泛函分析/預備知識

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泛函分析 第 1 章：預備知識

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本章收集了一些將在後續章節中使用到的標準結果。特別是，我們證明了 Hahn-Banach 定理，它實際上是線性代數中的一個結果。這些定理的證明可以在《拓撲學》和《線性代數》書籍中找到。

集合論

選擇公理指出，給定一組集合 $S_{i},i\in I$，存在一個函式

$f:I\to \prod _{i\in I}S_{i}$.

練習。 使用選擇公理證明任何滿射都是右可逆的。

在這本書中，選擇公理幾乎總是以佐恩引理的形式使用。

定理 1.1 (佐恩引理)。

令 $\left(X,\prec \right)$ 是一個偏序集，使得對於每個鏈， $T\subset X$，它透過 $\prec$ 線性排序，存在一個最大元素， $t\in T$。然後 $\left(X,\prec \right)$ 有一個最大元素 $x\in X$。也就是說，對於任何 $y\in X,x\not \prec y$。

拓撲學

定理 1.2。

令 $X$ 是一個度量空間。以下條件等價。

• $X$ 是一個緊緻空間。
• $X$ 是完全有界且完備的。(海涅-博雷爾)
• $X$ 是序列緊緻的；即，$X$ 中的每個序列都存在一個收斂子序列。

練習。 證明 $[0,1]\cap \mathbf {Q}$ 不是緊緻的，方法是展示一個不包含有限子覆蓋的開覆蓋。

練習。 設 $X$ 為一個緊緻度量空間，且 $f:X\to X$ 為一個等距對映：即 $d(f(x),f(y))=d(x,y)$。則 f 為一個雙射。

定理 1.3 (Tychonoff).

任何非空緊緻空間集合的乘積空間都是緊緻的。

練習。 證明 Tychonoff 定理在有限乘積空間上成立，且不依賴於選擇公理（或其任何等價形式）。

根據定義，緊緻空間是 Hausdorff 空間。

定理 1.4 (度量化定理).

如果 $X$ 是一個第二可數緊緻空間，則 $X$ 是可度量化的。

證明。 定義 $d:X\to \mathbf {R}$ 為

$d(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }2^{-j}|f_{j}(x)-f_{j}(y)|$

然後 $d(x,y)=0$ 意味著 $f_{j}(x)=f_{j}(y)$ 對於每一個 $j$，反過來意味著 $x=y$。反之亦然。由於 $d(x,y)=d(y,x)$，$d$ 則為度量。令 $\tau _{d}$ 為 $X$ 的由 $d$ 誘導的拓撲。我們斷言 $\tau _{d}$ 與最初賦予 $K$ 的拓撲一致。鑑於

引理。 令 $X$ 為一個集合。如果 $\tau _{1}\subset \tau _{2}$ 是 $X$ 的一對拓撲，並且如果 $\tau _{1}$ 是豪斯多夫空間且 $\tau _{2}$ 是緊緻空間，則 $\tau _{1}=\tau _{2}$。

只需證明$\tau _{d}$包含在原始拓撲中。但是，對於任何$x\in X$，由於$d(\cdot ,x)$是緊集上連續函式序列的極限，我們看到$d(\cdot ,x)$是連續的。因此，$\tau _{d}$在$d$中以$x$為中心的開球是開集（在原始拓撲中）。$\square$

命題 1.5。

（i）每個第二可數空間都是可分的。（ii）每個可分的度量空間都是第二可數的。

證明。待寫。$\square$

特別地，一個緊度量空間是可分的。

練習。實數軸上的w:下限拓撲是可分的但不是第二可數的。

定理 1.6 (貝葉斯)。

一個完備度量空間不是閉子集的稠密補集的可數並集。

證明。見w:貝葉斯範疇定理。$\square$

我們注意到，該定理對於區域性緊空間也是成立的，儘管這個版本在隨後的內容中不會用到。

練習。用該定理證明實數集是不可數的。

定理 1.7 (阿斯科利)。

設$X$是一個緊空間。$C(X)$的子集是緊的當且僅當它是有界的、閉的和等度連續的。

證明。見w:阿斯科利定理。$\square$

下一個練習給出了該定理的典型應用。

練習。證明常微分方程的皮卡存在定理：設$f$是$\mathbf {R} ^{n}$某一開子集上的實值連續函式。那麼初值問題

${\dot {x}}=f(x),x(t_{0})=x_{0}$

在包含$t_{0}$的某個開區間內有解。（提示：用w:尤拉方法構造近似解序列。該序列可能不收斂，但根據阿斯科利定理，它包含一個收斂子序列。然後，極限就是所需的解。）

