拓撲/Eilenberg–Steenrod 公理

Eilenberg–Steenrod 公理 是拓撲空間同倫論的共同屬性。滿足這些公理的同倫論的典型例子是奇異同倫論，由 Samuel Eilenberg 和 Norman Steenrod 開發，我們已經遇到過。

可以將同倫論定義為滿足 Eilenberg–Steenrod 公理的函子序列。公理化方法是在 1945 年發展起來的，它允許人們證明結果，例如 Mayer–Vietoris 序列，這些結果對所有滿足公理的同倫論都是通用的。^[1]

如果省略維度公理（如下所述），則其餘公理定義了所謂的奇異同倫論。奇異上同調理論首先出現在 K-理論和配邊理論中。

正式定義

Eilenberg–Steenrod 公理適用於從拓撲空間對 (X, A) 的範疇到阿貝爾群範疇的函子序列 $H_{n}$，以及一個自然變換 $\partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$，稱為邊界對映（這裡 H_i − 1(A) 是 H_i − 1(A,∅) 的簡寫）。公理如下

1. 同倫：同倫對映在同倫論中誘匯出相同的對映。也就是說，如果 $g:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 與 $h:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 同倫，那麼它們誘導的 對映 是相同的。
2. 切除：如果 (X, A) 是一個對，U 是 X 的一個子集，使得 U 的閉包包含在 A 的內部，那麼包含對映 $i:(X-U,A-U)\to (X,A)$ 在同倫論中誘匯出一個 同構。
3. 維度：令 P 為單點空間；那麼 $H_{n}(P)=0$ 對於所有 $n\neq 0$。
4. 可加性：如果 $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$，拓撲空間族 $X_{\alpha }$ 的不交併，那麼 $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).$
5. 精確性: 每對(X, A) 透過包含 $i:A\to X$ 和 $j:X\to (X,A)$ 誘匯出同調中的 長精確序列。

$\cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .$

如果P 是一個點空間，則H₀(P) 稱為係數群。例如，奇異同調（最常用的是整數係數）的係數是整數。

推論

一些關於同調群的事實可以從公理直接推匯出來，例如同倫等價空間具有同構的同調群。

一些相對簡單的空間，例如n-球面 的同調可以直接從公理中計算出來。從這一點可以很容易地證明 (n − 1)-球面不是n-圓盤的 收縮。這被用於證明 布勞威爾不動點定理。

維數公理

滿足除了維數公理之外的所有 Eilenberg–Steenrod 公理的“類同調”理論被稱為非凡同調理論（對偶地，非凡上同調理論）。這類理論的重要例子是在 20 世紀 50 年代發現的，例如拓撲 K-理論和配邊理論，它們是非凡上同調理論，並具有與它們對偶的同調理論。

練習

（正在建設中。）

參考文獻

• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, 同調理論的公理化方法, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, 代數拓撲基礎, 普林斯頓大學出版社, 普林斯頓，新澤西州，1952. xv+328 頁。
• 格倫·布雷頓: 拓撲學與幾何學, 1993, ISBN 0-387-97926-3.