泛函分析/特殊主題

本章收集了一些不太適合理論主要發展方向的材料。

Fredholm 理論

我們回顧一下，Banach 空間的閉單位球是緊的當且僅當該空間是有限維的。這是下面引理的一個特例

7 引理 令 $T:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ 是一個閉緻密定義運算元。那麼以下等價。

• (i) $\dim \operatorname {ker} (T)<\infty$ 且 T 的值域是閉的。
• (ii) 每個有界序列 $f_{j}\in {\mathcal {X}}$ 當 $Tf_{j}$ 收斂時，有一個收斂的子序列。

證明：我們可以假設 T 的值域是稠密的。（i） $\Rightarrow$ (ii)：假設 $f_{j}$ 是一個有界序列，使得 $Tf_{j}$ 是收斂的。根據 Hahn-Banach 定理，X 是 $T$ 的核和另一個子空間的直和，比如，${\mathcal {W}}$。因此，我們可以寫成

$f_{j}=g_{j}+h_{j},(g_{j}\in \operatorname {ker} (T),h_{j}\in {\mathcal {W}})$

根據閉圖定理，$T:{\mathcal {W}}\to {\mathcal {Y}}$ 的逆對映是連續的。由於 $Tf_{j}=Th_{j}$，連續性意味著 $h_{j}$ 是收斂的。由於 $g_{j}$ 在定理之前的段落中包含一個收斂的子序列，$f_{j}$ 因此也具有一個收斂的子序列。(ii) $\Rightarrow$ (i)：(ii) 再次根據前一段的推論，蘊含了 (i) 的第一個條件。對於第二個條件，假設 $Tf_{j}$ 是收斂的。那麼根據 (ii) $f_{j}$ 具有一個子序列 $f_{j_{k}}$ 收斂到，例如，$f$。由於 T 的影像封閉，$Tf_{j_{k}}$ 收斂到 $Tf$。 $\square$

希爾伯特空間之間的有界線性運算元 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 被稱為 *Fredholm* 運算元，如果 *T* 和 $T^{*}$ 都滿足引理中 (i) 的條件。該定義等價於要求 *T* 的核和商空間 ${\mathfrak {H}}_{2}/T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是有限維的。事實上，如果 ${\mathfrak {H}}_{2}/T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是有限維的，那麼 $T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是一個補空間；因此，它是閉合的。 $T$ 具有閉值域意味著 $T^{*}$ 具有閉值域。對於 Fredholm 運算元而言，我們可以定義

$\operatorname {ind} (T)=\dim \operatorname {ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} (T)$.

根據同構第一定理，當 *T* 是有限維空間之間的對映時，指標實際上獨立於任何運算元 *T*。對於作用於無限維空間的運算元來說，情況不再如此。

7 引理 設 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$ 和 $S\in B({\mathfrak {H_{2}}},{\mathfrak {H_{3}}})$。如果 $T$ 和 $S$ 是 Fredholm 運算元，則 $ST$ 是一個 Fredholm 運算元，且

$\operatorname {ind} (ST)=\operatorname {ind} (T)+\operatorname {ind} (S)$.

相反，如果 ${\mathfrak {H_{3}}}={\mathfrak {H_{1}}}$，並且 $TS$ 和 $ST$ 都是 Fredholm 運算元，則 $T$ 是一個 Fredholm 運算元。
證明：因為

$\dim \operatorname {ker} (ST)\leq \dim \operatorname {ker} (S)+\dim \operatorname {ker} (T)$，以及 $\dim \operatorname {Coker} (ST)\leq \dim \operatorname {Coker} (S)+\dim \operatorname {Coker} (T)$，

我們看到 $ST$ 是 Fredholm。接下來，使用恆等式

$\dim X+\dim X^{\bot }\cap Y=\dim Y+\dim Y^{\bot }\cap X$

我們計算

$\dim \operatorname {ker} (ST)=\dim \operatorname {ker} (S)\cap \operatorname {ran} (T)+\dim \operatorname {ker} (T)=\dim \operatorname {ker} (S)\cap \operatorname {ker} (T^{*})^{\bot }+\dim \operatorname {ker} (T)$

$=-\dim \operatorname {ker} (T^{*})+\dim \operatorname {ker} (S)+\dim \operatorname {ker} (S)^{\bot }\cap \operatorname {ker} (T^{*})+\dim \operatorname {ker} (T)$

$=\operatorname {ind} (T)+\operatorname {ind} (S)+\dim \operatorname {ker} (T^{*}S^{*}).$

反之，設 $f_{j}$ 是一個有界序列，使得 $Tf_{j}$ 收斂。那麼 $STf_{j}$ 收斂，因此 $f_{j}$ 當 $ST$ 是弗雷德霍姆運算元時具有收斂子序列。因此，$\dim \operatorname {ker} T<\infty$ 且 $T$ 具有閉值域。 $TS$ 是弗雷德霍姆運算元表明這一點對 $T^{*}$ 也是正確的，我們得出結論，$T$ 是弗雷德霍姆運算元。 $\square$

7 定理 對映

$T\mapsto \operatorname {ind} (T)$

在弗雷德霍姆運算元集 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 上是一個區域性常數函式。
證明：根據 Hahn-Banach 定理，我們有分解

${\mathfrak {H}}_{1}=C_{1}\oplus \operatorname {ker} (T),\quad {\mathfrak {H}}_{2}=\operatorname {ran} (T)\oplus C_{2}$.

