拓撲/完備性

完備性 及相關概念本質上假設了“距離”的概念。因此，在本章中，我們只處理度量空間。

定義

一個序列 $\{x_{n}\}$ 被稱為柯西序列，如果對於任意 $\varepsilon >0$ ，存在一個 $N\in \mathbb {N}$ 使得對於任意 $a,b>N$ ， $d(x_{a},x_{b})<\varepsilon$ 。

定理

所有收斂序列都是柯西序列

證明

一個收斂序列 $\{x_{n}\}$ 將收斂到一個極限 $x$ ，這意味著存在一個 $N$ 使得對於任意 $a>N$ ， $d(x_{a},x)<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 。因此，對於任意 $a,b>N$ ， $d(x_{a},x_{b})\leq d(x_{a},x)+d(x_{b},x)<\varepsilon$ 。

定義

如果一個度量空間中所有柯西序列都收斂於一個極限，那麼稱該度量空間為完備的。

度量空間 $X$ 的子集 $A$ 在開集 $O$ 中是稠密的，當 $O\subseteq \mathrm {Cl} (A)$ 。

度量空間 $X$ 的子集 $A$ 是處處稠密的，當它在 $X$ 中是稠密的。

度量空間 $X$ 的子集 $A$ 是無處稠密的，當它在 $X$ 中的任何開集中都不稠密。

完備性顯然不是一個拓撲性質，因為空間 $\mathbb {R}$ 和 $(0,1)$ 之間存在同胚，雖然 $\mathbb {R}$ 是完備的，而 $(0,1)$ 是 $\mathbb {R}$ 的一個非閉子集，則不是。

定理

完備空間的閉子集本身也是完備的。

證明

考慮一個完備空間 $X$ ，令 $C\subset X$ 是閉集。考慮 $C$ 內的任何柯西序列，它也在 $X$ 內，因此它有一個極限。這個極限是該序列的一個接觸點，因此也是 $C$ 的一個接觸點，因此也在 $C$ 內。因此， $C$ 是完備的。

對於從度量空間到完備度量空間的函式，有一個非常重要的定理叫做 **一致收斂定理**。

定理（一致收斂定理））

令 X 為度量空間，令 $f_{n}$ 為從 X 到完備度量空間 Y 的連續函式序列，使得對於所有 $\epsilon >0$ ，存在一個 N 使得對於所有 $n_{1},n_{2}$ >N， $d(f_{n_{1}}(x),f_{n_{2}}(x))<\epsilon$ 。那麼函式序列收斂於從 X 到 Y 的連續函式。注意 $\epsilon$ 必須獨立於 x。

證明

顯然函式序列逐點收斂，因為序列 $f_{n}(x)$ 顯然是一個柯西序列，它收斂於一個值 $f(x)$ 。現在我們將證明 f(x) 是連續的。

存在一個 N，使得對於所有 n>N， $d(f_{n}(x),f(x))<{\frac {\epsilon }{3}}$ 對於 X 中的任意 x 都成立。現在令 n>N，並考慮連續函式 $f_{n}$ 。由於它是連續的，因此存在一個開球 $B_{\delta }(x)$ 在 X 中，使得它的像包含在開球 $B_{\frac {\epsilon }{3}}(f_{n}(x))$ 中。

現在考慮任意一個圍繞 f(x) 的開球 $B_{\epsilon }(f(x))$ ，以及開球 $B_{\delta }(x)$ 中的任意點 x'。然後 $d(f(x'),f(x))\leq d(f(x'),f_{n}(x'))+d(f_{n}(x'),f_{n}(x))+d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon$ ，所以函式 f(x) 是連續的。

Tietze 擴張

利用 Urysohn 引理和一致收斂定理，我們現在可以證明以下結果

定理：令 X 為一個正規拓撲空間，並令 A 為一個閉子集。令 f 為從子空間 A 到區間 [0,1] 的連續函式。那麼存在一個從 X 到區間 [0,1] 的連續函式 g，使得對於 A 中的所有點，f(x)=g(x) 都成立。