練習。 從 Peano 存在定理推匯出 w:Picard–Lindelöf 定理：設 $f$ 是 $\mathbf {R} ^{n}$ 的某個開子集上的實值區域性 Lipschitz 函式。那麼初值問題

${\dot {x}}=f(x),x(t_{0})=x_{0}$

在包含 $t_{0}$ 的某個開區間內有一個“唯一”解。（提示：存在性是明確的。對於唯一性，使用 w:Gronwall 不等式。）

定理 1.8。

給定一個度量空間 X，存在一個完備度量空間 ${\tilde {X}}$ 使得 $X$ 是 ${\tilde {X}}$ 的稠密子集。

證明。 w:完備化 (度量空間)#完備化 $\square$

線性代數

定理 1.9。

設 V 為一個向量空間。那麼每一個（可能為空）線性無關集都包含在 V 的某個基中。

證明。 設 $\Omega$ 為所有包含給定線性無關集的線性無關集的集合。 $\Omega$ 不為空。此外，如果 $\omega$ 是 $\Omega$ 中的一個鏈（即一個全序子集），那麼 $\cup \omega$ 是線性無關的，因為如果

$a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=0$

如果 $x_{i}$ 屬於並集，那麼 $x_{i}$ 都屬於 $\omega$ 中的某個成員。因此，根據佐恩引理，它有一個極大元，不妨記為 *E*。它生成 *V*。實際上，如果不是這樣，則存在一個 $x\in V\backslash E$ 使得 $E\cup {x}$ 是 $\Omega$ 的一個成員，這與 *E* 的極大性相矛盾。 $\square$

該定理特別意味著每個向量空間都具有基。這種基被稱為 *哈默爾基*，以區別於稍後將討論的其他基。

定理 1.10 (哈恩-巴拿赫)。

設 ${\mathcal {X}}$ 是一個實向量空間，$p$ 是 ${\mathcal {X}}$ 上的一個函式，使得

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ 以及 $p(tx)=tp(x)$

對於任何 $x,y\in {\mathcal {X}}$ 和任何 $t>0$。如果 ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {X}}$ 是一個閉子空間，並且 $f$ 是 ${\mathcal {M}}$ 上的一個線性泛函，使得 $f\leq p$，那麼 $f$ 允許在 ${\mathcal {X}}$ 上定義一個線性擴張 $F$，使得 $F\leq p$。

證明。首先假設 ${\mathcal {X}}=\{x+tz;x\in {\mathcal {M}},t\in \mathbb {R} \}$ 對於一些 $z\not \in {\mathcal {M}}$。根據假設，我們有

$f(x)+f(y)\leq p(x-z)+p(y+z)$ 對於所有 $x,y\in {\mathcal {M}}$，

等價於

$\sup\{f(x)-p(x-z);x\in M\}\leq \inf\{p(y+z)-f(y);y\in M\}$.

設 $c$ 為上確界和下確界之間的一個數。定義 $F(x+tz)=f(x)+tc$ 對於 $x\in {\mathcal {M}},t>0$。因此，$F$ 是一個期望的擴充套件。事實上，$f=F$ 在 ${\mathcal {M}}$ 上是明確的，我們還有

$F(x+tz)\leq tp({x \over t}+z)$ 如果 $t>0$

以及

$F(x+tz)\leq -tp({x \over -t}-z)$ 如果 $t<0$.

