拓撲

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一般拓撲學完全基於集合論，並且關注集合的結構。它本質上是距離概念的推廣，儘管對於初學者來說，這一點可能並不立即顯而易見。拓撲學概括了許多與距離相關的概念，例如連續性、緊湊性和收斂性。

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開始之前

為了讓您作為讀者以及作者更容易，在開始之前，您需要熟悉一些主題。

實分析
- 連續函式
- 序列和級數，收斂和發散
集合論
- 集合運算：並集、交集、補集，德摩根定律等。
- 序關係：有序集、等價關係，格。
- 函式：函式的定義和性質
- 基數：有限集、可數集和不可數集
- 佐恩引理和選擇公理
數學邏輯和證明
- 數學都是關於證明的。本書的目標之一是提高您進行證明的技能，但您在這裡不會學到任何基礎知識。

動機和預備知識

第 1.1 章介紹
第 1.2 章歷史
第 1.3 章集合論的基本概念 (2013 年 4 月 13 日)

一般拓撲

拓撲學簡介

第 2.2.1 章度量空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.2 章拓撲空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.3 章基 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.4 章集合中的點 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.5 章序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.6 章子空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.7 章序 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.8 章序拓撲 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.9 章積空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.10 章商空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.11 章連續性和同胚 (2013 年 4 月 13 日)

拓撲空間的性質

第 2.3.1 章分離公理 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.2 章連通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.3 章路徑連通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.4 章緊緻性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.5 章梳狀空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.6 章區域性連通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.7 章線性連續體 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.8 章可數性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.9 章康托爾空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.10 章完備性 - 不是拓撲性質 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.11 章完備化 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.12 章完美對映 - 可選章節，具有挑戰性 (2013 年 4 月 13 日)

向量空間

第 3.1 章向量空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.2 章態射 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.3 章凸性 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.4 章哈恩-巴拿赫定理 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.5 章拓撲向量空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.6 章歐幾里得空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.7 章賦範向量空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.8 章巴拿赫空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.9 章希爾伯特空間 (2013 年 4 月 13 日)

代數拓撲

同倫

第 4.1 章自由群和群的表示 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.2 章形變收縮 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.3 章同倫 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.4 章基本群 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.5 章誘導同態 (2013 年 4 月 13 日)

多胞形

第 5.1 章單純復形 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.2 章重心座標 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.3 章幾何復形 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.4 章重心細分 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.5 章單純對映 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.6 章嵌入定理 (2013 年 4 月 13 日)

同調

第 6.1 章精確序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.2 章同調群 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.3 章奇異同調 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.4 章相對同調 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.5 章 Mayer-Vietoris 序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.6 章切除定理 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.7 章 Eilenberg-Steenrod 公理 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.8 章相對同倫 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.9 章 Vietoris 同調 (2013 年 4 月 13 日)

上同調

第 7.1 章上同調 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.2 章上同調積 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.3 章帽積 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.4 章相對上同調 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.5 章誘導同胚 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.6 章 Čech 上同調 (2013 年 4 月 13 日)

高階方法

第 8.1 章龐加萊對偶 (2013 年 4 月 13 日)
第 8.2 章譜序列 (2013 年 4 月 13 日)

微分拓撲

第 9.1 章流形 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.1.1 章流形類別 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.2 章切空間 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.3 章向量叢 (2013 年 4 月 13 日)

附錄

A 進一步閱讀
B 索引

幫助

問答

有問題嗎？為什麼不問問你正在學習的教科書呢？

1. 拓撲學、代數和分析有什麼區別？

拓撲學是對分析和幾何學的推廣。它有很多種形式：點集拓撲學、流形拓撲學和代數拓撲學，僅舉幾例。所有拓撲學都概括了分析中處理空間的概念，例如函式的連續性、空間的連通性、開集和閉集（等等）。代數拓撲學將代數結構（群、環等）歸因於拓撲空間族，以區分這些族中的拓撲差異。流形拓撲學處理區域性與歐幾里得空間相同的空間，即曲面。流形通常配備額外的結構，例如光滑、PL、辛等。對拓撲學的簡單描述是，它識別了空間在扭曲和拉伸下不會改變的那些性質。因此，它通常被稱為“橡膠片幾何學”。實際上，拓撲學所做的遠不止這些，事實上，它為所有處理“空間”的數學分支提供了嚴謹的基礎。