證明

為了證明這一點，我們首先建立以下結果

對於從 X 的閉子集 A 到區間 [-r,r] 的任何連續函式，存在一個從 X 到區間 $[-{\frac {r}{3}},{\frac {r}{3}}]$ 的連續函式，使得 |f(x)-g(x)|< ${\frac {2}{3}}r$ 對於所有 $x\in A$ 都成立。

Consider the sets $f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and $f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ , which are disjoint sets which, since they are closed in the closed set A, are also closed in X. Now we use Urysohn's lemma to obtain a function $g:X\rightarrow [0,1]$ such that g(x)=0 when $x\in f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and such that g(x)=1 when $x\in f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ . Then consider the function h defined by $h(x)={\frac {r}{3}}(2g(x)-1)$ from the set X to the interval $[-{\frac {r}{3}},{\frac {r}{3}}]$ so that $h(x)=-{\frac {r}{3}}$ when $x\in f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and such that $h(x)={\frac {r}{3}}$ when $x\in f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ . Then to see that the function h satisfies the inequality |f(x)-h(x)|< ${\frac {2}{3}}r$ , consider the case when $-r\leq x\leq -{\frac {1}{3}}r$ . Then $h(x)=-{\frac {r}{3}}$ so the inequality is satisfied there. Then consider the case when ${\frac {1}{3}}r\leq x\leq r$ . Then $h(x)={\frac {r}{3}}$ so the inequality is also satisfied there. Finally, consider the case when $-{\frac {1}{3}}r<x<{\frac {1}{3}}r$ . Then $|h(x)|\leq {\frac {1}{3}}r$ so the inequality is also satisfied for this final case.

現在我們證明主要結果。

定理（康托爾交集定理）

度量空間 $X$ 的緊子集序列 $\{A_{n}\}$ 的交集非空，當且僅當度量空間是完備的。

證明

( $\Rightarrow$ )令 $\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的柯西序列。定義序列 $\{a_{n}\}$ , $s_{n}$ 為 $a_{n}=d(x_{n+1},x_{n})$ ， $s_{n}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}$ 。由於 $s_{n}$ 是一個實值柯西序列，因此它是收斂的。因此，我們可以看到 $\{x_{n}\}$ 是有界的。因此，我們可以構造一系列緊集 $\{A_{n}\}$ 滿足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ ，使得對於每個 $n$ ， $x_{n}\in A_{n}$ 但 $x_{n}\notin A_{n+1}$ 。如果 $x\in \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{n}$ ，則序列 $x_{n}$ 收斂於 $x$ ，這意味著 $X$ 是完備的。

( $\Leftarrow$ )令 $A_{n}$ 為滿足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}\forall n$ 的緊集序列。選擇一個序列 $\{x_{n}\}$ ，其中 $x_{n}\in A_{n}$ 。由於 $\{x_{n}\}$ 有界，因此它有一個收斂子序列 $\{y_{n}\}$ ，其極限為 $x$ 。
由於 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ ，我們有 $x\in \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{n}$ 。

定理（巢狀球定理）

巢狀區間定理與康托爾交集定理非常相似。它指出，當滿足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ 且其半徑序列 $r_{n}$ 趨近於 $0$ 時，球的閉包序列的交集非空當且僅當度量空間完備。

貝葉斯範疇定理是廣義拓撲學和泛函分析中的一個重要工具，它為度量空間完備提供了充要條件。注意，這通常被稱為貝葉斯定理的第一形式。

定理（貝葉斯範疇定理）

一個完備度量空間不是可數個無處稠密子集的並集。

證明

Let $A=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}$ be a complete metric space where each $K_{i}$ is nowhere dense. Let $S_{1}$ be an open ball of radius ${\tfrac {1}{2}}$ . Let $S_{n}$ , where $n>1$ be an open ball of radius ${\tfrac {1}{2^{n}}}$ contained in $S_{n-1}$ which does not meet $A_{n}$ , which is possible because if it always met $A_{n}$ , then $A_{1}$ would be dense in $S_{n-1}$ . The centers $c_{n}$ of the spheres $S_{n}$ form a Cauchy sequence because when $n_{1},n_{2}>N$ and, then $d(x_{n_{1}},x_{n_{2}})<{\tfrac {1}{2^{N}}}$ . Therefore, because the space $A$ is complete, it converges to a limit $c$ within $A$ . However, it is not within any $K_{n}$ , and so it is not within $A$ , a contradiction.