令 $\Omega$ 是所有對 $(H,g_{H})$ 的集合，其中 $H$ 是一個線性空間，且有 ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {H}}\subset X$，$g_{H}$ 是一個在 ${\mathcal {M}}$ 上的線性函式，它擴充套件了 $f$ 且被 $p$ 控制。可以證明 $\Omega$ 是偏序的，並且 $\Omega$ 的任何全序子集的並集都在 $\Omega$ 中（TODO: 需要更多細節）。因此，根據 Zorn 引理，我們可以找到最大元 $(L,g_{L})$，並且根據證明的前一部分我們可以證明 ${\mathcal {L}}={\mathcal {X}}$。 $\square$

我們注意到，在證明中對 $c$ 的不同選擇會導致不同的擴充套件。因此，由 Hahn-Banach 定理給出的擴充套件通常不是唯一的。

練習 說明該定理對於復向量空間的類似情況，並證明該版本可以歸結為實數版本。（提示：$Ref(ix)=Imf(x)$)

注意該定理可以以下等價的方式表述。

定理 1.11 (幾何 Hahn-Banach)。

令 V 為一個向量空間，$E\subset V$ 為一個凸子集。如果 x 不在 E 中，則存在一個包含 E 但不包含 x 的超平面。

Proof. We prove the statement is equivalent to the Hahn-Banach theorem above. We first show that there is a one-to-one corresponding between the set of sublinear functional and convex sets. Given a convex set $E$, define $p(x)=\inf\{t>0|tx\in E\}$. $p$ (called a w:Minkowski functional) is then sublinear. In fact, clearly we have $p(ax)=|a|p(x)$. Also, if $tx\in E$ and $sy\in E$, then, by convexity, ${t \over t+s}x+{s \over t+s}y\in E$ and so $p(x+y)\leq t+s$. Taking inf over t and s (separately) we conclude $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$. Now, note that: $E=\{x\in V|p(x)\leq 1\}$. This suggests that we can define a set $E$ for a given sublinear functional $p$. In fact, if $p$ is sublinear, then for $x,y\in E$ we have: $p(tx+sy)\leq tp(x)+sp(y)\leq 1$ when $t,s\leq 0,t+s=1$ and this means $tx+sy\in E$. Hence, $E$ is convex. $\square$

推論 1.12。

向量空間的每個凸子集都是包含它的所有超平面的交集（稱為凸包）。

練習。 證明 Carathéodory 定理。

(TODO: 提到矩量問題。)

定理 1.13。

令 $V\supset W$ 是線性向量空間，且 $\pi :V\to V/W$ 為一個典範滿射。如果 $T:V\to X$ （其中 X 是某個向量空間）是一個線性對映，則存在 $F:V/W\to X$ 使得 $F\circ \pi =f$ 當且僅當 $W\subset \operatorname {ker} f$。此外，

• (i) 如果 $F$ 存在，則 $F$ 是唯一的。
• (ii) $F$ 是單射當且僅當 $\operatorname {ker} (f)=W$。
• (iii) $F$ 是滿射當且僅當 $f$ 是滿射。

證明。如果 $F$ 存在，則 $W=\operatorname {ker} (\pi )\subset \operatorname {ker} (F\circ \pi )=\operatorname {ker} f$。反之，假設 $W\subset \operatorname {ker} f$，並定義 $F$ 為

$F(x+W)=f(x)$

對於 $x\in V$。 $F$ 是良定義的。事實上，如果 $x+W=y+W$，則 $x-y\in W\subset \operatorname {ker} f$。因此，

$(F\circ \pi )(x)=f(x)=f(y)=(F\circ \pi )(y)$.

根據此定義，(i) 現在已明確。(ii) 成立，因為 $F(x+W)=(F\circ \pi )(x)=f(x)=0$ 意味著 $x\in W$ 當且僅當 $\operatorname {ker} f=W$。(iii) 也很清楚；我們有一個集合論事實：$g\circ f$ 是滿射當且僅當 $g$ 是滿射。 $\square$

推論 1.14。

如果 $T:V_{1}\to V_{2}$ 誘匯出一個對映 $T:W_{1}\to W_{2}$ 其中 $W_{j}\subset V_{j}$ 是子空間，那麼我們可以誘匯出

$T:V_{1}/W_{1}\to V_{2}/W_{2}$.

證明。 很明顯。 $\square$

推論 1.15。

如果 $f:V\to W$ 是線性對映，那麼 $V/\operatorname {ker} (f)\simeq \operatorname {ran} (f)$.

證明。 很明顯。 $\square$

練習。 給定一個精確序列

$0\to V_{1}\to V_{2}\to ...\to V_{n}\to 0$,

我們有：$(-1)^{k}\operatorname {dim} V_{k}=0$