數量級上接近時。在這種情況下，兩個幾乎相等的數的減法會導致較小根的有效數字損失或災難性抵消。為了避免這種情況，可以將數量級較小的根 r 計算為 $(c/a)/R$，其中 R 是數量級較大的根。
• 判別式的項 b² 和 4ac 之間可能會發生第二種抵消，即當兩個根非常接近時。這可能導致根中最多損失一半的有效數字。

當平方根內部的項（“判別式”）變為負數時，即

   if (b*b - 4*a*c < 0 ):

則沒有實根，但有復根。（參見負數的平方根）

負數或複數的平方根

如果 S 是負實數：

$\operatorname {Re} (S)<0$

$\operatorname {Im} (S)=0$

則其主平方根為

${\sqrt {S}}={\sqrt {\vert S\vert }}\,\,i\,.$

如果 S 是複數：S = a+bi，其中 a 和 b 為實數且 b ≠ 0，

則其主平方根（= 實部非負的根）為：

${\sqrt {S}}={\sqrt {\frac {\vert S\vert +a}{2}}}\,+\,\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\vert S\vert -a}{2}}}\,\,i\,.$

其中

$\vert S\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

是S的絕對值（模）。

可以透過對根進行平方來驗證。

另請參閱

• 如何基於對映f分析離散動力系統？

參考文獻

• 2018年2月，Kim Myong-Hi、Martens Marco和Sutherland Scott發表的《多項式的幾何和基於路徑提升的求根》（Geometry of polynomials and root-finding via path-lifting），《非線性》（Nonlinearity）31(2):414-457，DOI: 10.1088/1361-6544。