定理（廣義海涅-博雷爾定理）

一個度量空間是緊湊的當且僅當該度量空間完備且完全有界。

證明

( $\Rightarrow$ )
設 X 是一個緊緻度量空間。那麼它是有界緊緻的，因此是完全有界的。此外，由於它是可數緊緻的，任何柯西序列要麼是有限的，在這種情況下，它顯然收斂到 X 中的一個元素，因為該序列最終穩定，要麼是無限的，在這種情況下，它在 X 中有一個極限點，很明顯柯西序列收斂到該極限點。
( $\Leftarrow$ )
令 { $a_{n}$ } 是 X 中點的無限序列，使得它們形成一個無限集（即至少有無限多個是不同的）。現在考慮一個有限的 1-網，並考慮每個點在 1-網中的球體的閉包，每個球體的半徑為 1。這些球體閉包的並集是 X。由於有無限多個不同的 { $a_{n}$ }，而只有有限多個球體閉包，因此至少一個球體閉包必須包含一個無限子序列 { $a_{n1}$ }，並將此表示為 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 。現在考慮在這個球體閉包內的一個有限的 ${\frac {1}{2}}$ -網，並考慮每個點在 ${\frac {1}{2}}$ -網中的球體的閉包，每個球體的半徑為 ${\frac {1}{2}}$ 。這些球體閉包的並集是第一個球體的閉包。由於有無限多個不同的 { $a_{n1}$ } 在 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 中，而只有有限多個球體閉包，因此至少一個與 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 相交的球體閉包必須包含一個無限子序列 { $a_{n2}$ }。繼續這個過程，得到一個包含序列中無限多個元素的新球體閉包，並且由於完備性，我們可以使用巢狀球體定理得到一個位於所有球體交集中的元素 x。這個 x 是所有球體的極限點，因此也必須是原始序列 { $a_{n}$ } 的極限點，因為 x 的任何鄰域都必須包含上述序列中某個球體的閉包，而該閉包又包含序列 { $a_{n}$ } 的無限多個元素。由此我們可以得出結論，X 是可數緊緻的，因此是緊緻的。

推論（博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理）

在完備度量空間 X 中，集合 S 是相對緊緻的，當且僅當它是完全有界的。這是因為它的閉包顯然是完全有界的，並且完備度量空間的任何閉子集也是完備的。

注意：如果 $X$ 是一個完備的度量空間，那麼每個完全有界的序列 $\{a_{n}\}\subset X$ 都具有一個收斂的子序列。這是因為該序列將是相對緊的，並且由於它的閉包是緊的，因此是可數緊的，因此具有一個極限點，因此該序列將具有一個極限點 x。對於這個極限點，考慮球體 $B_{\frac {1}{n}}(x)$ ，然後對於每個球體，在球體內選擇序列中的一個點，使其處於有序狀態（即，以不“向後”的方式在序列中前進）。然後，這顯然是一個收斂到極限點的子序列。

定理（阿塞拉-阿斯科利定理）

現在我們已經得到了一個結果，它證明了在完備度量空間中相對緊緻和完全有界之間的等價性，我們現在轉向如何在閉區間 [a,b] 中的連續函式的度量空間中建立相對緊緻性。首先，我們有以下定義。

定義

在 [a,b] 上定義的一組函式 F 被稱為一致有界，如果存在一個 M，使得對於 F 中的任何函式 f，f(x)<M 對 [a,b] 中的所有 x 都成立。
在 [a,b] 上定義的一組函式 F 被稱為等度連續，如果對於所有 $\epsilon >0$ ，存在一個 $\delta >0$ ，使得對於所有 $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ 以及對於所有 $f\in F$ ， $|x_{1}+x_{2}|<\delta \rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$ .

現在，以下是定理的陳述
在 [a,b] 上定義的一組連續函式 F 是相對緊的，當且僅當它是等度連續的並且一致有界的。

證明

練習

證明歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 是完備的。
證明希爾伯特空間是完備的。
明確地建立巢狀球體定理。