關於這些，我們用一個分塊矩陣表示 T

$T={\begin{bmatrix}T'&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

其中 $T':C_{1}\to \operatorname {ran} T$。根據以上引理，$\operatorname {ind}$ 在行和列操作下是不變的。因此，對於任何 $S={\begin{bmatrix}S_{1}&S_{2}\\S_{3}&S_{4}\\\end{bmatrix}}$，我們有

$\operatorname {ind} (T+S)=\operatorname {ind} ({\begin{bmatrix}T'+S_{1}&0\\0&A\\\end{bmatrix}})=\operatorname {ind} (A)$,

因為 $T'+S_{1}$ 當 $\|S\|$ 很小時是可逆的。A 依賴於 S，但關鍵是 $A$ 是有限維空間之間的線性運算元。因此，A 的指標與 A 無關；因此，與 S 無關。$\square$

7 推論 如果 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$ 是一個 Fredholm 運算元，並且 K 是一個緊運算元，那麼 $T+K$ 是一個 Fredholm 運算元，且

$\operatorname {ind} (T+K)=\operatorname {ind} (T)$

證明：設 $f_{j}$ 是一個有界序列，使得 $(T+K)f_{j}$ 收斂。根據緊緻性，$f_{j}$ 存在一個收斂子序列 $f_{j_{k}}$ 使得 $Kf_{j_{k}}$ 收斂。 $Tf_{j_{k}}$ 因此也收斂，所以 $f_{j_{k}}$ 包含一個收斂子序列。由於 $K^{*}$ 是緊緻的，相同的論證適用於 $T^{*}+K^{*}$。由於 $T+\lambda K$ 對於任何複數 $\lambda$ 都是 Fredholm 運算元，並且 $T+\lambda K$ 的指標是常數，所以指標的不變性由前一個定理得出。 $\square$

下一個結果被稱為 Fredholm 備選，現在很容易，但在應用中非常重要。

7 推論 如果 $K\in B({\mathfrak {H}}_{1},{\mathfrak {H}}_{2})$ 是一個緊緻運算元，那麼

$\operatorname {ker} (K-\lambda I)$ 和 ${\mathfrak {H}}_{2}/\operatorname {ran} (K-\lambda I)$

對於任何非零複數 $\lambda$，具有相同的（有限）維數，並且 $\sigma (K)\backslash \{0\}$ 由K的特徵值組成。
證明：第一個斷言來自

$\operatorname {ind} (K-\lambda I)=\operatorname {ind} (I-\lambda ^{-1}K)=0$,

第二個結論是直接推論。 $\square$

7 定理 設 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$. 則 $T$ 是一個 Fredholm 運算元當且僅當 $I-TS$ 和 $I-ST$ 是有限秩運算元，對於某個 $S\in B({\mathfrak {H_{2}}},{\mathfrak {H_{1}}})$. 此外，當 $I-TS$ 和 $I-ST$ 是跡類運算元（例如，有限秩運算元），

$\operatorname {ind} (T)=\operatorname {Tr} (I-ST)-\operatorname {Tr} (I-TS)$

證明：由於恆等運算元是 Fredholm 運算元（實際上，任何可逆運算元都是），並且由於

$ST=I_{1}+(I_{1}-ST)$

$TS=I_{2}+(I_{2}-TS)$

$ST$ 和 $TS$ 是 Fredholm 運算元，這意味著 T 是一個 Fredholm 運算元。反之，假設 T 是一個 Fredholm 運算元。那麼，和之前一樣，我們可以寫成

$T={\begin{bmatrix}T'&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

其中 $T'$ 是可逆的。例如，如果我們設定 $S={\begin{bmatrix}T'^{-1}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$，則 $S$ 具有所需的屬性。接下來，假設 *S* 是任意的： $S={\begin{bmatrix}S_{1}&S_{2}\\S_{3}&S_{4}\\\end{bmatrix}}$。則

$\operatorname {Tr} (I-ST)=\operatorname {Tr} (1-S_{1}T')+\operatorname {dim} \operatorname {ker} T$.

類似地，我們計算

$\operatorname {Tr} (I-TS)=\operatorname {Tr} (1-T'S_{1})+\operatorname {dim} \operatorname {Coker} T$.

現在，由於 $T'(I-S_{1}T')=(I-T'S_{1})T'$，且 $T'$ 是可逆的，我們有

$\operatorname {Tr} (I-S_{1}T')=\operatorname {Tr} (I-T'S_{1})$。 $\square$

緊群的表示

定理 緊群的每個不可約酉表示都是有限維的。