泛函分析

泛函分析 的含義取決於你問誰。然而，該主題的核心是研究具有某種拓撲結構的線性空間，這種拓撲結構允許我們進行分析；比如函式空間、作用於函式空間的運算元空間等等。我們對這些空間的興趣有兩方面：這些具有拓撲結構的線性空間 (i) 通常表現出有趣的性質，值得我們為了它們本身進行研究；(ii) 在數學的其他領域（例如偏微分方程）以及理論物理學中都有重要的應用；特別是量子力學。(i) 的出現是因為分析師感興趣的線性向量空間本質上是無限維的，這需要對幾何進行仔細研究。（有關這方面的更多資訊，請參見第二章和第四章。）(ii) 是最初推動該領域發展的動力；泛函分析的歷史根源在於線性代數和 20 世紀初量子力學的數學公式。（參見 w:Mathematical formulation of quantum mechanics）這本書旨在同時涵蓋這兩種興趣。

本書分為兩部分。第一部分涵蓋了 Banach 空間理論的基礎知識，重點介紹其應用。第二部分涵蓋了拓撲向量空間，尤其是區域性凸空間，這是 Banach 空間的推廣。在兩部分中，我們都給出了一些主要的結果，例如閉圖定理，這會導致一些重複。這樣安排的一個原因是，人們通常只需要這些結果的 Banach 版本。另一個原因是，這種方法在教學上似乎更加合理；在最一般的形式中陳述這些結果可能會掩蓋其簡單性。練習是本書的非整合部分。它們可以完全跳過，本書應該可以完整地閱讀和理解。一些替代證明和補充結果被作為練習而被推遲，因為它們的加入可能會擾亂闡述的流程。

除了第六章，我們將用測度理論的語言來闡述譜定理之外，不需要測度理論的知識。至於拓撲學，對度量空間的瞭解足以滿足第一章和第二章的要求。後續章節需要對一般拓撲學有紮實的背景。

第一章. 預備知識 (2009 年 10 月): Zorn 引理、拓撲學、Hamel 基、Hahn-Banach 定理
第二章. Banach 空間 (2007 年 9 月 1 日): 開對映定理、閉圖定理、緊運算元
第三章. 希爾伯特空間 (2008 年 6 月 4 日): 無界運算元、伴隨運算元、正交基、Parseval 定理
第四章. Banach 空間的幾何 (2008 年 5 月 27 日): 自反空間、Krein-Milman 定理、Bishop 定理、可分離 Banach 空間、Schauder 基、James 定理、一致凸空間、單調運算元、嚴格奇異運算元

第二部分

第五章. 拓撲向量空間 (2008 年 5 月 28 日): 區域性凸空間、度量化定理
第六章. C*-代數 (2008 年 10 月 30 日): Gelfand 變換、交換 Banach 代數的譜、泛函演算、GNS 構作
第七章. 積分理論 (2009 年 8 月 16 日): von Neumann 雙中心化定理

第三部分

第八章. 特殊主題 (2008 年 6 月 6 日)

Fredholm 理論 (2009 年 5 月 10 日) - 有界和無界運算元的指標、緊擾動

緊群的表示 (2009 年 6 月 30 日) - 酉表示、Peter–Weyl 定理

索伯列夫空間 (2009 年 10 月)

第九章. 調和分析 (2018 年 9 月 23 日) - 區域性緊群的 Banach 表示的分解、Plancherel 定理。

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