代數處理在具有特定性質的不同運算下集合的結構。常見的代數物件包括群、環和域。代數的主要結果之一包括伽羅瓦理論，該理論最終表明，沒有一般的五次多項式方程解法。代數中也很重要的結果是代數基本定理（它說，在複數域中，每個非常數多項式至少有一個根）、群分類，等等。

另一方面，分析（或更確切地說是實分析）處理實數 $\mathbb {R}$ 的標準拓撲和代數結構。分析為導數和積分的定義提供了嚴格的證明，以及對序列和極限的處理。從某種意義上說，可以將其視為微積分的嚴格處理。

2. 基和開覆蓋的概念是如何相關的？似乎每個基都是一個開覆蓋，但並非每個開覆蓋都是一個基。但是，為什麼需要這兩個概念？

基和開覆蓋這兩個術語並沒有明顯的聯絡。每個基都是一個開覆蓋，這可能是最主要的聯絡。例如，取一個第二可數的拓撲空間（第二可數意味著空間在其拓撲中有一個可數基）。這樣的空間滿足以下性質：每個開覆蓋都有一個可數子覆蓋。為了證明這一點，我們使用基的可數性。基本上，對於任何開覆蓋，我們為空間中的每個元素選擇一個包含它的開覆蓋元素，因此包含在這個開覆蓋元素中的一個基元素。因此，對於任何開覆蓋，我們可以生成一個基元素的開覆蓋，它是一個“開精細”（請參閱維基百科的定義）。從這裡，我們可以從基的性質獲得開覆蓋的性質。如果基是可數的，我們就可以從原始覆蓋生成一個可數的開覆蓋。

我們有這兩個定義的原因是因為這兩件事具有不同的屬性。關於基最有用的事實是它決定了拓撲。基必須有“任意小的”集合，也就是說，任何開集都包含一個基元素。另一方面，開覆蓋根本不決定拓撲。它可以用來構建諸如單位分解之類的東東，並且通常依賴於緊緻性。拓撲專家 (討論) 2008 年 6 月 8 日 04:17 (UTC)

3. 什麼是同調？

雖然同倫是人們最初想要研究的東西，但事實證明，同倫理論中的大多數問題都很難。如果我們用單純形“替換”同倫理論中的球體，我們可以提取關於空間“孔洞”的類似資訊（這通常是我們感興趣的），我們會得到一個更易計算的群序列。Hurewicz 定理甚至告訴我們，在某些情況下，同倫群可以透過同調群來計算。

進一步閱讀

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維基百科在 拓撲學 中有相關資訊

一般拓撲

Aleksandrov; 組合拓撲 (1956)
Baker; 拓撲學導論 (1991)
Dixmier; 一般拓撲學 (1984)
Engelking; 一般拓撲學 (1977)
Munkres; 拓撲學 (2000)
James; 拓撲空間和一致空間 (1987)
Jänich; 拓撲學 (1984)
Kuratowski; 集合論和拓撲學導論 (1961)
Kuratowski; 拓撲學 (1966)
Roseman; 初等拓撲學 (1999)
Seebach, Steen; 拓撲學中的反例 (1978)
Willard; 一般拓撲學 (1970)

代數拓撲

Marvin Greenberg 和 John Harper; 代數拓撲學 (1981)
Allen Hatcher, 代數拓撲學 (2002) [1]
Hu, Sze-tsen, 上同調理論 (1968)
Hu, Sze-tsen, 同調理論 (1966)
Hu, Sze-tsen, 同倫理論 (1959)
Albert T. Lundell 和 Stephen Weingram, CW 復形的拓撲學 (1969)
Joerg Mayer, 代數拓撲學 (1972)
James Munkres, 代數拓撲學要素 (1984)
Joseph J. Rotman, 代數拓撲學導論 (1988)
Edwin Spanier, 代數拓撲學 (1966)